同角三角函数的基本关系复习课教案

同角三角函数的基本关系复习课教案一、教学目标1.知识与技能目标让学生牢固掌握同角三角函数的基本关系，包括平方关系\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)和商数关系\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)。能够熟练运用这些基本关系进行三角函数式的化简、求值和证明。2.过程与方法目标通过对同角三角函数基本关系的复习，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。引导学生总结解题方法和技巧，提高学生分析问题和解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标让学生在复习过程中，体会数学知识的系统性和连贯性，感受数学的严谨性。培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重难点1.教学重点同角三角函数基本关系的理解和记忆。运用同角三角函数基本关系进行化简、求值和证明。2.教学难点灵活运用同角三角函数基本关系解决综合性问题。在化简、求值和证明过程中，正确选择使用基本关系及变形技巧。

三、教学方法1.讲授法：讲解同角三角函数基本关系的概念、公式及应用。2.练习法：通过课堂练习，让学生巩固所学知识，提高解题能力。3.讨论法：组织学生讨论典型例题，引导学生分析解题思路，总结解题方法。

四、教学过程

（一）知识回顾1.同角三角函数的基本关系平方关系：\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)商数关系：\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(\alpha\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ)\)2.思考这两个基本关系中，"同角"的含义是什么？平方关系\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)可以有哪些变形？商数关系\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)在使用时需要注意什么？

（二）基础练习1.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。解：因为\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，所以\(\cos^{2}\alpha=1\sin^{2}\alpha\)。已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，则\(\cos^{2}\alpha=1(\frac{3}{5})^{2}=1\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\)。又因为\(\alpha\)是第二象限角，所以\(\cos\alpha\lt0\)，则\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)。\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\)的值。解：将\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\)分子分母同时除以\(\cos\alpha\)得：\(\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+1}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}1}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha1}\)。已知\(\tan\alpha=2\)，则\(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha1}=\frac{2+1}{21}=3\)。

（三）典型例题讲解1.化简\(\frac{\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\)解：根据平方差公式\(a^{2}b^{2}=(a+b)(ab)\)，对分子进行变形可得：\(\frac{\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{(\sin\alpha+\cos\alpha)(\sin\alpha\cos\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha}=\sin\alpha+\cos\alpha\)。2.已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)，\(0\lt\alpha\lt\pi\)，求\(\sin\alpha\cos\alpha\)和\(\sin\alpha\cos\alpha\)的值。解：将\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)两边平方得：\((\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}=(\frac{1}{5})^{2}\)，即\(\sin^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha=\frac{1}{25}\)。因为\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，所以\(1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{25}\)，解得\(\sin\alpha\cos\alpha=\frac{12}{25}\)。\((\sin\alpha\cos\alpha)^{2}=\sin^{2}\alpha2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha=12\times(\frac{12}{25})=1+\frac{24}{25}=\frac{49}{25}\)。因为\(0\lt\alpha\lt\pi\)，\(\sin\alpha\cos\alpha=\frac{12}{25}\lt0\)，所以\(\sin\alpha\gt0\)，\(\cos\alpha\lt0\)，则\(\sin\alpha\cos\alpha\gt0\)，所以\(\sin\alpha\cos\alpha=\frac{7}{5}\)。3.证明\(\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\)证明：方法一（分析法）要证\(\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\)，只需证\(\sin^{2}\alpha=(1\cos\alpha)(1+\cos\alpha)\)，即证\(\sin^{2}\alpha=1\cos^{2}\alpha\)，而由平方关系\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)可知\(\sin^{2}\alpha=1\cos^{2}\alpha\)成立，所以原等式成立。方法二（综合法）因为\((1\cos\alpha)(1+\cos\alpha)=1\cos^{2}\alpha\)，又因为\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，即\(\sin^{2}\alpha=1\cos^{2}\alpha\)，所以\(\sin^{2}\alpha=(1\cos\alpha)(1+\cos\alpha)\)，两边同时除以\(\sin\alpha(1\cos\alpha)\)（因为\(\sin\alpha\neq0\)且\(1\cos\alpha\neq0\)），可得\(\frac{\sin\alpha}{1\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\)。

（四）课堂练习1.已知\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)，且\(\alpha\)是第三象限角，求\(\sin\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。2.已知\(\tan\alpha=\frac{1}{3}\)，求\(\frac{\sin\alpha+2\cos\alpha}{5\cos\alpha\sin\alpha}\)的值。3.化简\(\frac{1\sin^{4}\alpha\cos^{4}\alpha}{1\sin^{6}\alpha\cos^{6}\alpha}\)。4.已知\(\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{8}\)，且\(\frac{\pi}{4}\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\)，求\(\cos\alpha\sin\alpha\)的值。

（五）课堂小结1.同角三角函数的基本关系平方关系：\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，可变形为\(\sin^{2}\alpha=1\cos^{2}\alpha\)，\(\cos^{2}\alpha=1\sin^{2}\alpha\)。商数关系：\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(\alpha\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ)\)。2.运用同角三角函数基本关系解题时的注意事项注意公式的变形和逆用。在求值时，要根据角的范围确定三角函数值的符号。在证明时，要选择合适的证明方法，如分析法、综合法等。3.解题方法和技巧化简时，要灵活运用平方差公式、完全平方公式等进行变形。求值时，可根据已知条件，通过平方等方法构造出同角三角函数基本关系的形式。证明时，要从结论出发，逐步推出已知条件或明显成立的式子。

（六）课后作业1.已知\(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值（\(\alpha\)为锐角）。2.已知\(\tan\alpha=3\)，求\(\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\)的值。3.化简\(\frac{\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\frac{\cos\alpha\sin\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\)。4.已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{3}\)，求\(\sin\alpha\cos\alpha\)的值。5.证明\(\frac{1+\tan^{2}\alpha}{1\tan^{2}\alpha}=\frac{1}{\cos^{2}\alpha\sin^{2}\alpha}\)。

五、教学反思通过本节课的复习，学生对同角三角函数的基本关系有了更深入的理解和掌握。在教学过程中，通过知识回顾、基础练习、典型例题讲解和课堂练习等环节，逐步引导学生掌握运用同角三角函数