燕庆明-信号与系统(第二版)-课后习题答案

设有如下函数次/),试分别画出它们的波形,

⑸砥/—l)dt(6)J：(产+3(-3)力(7)2[/(丁川丁

00兀严J兀I

)cos(twf--)J(z)dr=cos^—)J(r)dr=—

(3)I%一节(T)dr=|%一3节⑺山=105⑺山=1(4)「r<y(r-l)d/=「^(/-l)d/=1

Jo_J()_Jo_J-ooJ-O0

(5)|t-1)dt=Jt-1)dt=l(6)=0(7)=2

3-1如图2-1所示系统，试以〃c(/)为输出列出其微分方程。

解由图示，有—

i="+。*9又i二J.x)出故+,、ri

1RdrL小)sc%(，)()用c丰“e

19—.

—(ws—wc)=—+CUQ从而得

LR-----------------

3-3设有二阶系统方程)，〃(f)+4y'⑺+4y«)=0在某起始状态下的0+起始值为

>'(0+)=1,y'(0+)=2试求零输入响应。

21

解由特征方程万+42+4=0得九=石=-2那么零输入响应形式为)％(/)=(A+A2t)e-

由于)以0+)=4=1-2Ai+A2=2所以4=4故有力⑺=(1+4/)6咒/>0

3-4如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应，和〃L,对(b)求冲激响应〃c和d并画出它们的波形。

(a)

对于图(b)«C'电路，有方程(b)

C——=i,-即u]H----=—&当is=戊，)时>那么

dtRRCC

RC

/?(/)=uc(t)=—e双'•£(/)同时，电流ic=C'^二演，)-----e-e(t)

CdrRC

3-5设有一阶系统方程)/(，)+3)0=/'«)+/(，)试求其冲激响应//(t)和阶跃响应$(/)。

解因方程的特征根％=-3,故有内(。=6一3，.£(/)当人(。=次/)时，那么冲激响应

Kt)=2(/)*[N⑺+5(力=演。-2e3.£”)阶跃响应

3.10算子法求下列系统的冲激响应力⑺。(a)y\t)+3/(/)+2y(z)=5f\t)+7/(r)

(b)):(/)+2y(/)+.¥(/)=2/(r)+3/(r)

解：(a)系统的算子方程(方+3p+2)y(/)=(5〃+7)/(/)从而H(p)=.P+7二_十二^

p-+3P+2p+1p+2

23

从而6Q)=+—mt)=2e-l+^>0S)(p2+2〃+l)y(f)=(2〃+3)/()

p+1p+2

H(p)=a2。｝=--!—r+—^―从而/?«)=[--^—7+—^―]b(f)=te1+2e7,r>0

p~+2〃+l(p+1)"p+1(/?+l)-p+\

3-11试求以下卷积。(a)£(r+3)*6(t-5)(b)戊f)*2(c)&'♦£1，)**，)

解⑶按定义4z+3)*&/-5)=/£(7+3)6«-7-5)<17考虑到丁〈-3时，£(ZM-3)=0；7>/-5时,

f/-5

£(t-r-5)=0,故a/+3)*£(J5)=]3dr=/—2,r>2

(b)由次/)的特点，故次/)*2=2(c)fe-'a1)*特£)=陆—依＞)]'=(小-酎上网。)

f的，式。

3-12对图示信号，求力(/)*£(/)。2—

解⑷先借用阶跃信号表示力(/)和及(/),|||

即力(。=241)-2al)⑸

尔,)*及(，)=[2网/)-2aI)]*[a/)-“，44f-202/

.,(b)

因为

"f)*&/)=fldr=/£(/)故有

Jo

力(I)*及⑺=2砥E)-2(1)&t-\)-2(t-2)at-2)+2(/-3Mr-3)

(b)根据次z)的特点,那么力(z)*用，)=力(/)*既，)+小片2)+次什2)]=力(口+力(，-2)+力(汁2)

3-13试求以下卷积。(a)(1-厂加⑺*夕⑺*£0)

(b)e-32⑺*g[e・3⑺]解⑸因为因'⑺*£(/)=-")=，⑺,故

dt

(b)因为已一节«)=5(。，故

3-14设有二阶系统方程)，〃“)+3)，'(，)+2y(0=4&Q)试求零状态响应

解因系统的特征方程为*+34+2=。解得特征根4=-1,A2=-2

故特征函数X2")=e**e勾=(e-'*e-2，)g⑺

-/-2z-2r-/

零状态响应y(t)=43")*x2(r)=43'⑺*(e*e)s(t)=(8e-4e)£(，)

3-15如图系统，九⑺二//一1),饱(/)=£(/)试求系统的冲激响应皿/)。

解由图关系，有

所以冲激响应力Q)=)C)=x(r)*〃2(f)=k'―方制」

即该系统输出一个方波。

3-16如图系统，R=&=ldL=1H,C=IFo试求冲激响应wc(f)。

解由KCL和KVL,可得电路方程为

代入数据得Wc+2”；+2〃c=»")+S")

特征根42=-1±ji故冲激响应〃c(r)为〃c«)=(/*/为

3-19一线性时不变系统,在某起始状态下,当输入Hf)=十/)呵,5£H|nJMyi(t)=t)；当输入贝r)

=-£(t)时，全响应J2(/)=e-3/-£(t),试求该系统的冲激响应收t)O

解因为零状态响应/)TS(f)，-6<t)->-5(t)故有>,1(t)=%(/)+$(/)=3e-3/-itt)J2(t)=>zi(t)-s(t)

=e-M*t)从而有y(f)-y2(t)=2s(t)=r)即s(f)=e-3r-4t)

故冲激响应Mf)=s(f)="f)-3e-3，.&i)

例4.7设有时间信号/«)=当业，试求其频谱函数F(w).解：这里f⑴为偶函数，且可以表示

加

4-1求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。:

解对于周期锯齿波信号，在周期(0,T)内可表示为///Iz

J⑺=7系数旬=下(/⑺"=〒<下dUy。

所以三角级数为

4-3试求以下信号的频谱函数c(I)/(力二e.洲(2)/(。=e“sin&/•£(/)

解(1)厂(g)=「/(r)e-jftA,dr=f°e2/e-jr,J,dr+f"e2ley'^t=

“为2-j©2+j/y4+啰~

(2)F(@)=,：/(/把一加出=1)%-“'•二(e"%'—e-j如)e-泗山

4-4求题34图示信号的傅里叶变换。

解(a)因为

'1*1<：T

AO=<

0,|为奇函数，故

(b)yu)为奇函数,故

4-8设1/)为调制信号，其频谱「(⑷如题图4-7所示，cos劭z为高频载波，那么播送发射的调幅信号

x(/)可表示为x(/)=A|1+/)]cosw试求x(r)的频谱,并大致画出其图形。

解因为调幅信号M/)=Acos劭/+mAJtI)cosob/

故其变换

式中，&劭为;(/)的频谱。.

X3

4-10试求信号7U)=l+2

解因为1-2冗次@)2cos

故有F((o)=2冗[次①)+次止

4-11对于如题3-6图所示I

F(0)=4zSa2(竺)证因为

2

41一区|；\t\<T

0,\t\>T

那么

4-11试利用傅里叶变换的性质，求题图所示信号

谱函数。解由于力(，)的A=2,r=2,故其变换

口⑼=4向节)=4Sa2(0)根据尺度特性有

c2K(2(o)=8Sa2(2^i再由调制定理得

A")=/g)COS加C尸2(⑼

4-15如题4-1图示RC系统,输入为方波山(，)，试用卷积定理求响应〃2")。

«i(0

解因为RC电路的频率响应为1

而响应«2(t)=«i(/)*/?(r)

I

故由卷积定理，得Ui(co)=U\(co)*”(jo)而二」一u-—(l-e-J")

J0

反变换得〃2。)=(l-e-，W)-[l-e-(/-1)k(z-1)

4

4-16设系统的频率特性为”(。)=-------小用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。解冲激响

jo+2

应，故版/)=F-][H(a))]=4e^r-3)^(r-3)而阶跃响应频域函数应为

22r"1

=2兀33)+(----------------)/'所以阶跃响应s“)=2l-e5-".£(-3)

\a)j3+2L」

4.19设系统频域特性为由对称性，且用g(w)表示频域门函数，那么：

H(w)=<6;0,|K|>6,若系统输入/'⑺=sin4/"・cos6/,求系统响回，⑺.

4-22题4-8图所示（a）和（b）分别为单边带通信中幅度调制与解调系统。输入/（/）的频谱和频率特性

M（j⑷、42（j⑷如下图,试画出M/）和的频谱图。

,Z12

|cm*M

解由调制定理知O)

7；(0=fScos05c4(⑼=，/3+在)+」夕「d「

-*J。，63-v.0«.3y

X(@)=£(/)•〃](./@)又因为

/2(/)=X(r)COS69c/—E(⑼=g[X(&+&c)+X(69-69cj]所以

它们的频谱变化分别如图P4-8所示，设牧,他。

。-0.-4*.•».

4-23一滤波器的频率特性如下图，当输入为所示的./i

WZ/

，⑺

解因为输入yu）为周期冲激信号，故⑴

F助二兀所以贝。的频谱

n="=1,1=2…IIIj

-2-1

当〃=(),±1,±2时，对应H(jo)才有输出，故y(0)=/"17：c!r\小、、+贾研2兀）］反变

换得></)=2(1+cos2nr)<rz'

4-24如题4-9图所示系统，设输入信号的频谱R告定，试画出

的频谱。

解设工⑺=/Q）cos50f,故由调制:

〃）=*3+5。）”（加5。）］从

-20O20-50-30SOa-30030

它仅在|上|二（30〜50）内有值。再设入⑺=/2（r）cos30/那么有

6（3）二’尸2（0+30）+E（/-30）］即吊（。）是&（。）的再频移。进而得响应的频谱为

y（0）="（。）•H式j①）其结果仅截取-20<20的局部。以上过程的频谱变化如下图。

4.27设信号卅）的频谱如图（a）所示，

当该信号通过图（b）系统后，证明）”）恢更为人以

/

50

所以输出

即M。包含了用）的全部信息F（3）,故恢复了"）。

4-26如题图4-4所示是一个实际的信号加工系统，试写€0$0

解由图可知输出y（f）=£l/W-/（r-r0）］出

取上式的傅氏变换，得—

J①

故频率特性

3%K2

例设F(s)=求f(t)。解尸(§)=-----------=-----1"2具‘11

($+1)($+2)(s+l)(s+2)s+1s+1

%=(S+1*(S)LT=-1K=(S+2)F(S)|S_=2所以尸(s)=-----+------那么

2=2S+1S+1

f(t)=-e-,+2e-21

例5.18：如下图电路系统，0=1F,L=1/2H,R1=0.2Q,R2=1Q,uc(0-)=0,iL(0-)=2A,试

求电感电压uL(t)o

例。5.16如下图电路系统，tWO时电路已处于稳态。设R1=4Q,R2=2Q,L=1H,C=1F,试求t

20时的响应uc(r)o

5-1求以下函数的单边拉氏变换。

(1)2-e-/(2)b(f)+e"(3)e2/cosr(4)sin2r+3cos2/

解(1)F(5)=fAX?(2-e-1/)e-i,dry=4--?------=-^--

%S5+1S(S+1)

⑵F(s)=「UQ)+e-3,]e_5,df=1+—

Jo-5+3

⑶F(5)=£(e_2zcosr)e-'7dz=£"-(ej/+e-j/)e-2/-e-v/dr

if111_s+2

2(s+2-js+2+j,($+2)2+1(4)F(5)=£(sin2t+3cos2t)e"di

1(1113/1112+3s

-----H-------;------;=-

2儿-2/s+2力21s-2/s+2j)s+4

5-2求以下题5-2图示各信号的拉氏变换。

解(a)因为工(f)=£«)—£((—%)

而£(。一>一,£[t—Zo)—>—e""

ss(a)

故工(，)-^-(1-e"1)(b)因为/(/)=——一，0)[=—£(t)---£(，一，0)

S，o，o，o

又因为上£«)-」£(/To)fd+」一)「

%s'o'o$st0

故有3")->J--(-+"-把f=」一(1一e-"。)--e-“。

SZoSSt()5*7。S

5-5利用微积分性质，求题5-3所示信号的拉氏变换。

解先对yu)求导，那么

故对应的变换片(s)=-(1-2e-v+2C-3T-e")

s

所以八)=gj约

ss~

L/、5+1

5-9用局部分式法求以下象函数的拉氏反变换。(1)F(s)==-------

s+5$+6

2s2+9+214

(2)F(s)=—1——(3)尸G)=-----(4)F(s)=----y(5)

s(s2+\)/+3S+2S(S+2/

解(1)

s+15+1_k[k2

尸⑸二匕=(S+2/(S)L2=7k2=(s+3)尸(s*=3=2

s~+5s+6(s+2)(5+3)s+25+3

-12

故有F(s)=所以/("二(—e-2'+2e-力把⑺

s+2s+3

2s2+s+2ABs+C

(2)F(s)=可得A=s/(5^^=2

5(52+l)s'+1

2I

又2/+$+2=AS2+A+B$2+CS可得B=O,c=1F(5)=-4

s2+\

所以/Q)=(2+sinf)cQ)

k\

(3)F(s)=——----=------------+缶匕=("1"(况一

s?+3s+2(5+l)(s+2)s+1

1-1

k2=(s+2)F(5)|i=2=7故有尸(s)=-----F-----故/⑴二小一'—©^)5")

S+15+2

43+2)2%k+122

⑷"EII故匕=5/(5'必=1

故有尸⑻丁丁-E所以阿=(-—-的

5-12设系统微分方程为)，〃(/)+4y'Q)+3y(t)=2/()+f(t)

}'(0_)=l,/(0_)=1,/(r)=e-2/-40o试用s域方法求零输入响应和零状态响应。

解对系统方程取拉氏变换得

S2Y(S)-sy(O_)-)，'(0_)+4sY(s)-4y(0_)+3y(s)=2s/⑸+尸(s)从而

»(0)+y'(())+4y(())।2$+l

VG)=•F(s)由于F(s)=------

52+45+3s2+45+35+2

故Y(s)=------------+-----------------------

『+4s+3,(s+2)(/+4s+3)

75i5

求反变换得'公(/)=-e-z--e-3/(r)=--e-z+3e-2/--

全响应为y(t)=3e-z+3e_2f-5e^,/>0

5-13设某LTI系统的微分方程为_/(/)+5y'a)+6yQ)=3/()求其冲激响应和阶跃响应。

33

解对方程取拉氏变换，得系统函数"($)二十二——=----:------当yu)=s(f)时，用s)=i,得

s-+5s+6(s+2Xs+3)

y(s)=H(s)=------------从而h(t)=3e-2/-3e-3z,r>0

(s+2Xs+3)

当/(，)=£(/)时，F(5)=-,得y(s)='"(s)=c----J——=—+—1+——7

sss(s+2)(s+3)ss+2s+3

2f3/

故得y(t)=s(t)=0.5-1.5e-+e-,r>0

f(t)=£⑴

5-18如题5-10图所示电路，Us=28V,L=4H,C=-F,R=12C,R=R3=2Qo当/=0时S断开,

42

设开关断开前电路已稳定，求也0后响应〃c(/)。

Us

解初始状态在，二0一时求得不(0)==2AWc(0_)=——•/?,=4V

R[+R]R+R]-

对于图(b)S域模型，列出关于Gc(s)的节点方程，即

28..

1VI籍十1解得〃⑸二篝餐3s+8

12+4JL产⑸=($+2)2

-2/

可得uc(r)=7-2(f+1.5)e(i>0)

例6・9设有反应控制系统如下图，为使系统稳定，试确定K的取值范围。

y“)

解：由图可得系统函数H(s)=(s+l)(：+2)=

I---检----

1丁($+1乂"2)

二-------------按二阶系统稳定条件,3+K>0,k>-36-1某系统函数H(s)的零、极点分布如题

J+(3+K)s+2

6-3图所示，假设冲激响应的初值力(0+)=2,求系统函数”(s),并求出h(t).

解由图示零、极点分布，应有H(s)=-----乜贮——7

(f⑻

(s+l)-+—

又因为/i(0)=limsH(s)=H(0)=2故有H(s)=进一步可表示为

+图

5+11

H(s)=22所以

㈤

3+四(§+1)2+初

2

*4

6-3某系统函数”(5)的零、极点分布如题6-4图所示，且从=________达式。

°”曲

解从图可知系统的零点为zi=0,Z2=-2,Z3=-3极点为5户-

*--------j2

52.3=-2±j2故系统函数

0Q

6-4在题6-1图示系统中,44)=b(f-l),%(f)=£⑴一£(了-2),试求-j2)和冲激响应

例I),并画出其波形。

一九⑺---1

解因为X")=/«)*/%«)+/(/)

故

耳(s)=F(s)Ha(s)+F(5)=[l+HaW]户(s)而Y(s)=X(s)4a(s)•Hh(s)

其中"a(s)=e-s,”b(s)=-(l-e-2s)所以y(s)=(1+e-s)e-s」(1一e"s).F(s)

故“($)=2=(1+，9二力.6，1e+/一丁_。)

F(s)