教案格式的标准模板

教案格式的标准模板一、教学目标1.知识与技能目标学生能理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。能根据函数图象说出函数的单调区间。2.过程与方法目标通过观察函数图象，培养学生的直观感知能力。经历从具体到抽象、从特殊到一般的归纳过程，提升学生的逻辑推理能力。3.情感态度与价值观目标通过探究函数单调性，激发学生的学习兴趣，培养学生积极探索的精神。让学生体会数学的严谨性，感受数学的美感。

二、教学重难点1.教学重点函数单调性的概念。利用函数单调性的定义判断函数的单调性。2.教学难点对函数单调性概念中"任意"的理解。用定义证明函数单调性的步骤及变形技巧。

三、教学方法讲授法、直观演示法、探究法相结合

四、教学过程

（一）导入新课1.展示气温变化图提出问题：观察某地区一天的气温变化图，气温在哪些时间段是升高的？哪些时间段是降低的？引导学生回答，从而引出函数单调性的话题。2.回顾函数的概念提问：函数是描述什么的数学模型？学生回答后，强调函数反映了两个变量之间的对应关系。指出我们今天要进一步研究函数在某个区间内的变化趋势，即函数的单调性。

（二）讲授新课1.函数单调性的直观感知展示函数\(y=x^2\)的图象让学生观察图象，描述当\(x\)从左向右变化时，函数值\(y\)的变化情况。学生可能会回答在\(y\)轴左侧\(y\)随\(x\)增大而减小，在\(y\)轴右侧\(y\)随\(x\)增大而增大。展示函数\(y=x+1\)的图象同样让学生观察并描述函数值随自变量的变化情况，学生能得出\(y\)随\(x\)增大而减小的结论。总结：从图象上直观地看到，函数在某些区间内，函数值随自变量的增大而增大，在另一些区间内，函数值随自变量的增大而减小。2.函数单调性的概念结合刚才的图象分析，给出函数单调性的定义：一般地，设函数\(f(x)\)的定义域为\(I\)，区间\(D\subseteqI\)：如果对于区间\(D\)内的任意两个自变量的值\(x_1\)，\(x_2\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1)<f(x_2)\)，那么就说函数\(f(x)\)在区间\(D\)上单调递增，区间\(D\)叫做函数\(f(x)\)的单调递增区间。如果对于区间\(D\)内的任意两个自变量的值\(x_1\)，\(x_2\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1)>f(x_2)\)，那么就说函数\(f(x)\)在区间\(D\)上单调递减，区间\(D\)叫做函数\(f(x)\)的单调递减区间。强调定义中的关键词："任意""都有"。通过举例说明"任意"的重要性，比如对于函数\(y=x^2\)，在区间\([0,+\infty)\)上，不能只取\(x_1=0\)，\(x_2=1\)时\(f(x_1)<f(x_2)\)，就说函数在整个区间\([0,+\infty)\)上单调递增，必须对区间内任意两个自变量的值都满足\(f(x_1)<f(x_2)\)才行。3.判断函数单调性的方法（1）图象法回顾刚才观察函数图象得出单调性的过程，总结：根据函数图象的上升或下降趋势，可以直观地判断函数的单调性及单调区间。例如，对于函数\(y=2x1\)，画出其图象，从图象上可以直接看出它在\(R\)上单调递增。（2）定义法给出例题：判断函数\(f(x)=x^22x\)在区间\((\infty,1]\)上的单调性。步骤如下：设\(x_1\)，\(x_2\)是区间\((\infty,1]\)内的任意两个自变量的值，且\(x_1<x_2\)。计算\(f(x_1)f(x_2)\)：\(f(x_1)f(x_2)=(x_1^22x_1)(x_2^22x_2)\)对其进行变形：\(=(x_1^2x_2^2)2(x_1x_2)=(x_1x_2)(x_1+x_22)\)分析\(f(x_1)f(x_2)\)的正负：因为\(x_1<x_2\)，所以\(x_1x_2<0\)。又因为\(x_1\)，\(x_2\in(\infty,1]\)，且\(x_1<x_2\)，所以\(x_1+x_2<2\)，即\(x_1+x_22<0\)。那么\((x_1x_2)(x_1+x_22)>0\)，即\(f(x_1)f(x_2)>0\)，所以\(f(x_1)>f(x_2)\)。得出结论：函数\(f(x)=x^22x\)在区间\((\infty,1]\)上单调递减。总结用定义法判断函数单调性的步骤：设元：设\(x_1\)，\(x_2\)是给定区间内的任意两个自变量的值，且\(x_1<x_2\)。作差：计算\(f(x_1)f(x_2)\)。变形：对\(f(x_1)f(x_2)\)进行恒等变形，通常化为几个因式乘积的形式。定号：根据给定区间以及\(x_1\)，\(x_2\)的大小关系，确定\(f(x_1)f(x_2)\)的正负。结论：根据\(f(x_1)f(x_2)\)的正负，得出函数在该区间上的单调性。

（三）课堂练习1.判断函数\(f(x)=3x+2\)在\(R\)上的单调性，并说明理由。学生用定义法进行判断，教师巡视指导。设\(x_1\)，\(x_2\inR\)，且\(x_1<x_2\)。\(f(x_1)f(x_2)=(3x_1+2)(3x_2+2)=3(x_1x_2)\)。因为\(x_1<x_2\)，所以\(x_1x_2<0\)，则\(3(x_1x_2)<0\)，即\(f(x_1)f(x_2)<0\)，\(f(x_1)<f(x_2)\)。所以函数\(f(x)=3x+2\)在\(R\)上单调递增。2.已知函数\(f(x)=x^2\)，判断其在区间\([0,+\infty)\)上的单调性。同样让学生用定义法判断。设\(x_1\)，\(x_2\in[0,+\infty)\)，且\(x_1<x_2\)。\(f(x_1)f(x_2)=x_1^2(x_2^2)=x_2^2x_1^2=(x_2x_1)(x_2+x_1)\)。因为\(x_1<x_2\)，所以\(x_2x_1>0\)，又\(x_1\)，\(x_2\in[0,+\infty)\)，所以\(x_2+x_1>0\)，则\((x_2x_1)(x_2+x_1)>0\)，即\(f(x_1)f(x_2)>0\)，\(f(x_1)>f(x_2)\)。所以函数\(f(x)=x^2\)在区间\([0,+\infty)\)上单调递减。

（四）课堂小结1.引导学生回顾函数单调性的概念提问：什么是函数的单调性？单调递增区间和单调递减区间是如何定义的？让学生回答，教师进行补充完善。2.总结判断函数单调性的方法提问：判断函数单调性有哪些方法？学生回答图象法和定义法，教师强调定义法的步骤及要点。3.强调本节课的重点内容指出函数单调性是研究函数变化规律的重要性质，要准确理解概念，熟练掌握判断方法。

（五）布置作业1.书面作业课本第[X]页练习第[X]题：判断下列函数的单调性，并求出单调区间。\(y=2x3\)\(y=x^2+2x+3\)课本第[X]页习题第[X]题：证明函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)在区间\((0,+\infty)\)上单调递减。2.拓展作业思考：函数\(f(x)\)在区间\(D_1\)和\(D_2\)上都是单调递增的，那么\(f(x)\)在\(D_1\cupD_2\)上一定单调递增吗？举例说明。查阅资料，了解函数单调性在实际生活中的应用，下节课进行分享。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对函数单调性的概念有了一定的理解，掌握了判断函数单调性的图象法和定义法。在教学过程中，利用气温变化图、函