电磁感应中的动量和能量+高二上学期物理人教版(2019)选择性必修第二册

2.2电磁感应中的动量和能量

一、动量定理在电磁感应中的应用模型：光滑导轨，间距为L，无电阻，导体棒质量为m，电阻为r.设t时刻导体棒速度为v，经过极短∆t

时间，速度变化量为∆v.t时刻的安培力大小为

F=B²L²v/(r+R).近似认为在∆t时间内安培力等于t时刻安培力,∆x=v∆t,为∆t时间导体棒的位移.

v0F导体棒做加速度减小的减速运动，从开始运动到最终停下过程，从开始运动到停下的总位移为作答时，为简化书写，设全过程平均速度为，

设t时刻导体棒速度为v，闭合回路电流为i.极短∆t

时间，速度变化量为∆v.近似认为在∆t时间，电流不变，等于t时刻的电流.由动量定理， m∆v=-iLB∆t=-LB∆q∆q=i∆t为∆t时间通过任意截面的电荷量.从开始运动到停下过程，∑m∆v=∑

(-LB∆q)∑m∆v=0-mv0∑

(-LB∆q)=-LB∑(∆q)=-LBq,全过程通过的电荷量q=mv0/(LB)v0F二、双棒切割导体棒a、b质量均为m，电阻均为R,光滑导轨，导轨电阻不计。导体棒a具有初速度v0，分析a、b的运动.初始时刻,导体棒a相当于电源，回路中有电

流.在安培力作用下，a向右减速，b向右加速.导体棒b运动后，两导体棒均产生电动势，产生的电流绕行方向相反.由于va>vb，回路电流方向与a棒产生的感应电流

绕行方向相同.iiFFvavbt时刻a、b棒速度分别为va和vb，在安培力作用下，va增大，vb减小，回路电动势E=(BLva-BLvb)减小，回路电流减小，安培力减小，棒的加速度减小。故a棒做加速度减小的加速运动，b棒做加速度减小的加速运动。当电动势为0，即两导体棒速度相同时，两棒速度稳定，继而做匀速直线运动。两导体棒的动量守恒，

mv0=2mv共同速度

v=v0/2tv0Ovv结论：克服一对安培力做功等于闭合回路产生的焦耳热.证明：回路电流I=E/(2R)=BL(va-vb)/(2R)安培力大小为F=ILB=B²L²

(va-vb)/(2R)a棒安培力功率为Pa=-Fva，b棒安培力功率为Pb=Fvb，安培力功率之和为Pa+Pb=-F(va-vb)=-B²L²

(va-vb)²/(2R)<0回路焦耳热功率为 P=I²·(2R)=B²L²

(va-vb)²/(2R)∴

P=|Pa+Pb|三、含电容器的感应电动势如图所示，在竖直放置的两平行光滑长直金属导轨的上端，接有一个电容为C，磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面.现有一质量为m，长为L的金属杆ef，金属杆电阻忽略不计，在t=0时刻由静止释放，沿导轨下滑.导轨无电阻.分析金属杆的运动.设t

时刻金属杆速度为v，金属杆无电阻，电容器电压

等于动生电动势， U=BLv电容器电荷量为

q=CU=CBLv则有Δq=CBLΔv，Δq/Δt=CBLΔv/Δti=Δq/Δta=Δv/Δt即i=CBLa对金属杆，mg-iLB=mamg-CB²L²a=ma加速度为a=mg/(m+CB²L²)，金属杆做匀加速直线运动四、练习题练1光滑桌面有一正方形线圈，某区域存在有界匀强磁场，磁感应强度为B。线圈以初速度v进入匀强磁场，线圈能够穿过磁场。设线圈完全进入磁场时的速度为v1，完全离开磁场时的速度为v2，试证明：v+v2=2v1.证明：进入磁场离开磁场练2两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，导轨上垂直放置两根导体棒a和b，俯视图如图所示．在整个导轨平面内有竖直向上匀强磁场，导体棒与导轨接触良好且均可沿导轨无摩擦地滑行，若给a棒一初速度的同时释放b棒，在一段时间内a棒动能的减少量为Eka，b棒动能的增加量为Ekb，a棒克服磁场做功为Wa，a、b棒上产生总热量为Q，则(

)A．Wa＝Eka＋Q

B．Wa＝Q＋EkbC．Wa＝Q D．Ekb＝QB练3(多选)如图，宽度为d的有界匀强磁场竖直向下穿过光滑的水平桌面，一质量为m的椭圆形导体框平放在桌面上，椭圆的长轴平行于磁场边界，短轴小于d.现给导体框一个初速度v0(v0垂直磁场边界)，已知导体框全部在磁场中的速度为v，导体框全部出磁场后的速度为v1；导体框进入磁场过程中产生的焦耳热为Q1，导体框离开磁场过程中产生的焦耳热为Q2.下列说法正确的是(

)A．导体框离开磁场过程中，感应电流的方向为顺时针方向B．导体框进出磁场都是做匀变速直线运动C．Q1>Q2D．Q1＋Q2＝m(v02－v12)/2ACD练4如图所示，光滑矩形平行金属导轨固定在水平面上，一导体棒静置于导轨上，并与导轨垂直，构成回路．回路上方一条形磁铁在外力F作用下，竖直向上做匀速运动．运动中外力F对磁铁做功WF，磁场力对导体棒做功W1，磁铁克服磁场力做功W2，重力对磁铁做功WG，回路中产生的焦耳热为Q，导体棒获得的动能为Ek.则下列关系正确的是(

)A．W1＝W2 B．W2＝Ek C．W2＝W1＋Q D．WF＝Ek＋QC练5如图，足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上，两导轨间距为L，导轨上静置一质量为m的金属杆ab，质量为2m的金属杆cd以大小为v0的水平初速度朝着金属杆ab运动．整个装置处于竖直方向的匀强磁场中(图中未画出)，磁感应强度大小为B，两金属杆始终与导轨接触良好且垂直等宽，金属杆cd始终没有与金属杆ab接触，导轨电阻和空气阻力均可忽略不计，则在两金属杆相对运动过程中，通过金属杆ab的电荷量为(

)B练6如图，两根足够长的光滑平行金属导轨PP′、QQ′倾斜放置，匀强磁场垂直于导轨平面向上，导轨的上端与水平放置的两金属板M、N相连，板间距离足够大，板间有一带电微粒，金属棒ab水平跨放在导轨上，下滑过程中与导轨接触良好．现在同时由静止释放带电微粒和金属棒ab，则下列说法错误的是(

)A．金属棒ab一直加速下滑B．金属棒ab最终可能匀速下滑C．金属棒ab下滑过程中M板电势高于N板电势D．带电微粒可能先向N板运动后向M板运动B练7(多选)两个完全相同的金属线框abcd、a′b′c′d′放在光滑的水平面上，它们的右侧是一个竖直向下的匀强磁场，当两线框分别以速度v1和v2(v1>v2)进入磁场，恰好能完全进入磁场，在此过程中，线框产生的焦耳热分别为Q1、Q2，通过导线横截面的电荷量分别为q1、q2，下列判断正确的是(

)A．它们匀减速进入磁场B．金属线框abcd在进入磁场的过程中

克服安培力做的功等于它产生的焦耳热C．Q1>Q2，q1＝q2D．Q1>Q2，q1>q2BC练8(多选)如图所示，在距地面高为h的水平平台上固定着间距为L的两平行光滑金属轨道，该轨道由1/4圆弧CE、DF竖直轨道和EP、FQ水平轨道组成，在EF的右侧分布着方向竖直向上、磁感应强度为B的范围足够大的匀强磁场．质量为5m、长度为L的金属棒b静止放在水平轨道GH处．现将质量为m、长度也为L的金属棒a，由1/4圆弧轨道圆心等高处无初速度释放，在轨道末端PQ处与金属棒b发生了弹性碰撞，冲出轨道之后，金属棒a、b均落在距平台轨道末端PQ水平距离为0.5h的地面MN处．已知重力加速度为g，轨道的电阻忽略不计，金属棒a、b在运动过程中始终保持平行，不考虑空气阻力，下列说法中正确的是(

)A．金属棒b在空中运动过程中两端的电势差不变B．圆弧轨道的半径为2hC．整个运动过程中通过金属棒b的电荷量为D．整个运动过程中两金属棒产生的总热量为5mgh/8AD分析：金属棒b在空中做平抛运动，水平方向速度不变，根据E＝BLv可知，金属棒b在空中运动过程中两端的电势差不变，A项正确；两个棒做平抛运动，两个金属棒落地点相同，平抛运动初速度相同，0.5h=vbt,h=gt²/2,解得。碰撞结束时两金属棒的速度等大反向，从金属棒a下滑至水平轨道到两者碰撞结束，根据动量守恒和能量守恒有：magR=1/2·mav0²，mav0=-mavb+mbvbmagR=1/2·mavb²+1/2·mbvb²+Q,联立解得R＝h，Q＝5mgh/8,B项错误，D项正确.对b棒，BILΔt=5mvb，解得q=IΔt=练9如图所示，两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内，导轨间的距离为L，导轨上横放着两根导体棒ab和cd.设两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，导轨光滑且电阻不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B.开始时ab和cd两导体棒有方向相反的水平初速度，初速度大小分别为v0和2v0，求：

(1)从开始到最终稳定回路中产生的焦耳热；(2)当ab棒向右运动，速度大小为v0/4，回路消耗的电功率的值．分析(1)两棒动量守恒，m2v0-mv0=2mv 解得v=v0/2焦耳热Q=1/2·m(2v0)²+1/2·m(v0)²-1/2·2mv²=9/4·mv0²(2)当ab棒向右运动，速度大小变为时，设cd棒的速度是v2，根据动量守恒得2mv0－mv0＝mv2＋m·v0/4解得v2＝3v0/4此时回路中的总电动势E＝BL(3v0/4-v0/4)＝BLv0/2则消耗的电功率为P2＝E²/(2R)＝B²L²v0²/8R.练10如图所示，两段水平光滑导轨足够长，电阻不计．倾斜导轨与水平导轨平滑连接并且连接处右侧有竖直向上的