高考物理冲刺：知识讲解-带电粒子在磁场中的运动（基础）

物理总复习：带电粒子在磁场中的运动

编稿：李传安审稿：

【考纲要求】

1、知道洛伦兹力的特点，会计算其大小并用左手定则确定其方向；

2、掌握带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径周期公式，知道常见的分析

方法；

3、知道带电粒子在有界磁场中运动的多解情况、临界值与极值问题的处

理方法，会熟练求解相关问题。

【考点梳理】

考点、带电粒子在磁场中的运动

两类典型的综合问题

要点诠释：

1、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题，注意下列结论,再借助数学方法分

析

(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在滋场中运动的轨迹与边界相切。

(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在

有界磁场中运动的时间越长。

(3)当速率v变化时，圆周角越大的，运动时间越长。

2、带电粒子在磁场中的运动的多解问题

带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,由于多种因素的影响，使问题

形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面.

(1)带电粒子电性不确定形成多解

受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初

速度的条件下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同,导致形成双解。

(2)磁场方向不通定形成多解

有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时

必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解c

(3)临界状态不唯一形成多解

带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状，

因此_——匕可能转过180。从入射界面这边反向飞出，如图所示,

XXXX

于是

(4)运动的往复性形成多解

带电粒子在部分是电场,部分是磁场空间运动时，往往运动具有往复性，因

而形成多解。

【典型例题】

类型一、带电粒子在磁场中的运动的基础知识

【高清课堂：磁场对运动电荷的作用例2]

例1、如图，在电流I旁边有一个电子,某时刻具有与I相同

的运动方向,则下列说法正确的是()v

A.电子向左偏转，速度大小增大'’!

B.电子向右偏转，速度大小不变

C.电子不偏转，速度大小不变

D.电子向纸面外偏转，速度大小变大

【思路点拨】直线电流右边的磁场方向垂直向里，电子带负电，左手定则，洛伦

兹力不做功。

【答案】B

【解析】由安培定则可知导体右侧磁场方向垂直纸面向里，然后跟左手定则可知

运动电子所受洛伦兹力向右,因此电子将向右偏转，洛伦兹力不做功，故其速率

不变，故ACD错误，B正确.

【总结升华】本题考察的是基础知识，判断直线电流的磁场方向、洛伦兹力的方

向、洛伦兹力不做功等基本概念，因此必须熟练掌握，不得出差错。

由以上信息可知，从图中a、b、c处进大的粒子对应表中的编号分别为()

A3、5、4B.4、2、5

C.5、3、2D.2、4、5

【答案】D

【解析】根据半径公式，”答结合表格中数据可求得1-5各组粒子的半径之比

Bq

依次为

0.5：2:3：3：2，说明第一组正粒子的半径最小，该粒子从MQ边界进入磁场

逆时针运动。由图a、b粒子进入磁场也是逆时针运动，则都为正电荷，而且a、

b粒子的半径比为2:3,则a一定是第2组粒子，b是第4组粒子。c顺时针

运动，为负电荷，半径与a相等是第5组粒子。正确答案D。

类型二、带电粒子打在屏上的范围问题

例2、如图所示，相距为R的两块平行金属板M、N正对着放置，SKS2

分别为M、N板上的小孔，si.S2、O三点共线，它们的连线垂直板M、N,且

S2O=RO以O为圆心、R为半径的圆形区域内存在磁感应强度为B、方向垂直

纸面向外的匀强磁场。D为收集板，板上各点到O点的距离以及板两端点的距

离都为2R,板两端点的连线垂直M、N板。质量为m、带电量为+q的粒子，

经si进入M、N间的电场后，通过S2进入磁场。粒子在si处的速度和粒子所受

的重力均不计。

(1)当M、N间的电压为U时，求粒子进入磁场时速度的大小u；

MRN

(2)若粒子恰好打在收集板D的中点上，求M、厂匚|

N间的电压值Uo；口|J』

I9\

♦、

/2R\

D

粒子在磁场中经历的时间f,=——=篝⑥

v3qBi~

粒子出磁场后做匀速直线运动经历的时间％='=吗⑦

v3qB

(3+%)〃?

粒子从S1到打在收集板D上经历的最短时间为/=/,+/+/=⑧

233qB

【总结升华】根据题意分析粒子在不同的区域的运动规律，按照各自的特点列方

程求解，求出各部分的时间等问题。

举一反三

【变式】如图，真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度

的大小

B=0.60T,磁场内有一块平面感光板ab,板面与磁场方向平行，在距ab的距

离/=16cm

处，有一个点状的。放射源S,它向各个方向发射。粒子，。粒子的速度都是

V=3.0X106/T?/5,已知a粒子的电荷

与质量之比幺=5.0xl()7c/&g，现只

m

考虑在图纸平面中运动的a粒子，

求ab上被a粒子打中的区域的长度。

【答案】P1P2=20cm

【解析】a粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动,

用R表示轨道半径，有qvB=①

A

由此得R=---

代入数值得R=10cm,可见,2R>I>R.

因朝不同方向发射的a粒子的圆轨迹都

过S,由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点Pi就是a粒

子能打中的左侧最远点为定出Pi点的位置,可作平行于ab的直线cd,cd到

ab的距离为R,以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂

22

线，它与ab的交点即为Pi,NP]=yjR-(l-R)@

再考虑N的右侧。任何a粒子在运动中离S的距离不可能超过2R,以2R为半

径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点.

由图中几何关系得NP2=J(2R)2—广③

所求长度为P\P?=NP、+”④代入数值得PiP2=20cm⑤

类型三、带电粒子在磁场中运动的多解问题

例3、如图所示，第一象限范围内有垂直于/O)，平面的匀强磁场，磁感应强

度为B。质量为m,电量大小为q的带电粒子在xQv平面里经原点0射入磁场

中，初速度％与x轴夹角0=60,，试分析计算：

(1)带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向

发生的偏转角多大？

(2)带电粒子在磁场中运动时间多长？

【思路点拨】由于粒子的电性不确定则是多解问题。分别分析粒子带正电的情况

和粒子带负电的情况。

【解析】若带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为01,粒子向

x轴偏转，并从A点离开磁场。若带电粒子带正电，进

入磁场后做匀速圆周运动，圆心为。2粒子向y粕偏转,

并从B点离开磁场。不论粒子带何种电荷，其运动轨道

半径均为宠=如图所示，有

qB

。。=0^0=R=O[A=O、B

带电粒子沿半径为R的圆运动一周所用的时间为7=

(1)若粒子带负电，它将从X轴上A点离开磁场，运动方向发生的偏转角

0=120。

A点与O点相距工=8/?=避吧

Bq

若粒子带正电，它将从V轴上B点离开磁场，运动方向发生的偏转角02=60,

B点与O点相距)，=R=吟

qB

(2)若粒子带负电，它从O到A所用的时间为。=县7=警

3603Bq

若粒子带正电,它从O到B所用的时间为L黑T二等

3603Bq

【总结升华】解题的关键仍然是要画出轨迹图，要多练多想，熟能生巧，同时还

要考虑电荷的正负。本题是由于粒子的电性不确定而造成的多解问题。

【变式1]一质量为m,电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕

固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平

面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速

度可能是()

A.幽B.幽C.也D图

minmm

【答案】AC

【解析】依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面"，磁场方向有两种可能,

且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷

所受的洛仑兹力的方向也是相反的。

当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知

4M=〃E,得「理

Rm

此种情况下,负电荷运动的角速度为。=上=%

Rm

当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时，

有2Bqy=『*,得p=。

Rm

此种情况下，负电荷运动的角速度为。=5=幽。应选A、Ce

Rtn

【变式2】一足够长的矩形区域abed内充满磁感应强度为B,方向垂直纸面向

里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L,现从ad中点。垂直于磁场射入

带电粒子，速度大小为vo,方向与ad夹角为30。，如图所示。已知粒子的电

荷量为q,质量为m（重力不计）

M）若蛤彳笔仔由曰怜能从d点射出磁场，求vo的大小；

a।---------------------b

'XXxxxxF能从ab边射出磁场，求V0的取值范围以及粒子

xxxxXX

在XB

f\xXXXXX

JFn_________

,4九772

</<----------

(cE>

根据q%B="丹，则%==噌1

（2）当Vo最大时：R、-Rcos60=＜得Ri=L,

贝I」=qBR=四

当V0最小值:g+gsin30。=）得4=-

八,min…个…

所以V0的取值范围为警＜%《要

带电粒子从ab边射出磁场，当速度为时，运动时间最短,

卜-_1_5_0__]-_5_7_r_m

min-2（八一0

速度为vmin时运动时间最长：/a=盗7=驾

3603qB

54〃2一4九7”

••・粒子运动时间t的范围罟父〈苦

6qB3qB

类型四、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题

例4、图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直

于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0xl0-3T,在y轴上距坐标原点

L=0.50m的P处为离子的入射口，在y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子

以v=3.5x104m/s的速率从P处射入磁场若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m

的M处被观测到，巨运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为

q,不计其重力。

(1)求上述粒子的比荷幺；

m

(2)如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电

并归xxxxx:计时经过多长时间加这个匀强电场；

XXXXX

LXXX、XI按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可

1人人人人人

XXX尸」求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。

O・L一I、X

【思路点拨】理解"运动轨迹半径恰好最小"的意思是以两点连线作为直径，运

动轨迹半径最小，画出轨迹图。理解〃使其沿y轴正方向做匀速直线运动”的意

思。理解"矩形磁场区域的最小面积〃的意思。

:/kg(或5.0xi()7c/kg)；(2)/=7.9x10^5；(3)

X

L中的运动半径为ro如图，依题意M、P连线即为该

XXX/XzZf—_

初的直径，由几何关系得，”

由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得

qvB=m一②

联立①②并代入数据得且=4.9xl()7C/kg(或5.0xio7C/kg)③

（2）设所加电场的场强大小为E。如图,当粒子经过Q点时，速度沿y轴正方

向，依题意，在此时加入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡,

则有

qE=qvB④代入数据得E=70N/C⑤

所加电场的场强方向沿X轴正方向。由几何关系可知,圆弧PQ所对应的圆心角

为45°,设带点粒子做匀速圆周运动的周期为T,所求时间为t,则有

'=嬴T⑥］平⑦

联立①⑥⑦并代入数据得，=7.9x10's⑧

（3）如图，所求的最小矩形是出P,该区域面积S=2,⑨

联立①⑨并代入数据得S=0.25m2矩形如图丙中出尸（虚线工

【总结升华】抓住关键词语"运动轨迹半径恰好最小”的意思是以两点连线作为

直