《备考指南 文科数学》课件-第2章 第4讲

第二章第4讲[A级基础达标]1．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)【答案】A【解析】f(x)的图象的对称轴为x＝1－a且开口向上，所以1－a≥3，即a≤－2.故选A．2．(2018年南充模拟)若函数f(x)是幂函数，且满足eq\f(f4,f2)＝3，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值为()A．－3 B．－eq\f(1,3)C．3 D．eq\f(1,3)【答案】D【解析】设f(x)＝xα(α为常数)，因为满足eq\f(f4,f2)＝3，所以eq\f(4α,2α)＝3，解得α＝log23.所以f(x)＝xlog23，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2－log23＝eq\f(1,3).故选D．3．(2018年洛阳二模)已知点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,2)))在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是()A．奇函数 B．偶函数C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数【答案】A【解析】点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,2)))在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，所以a－1＝1，解得a＝2.又2b＝eq\f(1,2)，解得b＝－1，所以f(x)＝x－1.所以函数f(x)是定义域上的奇函数，且在区间(－∞，0)和(0，＋∞)内单调递减．故选A．4．(2018年包头校级期末)若幂函数y＝f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,5)))，则f(21－log23)的值为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,2) D．－1【答案】C【解析】因为幂函数y＝f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,5)))，设f(x)＝xα，所以5α＝eq\f(1,5)，解得α＝－1.所以f(x)＝x－1.所以f(21－log23)＝f(2log2eq\s\up5(\f(2,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－1＝eq\f(3,2).故选C．5．若函数f(x)＝2x2＋mx－1在区间[－1，＋∞)上递增，则f(－1)的取值范围是()A．(－∞，－4] B．(－∞，－3]C．[3，＋∞) D．[4，＋∞)【答案】B【解析】因为二次函数图象开口向上，对称轴为x＝－eq\f(m,4)，所以－eq\f(m,4)≤－1，解得m≥4.又f(－1)＝1－m≤－3，所以f(－1)∈(－∞，－3]．故选B．6．(2018年新疆模拟)已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))，b＝f(lnπ)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，则a，b，c的大小关系为()A．a＜c＜b B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．b＜a＜c【答案】A【解析】点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，可得m－1＝1，即m＝2,2n＝8，可得n＝3，则f(x)＝x3，且f(x)在R上递增，由a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))，b＝f(lnπ)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，0＜eq\f(\r(3),3)＜eq\f(\r(2),2)＜1，lnπ＞1，可得a＜c＜b，故选A．7．设二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a的值为________．【答案】－3或eq\f(3,8)【解析】此函数图象的对称轴为直线x＝－1.当a>0时，图象开口向上，所以x＝2时取得最大值，f(2)＝4a＋4a＋1＝4，解得a＝eq\f(3,8)；当a<0时，图象开口向下，所以x＝－1时取得最大值，f(－1)＝a－2a＋1＝4，解得a＝－3.8．(2018年玉溪模拟)已知f(x)＝(m2－2m－2)xm是幂函数，且f(x)在其定义域上单调递增，则m＝________.【答案】3【解析】因为f(x)＝(m2－2m－2)xm是幂函数，所以m2－2m－2＝1，解得m＝－1或3.当m＝－1时，f(x)＝x－1在其定义域上不是单调递增；当m＝3时，f(x)＝x3在其定义域R上单调递增．故m＝3.9．(2018年九江模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(4，m)和(2,8)．(1)求m的值；(2)求函数g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))f(x)在区间[－1,2]上的值域．【解析】(1)设幂函数y＝f(x)＝xα，由其图象过点(4，m)和(2,8)，得2α＝8，解得α＝3.所以f(x)＝x3，m＝f(4)＝43＝64，即m的值是64.(2)由题意知，x∈[－1,2]时，f(x)＝x3∈[－1,8]，所以g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,256)，2))，所以g(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,256)，2)).10．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)＝eq\f(gx,x).(1)求a，b的值；(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围．【解析】(1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，因为a＞0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g2＝1，,g3＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a－4a＋1＋b＝1，,9a－6a＋1＋b＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0.))(2)f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2，所以f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋eq\f(1,2x)－2≥k·2x，即1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)))2－2·eq\f(1,2x)≥k.令t＝eq\f(1,2x)，则k≤t2－2t＋1.因为x∈[－1,1]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).记h(t)＝t2－2t＋1，则h(t)max＝h(2)＝1，所以k≤1.所以k的取值范围是(－∞，1]．[B级能力提升]11．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0] B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]【答案】D【解析】二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x－1)≤0，x∈[0,1]，所以a＞0，即函数的图象开口向上．又因为对称轴是直线x＝1，所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.故选D．12．函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，若a，b∈R，且a＋b>0，ab<0，则f(a)＋f(b)的值()A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断【答案】A【解析】由f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，所以f(x)＝x3或f(x)＝x－3.对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0，则f(x)在(0，＋∞)内单调递增，所以f(x)＝x3.由a＋b＞0，ab＜0，可知a，b异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则f(a)＋f(b)恒大于0.故选A．13．(2018年天津模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝x2＋2tx＋5(t为实数)为偶函数，记a＝f(logeq\f(1,2)5)，b＝log23，c＝f(－1)，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜c B．c＜a＜bC．b＜c＜a D．c＜b＜a【答案】C【解析】由f(x)＝x2＋2tx＋5(t为实数)为偶函数，得t＝0，即f(x)＝x2＋5.那么a＝f(logeq\f(1,2)5)＝f(－log25)＝(－log25)2＋5＞9，b＝log23＜2，c＝f(－1)＝1＋5＝6.所以b＜c＜a.故选C．14．(2018年湖北月考)已知幂函数f(x)＝xm2－4m(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上为减函数，则m的值为________．【答案】2【解析】幂函数f(x)＝xm2－4m(m∈Z)在区间(0，＋∞)上为减函数，所以m2－4m＜0，解得0＜m＜4.又m∈Z，所以m＝1或m＝2或m＝3.当m＝1时，f(x)＝x－3，图象不关于y轴对称；当m＝2时，f(x)＝x－4，图象关于y轴对称；当m＝3时，f(x)＝x－3，图象不关于y轴对称．综上，m的值为2.15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x>0，,－fx，x<0，))求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]内恒成立，试求b的取值范围．【解析】(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－eq\f(b,2a)＝－1，解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.所以F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12，x>0，,－x＋12，x<0.))所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]内恒成立，即b≤eq\f(1,x)－x且b≥－eq\f(1,x)－x在(0,1]内恒成立．又eq\f(1,x)－x的最小值为0，－eq\f(1,x)－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0]．16．(2018年永州二模)已知幂函数f(x)＝(m－1)2x－2m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.(1)求m的值；(2)当x∈[1,2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设命题p：f(x)∈A，命题q：g(x)∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．【解析】(1)依