高考数学函数同构专题（二）教师版

函数同构专题(二)

一.选择题(共5小题)

1.(2019•岳麓区校级模拟)已知”>0,函数，。)=j"-/心+4)-心>0)的最小值为0,

则实数a的取值范围是()

A.(0,1]B.[1,1)C.{1}D.0

2.(2020•蚌埠三模)已知函数/(x)=-^+x-加(ax)-2(a>0),若函数/(x)在区间(0,+co)

e

内存在零点，则实数。的取值范围是()

A.(0,1]B.[1,-Foo)C.(0,e]D.[3,+oo)

3.(2021春•昆明期末)已知函数f(x)=xe、-伍¥-不-1,若对任意xe(0,+oo),使/(元)..a,

则。的最大值为()

A.0B.c—2C.1D.c—\

4.(2021春•西湖区校级期中)已知函数/(x)=xe"g(x)=xlnx,若/(工[)=@&)=，，其

中f>0,e是自然对数的底数，则生的最大值是()

3

5.(2021•三模拟)已知函数/(x)=(x-x'"+加加x)e*+l[m<0),当(e(l,+oo)时，恒有/,(x)..0,

则实数机的取值范围是()

A.[-2,-1]B.[-e,0)C.[-e,-?G]D.[~2e,0)

二.多选题(共1小题)

6.(2021春•濠江区校级期中)已知函数/(x)=x+/n(x-l),g(x)=xlnx,若f(x])=1+2lnt,

2

g(x2)=t,则(西马一马)/“的取值可能是()

A.--B.--C.--D.--

e2e22ee

三.填空题(共9小题)

7.(2021春•淇滨区校级月考)己知a>l,若对于任意的+oo),不等式

3

4%-/n(3x)„aex-Ina恒成立，则a的最小值为.

8.(2020•福建二模)己知对任意xe(0,4w),都有％(e"+1)—(1+」)/ar>0,则实数/的取

X

值范围为.

9.(2020•重庆模拟)若直线y=or+Z?与曲线y=//优+1相切，则ab的最大值为.

10.(2021春•赤峰期末)已知函数/(x)=e"-。-加(ex+〃)，若关于工的不等式/(x)>0恒

成立，则实数。的取值范围是—・

11.(2020秋•湖北月考)若xe(0」)时，关于x不等式以％"+2/吗,0恒成立，则实数。的

e

最大值是—.

12.(2020秋•上月考)已知函数/(x)=ae*+/〃，--2(a>0),若f(x)>0恒成立，则实数

x+2

〃的取值范围为—.

13.(2020秋•河北月考)己知函数〃x)=e2，+"-+£在定义域内没有零点，则a的取值

范围是—.

14.(2020秋•成都期末)已知关于x的方程24|-2山=_/+以_1在区间3］上有两个

不相等的实数根，则实数a的取值范围为一.

15.(2020秋•连云港月考)已知a>0,若a如;,恒成立，则a的值是.

四.解答题(共29小题)

16.(2021春•西湖区校级期中)设函数/⑴=皿*-亚-l(aeR).

(1)若a=l,求函数的图象在(-1,/(-1))处的切线方程；

(2)若不等式f(x)../nr在区间［1,+8)上恒成立，求a的取值范围.

e

17.(2019春•城关区校级月考)已知函数/(1)=%-3+1)阮¥,acR.

(1)当。=1时，求曲线y=在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)令g(x)=/(x)-0，讨论g(x)的单调性;

X

(3)当a=2c时，疝*+机+,〃◎.0恒成立，求实数机的取值范围.(e为自然对数的底数，

e=2.71828...).

一，bex~［.—

18.(2014•新课标I)设函数/(幻=〃"加+----,曲线y=/(x)在点u(1,f(1))处得

x

切线方程为y=e(x—1)+2.

(I)求a、b；

(II)证明：/(x)>l.

19.(2019•黄山一模)已知函数f(x)=e*-/〃(x+m)+?n.

(I)设x=O是/(x)的极值点，求机的值；

(H)在(I)的条件下，/(x)-k..O在定义域内恒成立，求&的取值范围；

(III)当肛,2时,证明：f(x)>m

20.(2015•新课标I)设函数“r)=e2x_a/〃x.

(I)讨论f(x)的导函数/'(X)零点的个数；

2

(II)证明：当。>0时，f{x}..2a+aln—.

a

21.(2020秋•润州区校级月考)已知函数/(x)=ae'T-/«%+/〃”.

(1)当a=e时，求曲线y=/(x)在(1,f(1))处的切线方程；

(2)若求。的取值范围.

22.(2019•汉中二模)已知函数/(x)=e*-/〃(x+l)-a的图象在x=0处与x轴相切.

(1)求/(%)的解析式，并讨论其单调性.

(2)若证明：e'~'+ln(t+1)>/M(X+1)+1.

23.(2020春•岳麓区校级月考)已知/(x)=a/nr-x+1,g(x')=x-ex,a为实数.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)设/z(x)=/(x)+g(x),求所有的实数值a,使得对任意的x>0,不等式〃(x),,l-e恒成

立.

24.(2020春•昆明期末)已知函数，(x)=e*-5+l)/nx-2.

(1)若x=l是/(x)的极值点，求。的值，并求f(x)的单调区间；

(2)当a=e时,证明：/(%)>2e—(e+l)ln(e+1).

25.(2020春•昆明期末)已知函数/(x)=e*-(a+l)/〃x-2,e为自然对数的底数.

(1)若x=l是/(x)的极值点，求a的值，并求f(x)的单调区间；

(2)当a=2时，证明：/(x)>4-3/n3.

26.(2020春•安徽期末)已知函数〃x)=ae3g(x)=/n(x-l)+l.

⑴设G(x)=/(x)-g(x),x=3是G(x)的极值点,求函数G(x)的单调区间;

(2)证明：当a..=时，/(x)..^(x).

e

27.(2019•重庆模拟)已知函数f(x)=/nr-ar+a,aeR.

(1)若/(x)存在极大值/(%),证明：/(%())..0；

(2)若关于x的不等式f(x)+e-..l在区间[1,+8)上恒成立，求。的取值范围.

28.(2019春•雅安期末)已知函数f(x)=/nx+ox2,

(1)若函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围：

(2)若/(幻>52+2公-d+6-24在、€(1,+00)上恒成立，求实数a的取值范围.

29.(2020秋•辽宁月考)已知函数/(幻=j"-x/nx+x(aeR)有两个极值点不，必须<马)，

设/(x)的导函数为g(x).(其中e是自然对数的底数)

(1)若a=0,求曲线y=/(x)在x=l处的切线方程；

(2)证明：a>2.

30.(2015•长沙校级一模)已知函数/(x)=/«x-a(x-l),g(x)=e*.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当awO时，过原点分别作曲线y=/(x)与y=g(x)的切线4,4，已知两切线的斜率

"1-1

互为倒数，证明：—<«<—;

ee

(3)设Zz(x)"(x+l)+g(x),当x..O,时,求实数a的取值范围.

31.(2021•湖北模拟)已知/(x)=ae”+(2a-l)e*-x,a为常数.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若X..0时，f(x)..(3a-I)cosx恒成立，求实数a的取值范围.

32.(2017•夏邑县校级模拟)已知函数/(x)=ar-/nx,F(x)=ex+ax,其中x>0,a<0.

e为自然对数的底数.

(I)若/(x)和尸(x)在区间(0,历3)内具有相同的单调性，求实数a的取值范围；

(II)若”e(-oo,--v]>且函数g(x)=xe"i-2ax+/(x)的最小值为M,求M的最小值.

e-

33.(2021•让胡路区校级三模)已知函数/。)=。-2)/-32+以，aeR.

(I)讨论函数/(x)的单调性；

(II)当XC1时，不等式/(幻+*+1)才+m2_20r+a>0恒成立，求。的取值范围.

34.(2020秋•一月考)已知函数/(x)=x-/nr.

(1)求函数，(x)的最小值;

(2)已知实数a>0,e为自然对数的底数，若/(幻+讹”+*..0在(0,+00)上恒成立，求

实数a的取值范围.

35.(2019•深圳二模)已知函数f(x)=a炉+2x—知(其中常数e=2.71828…,是自然对数

的底数.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)证明：对任意的a.1,当％>0时,f(x)..(x+ae)x.

36.(2020秋•眉山期末)已知函数f(x)=£(e为自然对数的底数)，函数g(x)=/nr.

X

(I)求函数/(X)的最小值；

(II)若不等式/(x)+g(x)>0在(0,+OO)上恒成立,求实数〃z的取值范围.

37.(2020•济宁模拟)已知函数/(x)=x—a/nx.

(I)若曲线y=/(%)+〃(〃，在％=1处的切线方程为x+y-3=0,求。，b的值；

(II)求函数g(x)=〃幻+区里3€/?)的极值点；

X

(III)ISh(x)=—/(x)+ae'-—+lna(a>0),若当x>a时，不等式〃(x)..0恒成立，求。的

aa

最小值.

38.(2020秋•四川月考)已知函数/(x)=Me,-a)-2/nx+2/〃2-2,(ae/?).

(1)当“=2时，若,f(x)在点(%,/(%))切线垂直于y轴，求证：lnx0=/n2-x0；

(2)若/(x)..0,求”的取值范围.

39.(2021•凉州区校级模拟)已知函数/(x)=/-2ar-l,g(x)=2a/〃(x+1),awR.

(I)若f(x)在点(0,f(0))的切线倾斜角为巴，求a的值；

4

(H)求f(x)的单调区间;

(III)若对于任意工引0,+<»),/(x)+g(x)..x恒成立，求a的取值范围.

40.(2021春•渝中区校级期中)函数f(x)=1e"*-」x2,/")是/(幻的导函数.

tn2

(1)若"2=1,XGR,证明：/(x)+/'(-%)..2；

(2)若仅>1,且对任意xe(e,田)，侬(卅-6)+2/,(力加_6恒成立,求实数机的取值

Inx

范围.

41.(2020秋•常州期末)己知函数/*)=丝(°>0).

Inx

(1)当函数f(x)在x=1处的切线斜率为-2时，求/(x)的单调减区间；

e

,x

In

(2)当x>l时，/(x)..，4•-求。的取值范围.

eInx

42.(2020秋•寿光市校级月考)已知函数f(x)=bix+ax+].

(1)讨论/(幻的单调性；

(2)对任意x>0,加2一./(1)恒成立，求实数。的最大值.

43.(2020•浙江模拟)函数=a>0

(I)对任意+oo),/(x)…gj?+i恒成立，求。的取值范围；

(11)若4>1,对任意xe(e,"o),纪如史竺二父_浓+6.0恒成立，求a的取值范围.

Inx

44.(2021春•鲤城区校级期末)已知f(x)=e计"+办，g(x)=(x+V)ln(x+1).

(1)讨论/(此的单调性；

(2)若函数/(x)=/(x)-g(x)在定义域上单调递增，求实数。的取值范围.

函数同构专题(二)

参考答案与试题解析

选择题(共5小题)

1.(2019•岳麓区校级模拟)已知a>0,函数/'。)=j"-历。+4)-1*>0)的最小值为0,

则实数。的取值范围是()

A.(0,1]B.[1,1)C.{-}D.0

【解答】解：由题意知/(a)=ea~a-ln(a+a)--0>即0<4，.

由于当人£火时，不等式e，..x+l；当x>0时，不等式加;,x-l,

因此①当0<a时，/(x)=ex-a-ln(x+a)-1..[(x-a)+1]-[(x+a)-1]-1=-2«+1>0

合题意，舍去；

②当a=，时，/(x)=ex---/»(x+-)-l..[(x--)+lJ-l(x+-)-l]-l=O(当x=1时取等

号)则a=，,

2

故选：C.

2.(2020•蚌埠三模)已知函数/(x)=W+x-妨(ar)-2(a>0),若函数/(x)在区间(0,+O0)

e

内存在零点，则实数。的取值范围是()

A.(0,1]B.[1,+oo)C.(0,e]D.[3,+00)

exX—IfiX~

【解答】解：方法一：由/(1)=1~+不一加(ar)-2(。>0)可得/<x)=—h(----a),

eex

设丁=----a,x>0,a>0,则/=-----3,令V=0nx=l,「.y在xc(O,l)单调递

xx~

减，在X£(1,+OO)单调递增,

故％,；“=y⑴=1一。・

①当0vaV1时，令f\x)=0=>X=1,当X£(0,l)时，/(X)单调递减，当X£(l,+oo)时，/(X)

单调递增，

.二f(x)疝"=f(1)=a-l-lna>0,此时/(%)在区间(0,+oo)内无零点；

②当〃=1时，/(1)=a-\-lna=Of此时/(x)在区间(0,+a))内有零点；

V-12*7

③当时，令/‘(％)=--r(----a)=0,解得“=玉或1或占，K0<x<1<,

ex~x

此时/(X)在无£(0,X])单减，Xe(X,,1)单增，XE(1，W)单减，XG(x2,+00)单增，

当X=%或工2时，/(幻极小值=0，此时/(九)在区间(0,田)内有两个零点；

综合①②③知/(幻在区间(0,+OO)内有零点=〃.』.

方法二：由题意可得

L+S=DT+2,即「…)-[T+1+/H(OX)]-1=0,

因为".5+1当工=0时等号成立，

所以—x+1+出(ax)=0,即or=ex~l,

广尽,、八1(x-l)ex

a=---，令g(%)=----，gU)=-x--------，

xxex

易知g(x)在(0,1)单减,在(1,转)上单增，所以g(x)..g(1)=1,

又X趋近于0和正无穷时，g(x)趋近于正无穷，

所以4..1.

故选：B.

3.(2021春•昆明期末)已知函数/(x)=xe*-/nx-x-l,若对任意x£(0,”)，使/(x)..a,

则。的最大值为()

A.0B.e-2C.1D.e-1

【解答】解：令g(x)=，-xT,则g(x)=e*-l,

令g，(x)>0,解得：x>0,令g，(x)<0,解得：xvO,

故g(x)在(0,e)递增，

故g(x)..g(O)=O,即e\.x+],

xl,,xxl,lxx

f(x)=xe-Inx-x-1=ee-Inx-x-\=e^-Inx(Inx+x+\)-lnx-x-\=Qf

当/nx+x=O时取"="，所以/(x)的最小值为0,

所以④0,所以。的最大值为0,

故选：A.

4.(2021春•西湖区校级期中)已知函数/(x)=W,^(x)=xlnx,若/(3)=且(工2)=，，其

中，>0,e是自然对数的底数，则里的最大值是()

A.4-B.4c.-D.-

eeee

XJ

【解答】解：由题意，xxe=t,x2lnx2=t,则加

由图可知，当，>0时，/(x)=，有唯一解，故％=历々，且%>0，

bit_Int_Int

-----=--------=—，

石马x2lnx2t

设〃(力=则，z>0.则〃")=上户，令〃。)=0,解得f=e,

tr

易得当re(0,e)时，h'(t)>0,函数/?⑺单调递增，

当fe(e,+oo)时，〃⑺<0,函数〃⑺单调递减，

故/旧),,/?(e)=L即四1的最大值是

ex{x2e

故选：C.

5.(2021•三模拟)已知函数/(%)=(x-xm+mlnx)ex+1(〃?<0),当xc(1,+oo)时，恒有f(x)..0,

则实数机的取值范围是()

A.[-2,-1]B.[-e,0)C.[-e,一？五]D.[—2e,0)

mx

【解答】解:「当x£(l,+oo)时，恒有(x-x+mlnx)e+\..0y

.,.恒有x+2•..xm-mlnx(x>1),即恒有e~x-lne~x..xm-lnxm(x>1).

ex

构造函数g(x)=x-/nr,・.・g〈x)=l-L

x

y=g(x)在(0,1)上单调递减，在(l,yo)上单调递增.

•.,x>l,^<0,..0<^~v<1,0<<1,

・/g—

两边取自然对数得minx..x,in..--,

Inx

令h(x)=一生，则h'(x)=)”,

Inx(Inxr

y=〃(x)在(l,e)上单调递增，在(e,+oo)上单调递减，

.,.当x=e时，h(x)fnax=4(e)=-e,m<0,

・•.m的取值范围为[-6,0).

故选：B.

二.多选题(共1小题)

XHX

6.(2021春•濠江区校级期中)已知函数/(X)=+Z(-1),g(x)-xlnx,若f(x1)=1+lint,

g*2)=/，则(西入2-9)/加的取值可能是()

A.--B.--C.--D.--

e2G2ee

2xl

【解答】解：</(X)=石+Zn(x,-1)=1+2lnt,即玉一1+ln{xx-1)=Int=ln[e'~-(x,-1)],

22,,LX2

t=eX[?l(%-1)①，r>0,g(x2)=x2lnx2=t=e~,Inx?②,又・.・y=x•，在[0,+oo)

上单调递增，

2

故由①②得%-1=lnx2,故(%]%2-x2)lnt=x2lnx2-Int=tlnt,

2I

令h(t)=t2lnt(t>0),则h\t)=2tlnt+f,令/⑺>0,解得：>>”，令<0,解得：0<£<”，

-1-1.1i

故〃⑺在(0,e2)递减，在5,+8)递增,故力⑺〃而=〃(e2)=一一,

2e

故选：BC.

三.填空题(共9小题)

7.(2021春•淇滨区校级月考)已知a>l,若对于任意的xej,+00),不等式

3

4x-/n(3x)„aex-Ina恒成立，则。的最小值为—二—.

e

【解答】解：4x-ln(3x)„aex-Ina恒成立

<=>3x-ln(3x\,aex-Ina-x

<=>3x-ln(3x)„aex-ln(aex),

令f(x)=x-lnxf\x)=1--=--,

1xx

故/(X)在[1,+8)上单调递增，

a>1,xe[-,+oo),/.3x，aexG[1,+oo)，

3

QyQy

故3用,aex<=>—„a恒成立，令g(x)=—,

exex

只需a..g(x)〃皿，由g，(x)=——,

e

a

故X=1时，g(x)的最大值是士，

e

小攵a..—J

e

故〃的最小值是3,

e

故答案为：

e

8.(2020•福建二模)己知对任意xw(0,”)，都有+1)-(1+』)/nr>0,则实数％的取

X

值范围为_(1^_+<»)_.

e

【解答】解：对任意xw(0,a),都有&(e^+l)—(1+工)/心>0,

X

可得kx(,ekx+1)>(1+x)lnx,即(1+ek')lnekx>(1+x)lnx,

可设/(x)=(l+x)Znr,可得上式即为f(*)>/(x),

由尸(x)=欣+1+X,f"(x)=————T->

XXXX'

当x>I时，r'(x)>0,f'(x)递增；当0<x<l时，/(x)<0,r(x)递减，

则r(x)在x=i处取得极小值，且为最小值2,

则f(x)>0恒成立，可得f(x)在(0,+00)递增，

则卢>》恒成立，即有A>如恒成立，

X

可设g(x)=M,g\x)=--■，当x〉c时，g(x)vO,g(x)递减；当Ovxve时，g\x)>0,

XX

g(x)递增，

可得g(x)在x=e处取得极大值，且为最大值,，

e

则%>!，即后的取值范围是(!，+00).

ee

故答案为：(-,+oo).

9.(2020•重庆模拟)若直线y=av+b与曲线丁=历¥+1相切，则而的最大值为—-_.

e

【解答】解：设切点为(为,。优()+1),则切线为旷=工(工一工0)+/g)+1=_]_工+/啄，

/玉)

所以'=a,/“)=/?,则"=竺^，

毛玉)

令g(x)=妈，所以以幻=与竺，

XX

所以g(x)在(0,e)上单调递增，在3+00)上单调递减，

则g(X),mr=g(e)=,，即a。的最大值为-,

ee

故答案为：

e

10.(2021春•赤峰期末)已知函数-a-e勿(ex+a),若关于x的不等式/(x)>0恒

成立，则实数，的取值范围是_(-oo,0)_.

【解答】解：【方法一：隐零点】

a/

/(x)=ex-a-eln(ex+a)的定义域为(一一,-KO),/'(X)=ex----------,

eex+a

显然广⑴在(-3+8)上单调递增，

e

当％->(一色)+时，[(x)f-OO,当X—+8时r(x)一>+OO,

e

所以函数((X)在(-幺,+8)上存在唯一零点八%)=0，

e

当一幺<xv后时，r(x)<o,/(“)在(一州为)上单调递减，

ee

当x>x0时，,r(x)>0,/(x)在(%,+00)上单调递增，

所以/(.«)„„■„=f(x0)=e^'-a-eln(ex0+a)，

由题意可得f(x)min>0>即*-a-eln(ex0+«)>0,

2

因为/(与)=°=e"------——=0<=>ex0+a=e""oa=/-2-ex0,

exQ+a

22

所以e"一。一e/〃(e%o+a)>0oe"-(e~^-ex())-e(2一%)>0oe"+exi>>e'^+e(2-x0),

因为y=e'+ex是增函数，所以%>2-/<=>%>1,

令g(x)=e2~x-ex,g<x)=-e2~x-e<0,所以g(x)在R上单调递增,

所以。=g(x())vg(1)=0，故。的取值范围为(fO,0).

【方法二：反函数】

f(x)=ex-a-eln(ex+(2)>0<=>ex~l-—>ln(ex+a),

e

因为函数y=e'T一3和函数y=/〃(ex+a)互为反函数，

e

因为互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，

所以ex~'-->/"(ex+4)恒成立，等价于ex~'-->x<^>a<ex-ex,

ee

令h(x)=ex-ex,h\x)=ex-e,

当xvl时，h'(x)<0,〃(x)在(YO,1)上单调递减，

当x>l时，h'(x)>0,力(x)在(1,+00)单调递增，

所以九(X),,,,,=〃(1)=0，所以。<0，

故a的取值范围为(YO,0).

【方法三：同构】

f(x)=ex-a-eln(ex+a)>0<^>ex+ex>ex+a+eln^ex+a)<^>ex+ex>eMa+a)eln(ex+a),

令p{x}=ex+x,所以p(x)>p(ln(ex+a)),

由因为p(x)是增函数，所以x>/〃(ex+a)oa<e*-ex,

下同方法一.

故答案为(-8,0).

11.(2020秋•湖北月考)若x€(0―)时，关于x不等式加u+2。氏,0恒成立，则实数。的

e

最大值是_2e_.

【解答】解：令/«=a^eM+llnx,xw(0,-)

e

c八c2

/'(x)=3ax2e^+a、)以十一,

x

当a.O时，在(0」)上，f'(x)>0，/(x)单调递增，

e

1"—Q

所以."x)s<./'(—)=re--2,

ee

若x£(0」)时，关于x不等式+21网,0恒成立，则-^ec-2,,0,

令，=^。>0),则4/一2„0，BPte'-2e2,,0,所以上'“Ze2,

ee-

设咐)=k为增函数，所以f,,2,即色”2,所以硬上2e,

e

当avO时，ax'<0,2lnx<0,xe(0,-)

e

所以/(x)vO,满足题意，

综上，实数〃的取值范围为(-00,2c],

所以。的最大值为2e.

/2In—,ii加_!_

另解：原命题等价于分*+牛nr,,o,以*,,==/，

厂XXXX

令/(x)=xex,故原命题等价于,

JT

由/(X)在(0,400)上单调递增，

所以心,历-V在(0,-)上恒成立，

x~e

故知迦，令g(x)”,贝城(幻=』

XXX"

在(02)上，g'(x)>o,g(x)单调递增，

e

则g(x)<gd)=-e，

e

所以士竺>2e,

X

所以④2e.

故答案为：2e.

12.(2020秋•上月考)已知函数/(x)=ae'+/〃-g—一2(。>0),若f(x)>0恒成立，则实数

x+2

a的取值范围为_(e,-K»)

【解答】解：f(x)=aex+In----2(a>0),

x+2

函数/(x)的定义域是(-2,”)，

若y(x)>o恒成立，

贝lJe'"""+/〃a>/〃(x+2)+2,

两边加上X得到：

ex+lna+x+lna>x+2+ln(x+2)=e/n<t+2)+ln(x+2),

・.・y=，+X单调递增,

:.x+lna>ln(x+2),BPIna>ln(x+2)-x,

令g(x)=ln(x+2)-x,(x>-2),

则g，(x)*-l=-x-1

x+2

•••X€(-2,-1)时，g'(x)>0,g(x)递增,

xe(-l,+oo)时，g，(x)<0,g(x)递减,

故Ina>g(x),g=g(-l)=1，

故a>e，

故答案为：®E).

13.(2020秋•河北月考)已知函数/(x)=e2』-g/nr+]在定义域内没有零点，则a的取值

范围是_(一1一加2,4-00)_.

【解答】解：f(x)=e2x+a-^lnx+^,定义域是(0,”)，

f'(x)=2e2x+a令g(x)=2/"",/?(%)=—,

2x2x

当x>0时、g(x)单调递增，g(x)w(2e",+oo),/?(%)单调递减，h(x)e(0,+oo),

故存在/€(0,+00),使得/(%)=0,即存25aL=0,

2x()

即4e%*"=-!-①，两边取对数得加4+2/+〃=-/心0②，

%

而/(X)在(0,X0)递减，在(X。，+8)递增，

故/(X).=/(X。)>o，故e2&+"_；/啄+]>0,

将①②代入上式得：—+防4+2玉>+。+4>0,

4x022

化筒得。〉------xQ—1几2t

4%

+x0..i当且仅当」一=不时“=”成立，

仇为

--------------XQ——1—ln2,

故4>一1一加2,

故。的取值范围是(-1-勿2,+oo),

故答案为：(一1-勿2,-HX)).

法二：问题转化为阮r-a无解，

即2/""+(2x+a)=2x+lnx=2e'"+live无角星，

令g(x)=2^+x,g(x)单调递增，

故g(2x+a)=g(ltvc)无解，

故2x+a=/nr无解，即2x—/nr+a=O无解，

令h(x)=2x-Inx+a,则"(x)=2—,，

x

/z(x)在(0,g)递减，在(；，+00)递增，

故〃(x)../z(g)=1+ln2+a,

又x—>(T时，h(x)—>+oo,xT+oo时，h(x)f+oo,

故/z(—)>0>ci>-1-妨2,

故答案为：(一1一历2,+oo).

14.(2020秋•成都期末)已知关于x的方程2'川-23=-Y+ar-l在区间3］上有两个

不相等的实数根，则实数〃的取值范围为_(2,孑_.

【解答】解：因为方程2~-23=—2+如_1,

所以变形为2*"+(%2+1)=2"+ax,

令/⑺=2、f,

则有/，+D=f3)，

因为/«)=2'+/在氏上单调递增，

所以/(x2+1)=/(ar)即为f+1=6，

故当xe［；,3］时，J+1”有两个不相等的实数根，

3掇W6

6/2-4>0

在V+l-or=0中，则有<△>，即<11

/(|)-0

9—3ci+1..0

/(3)..0

解得2<4,—,

所以实数。的取值范围为（2,

故答案为：（2,1].

15.（2020秋•连云港月考）已知a>0,若恒成立，则a的值是_e

【解答】解：方法一：因为a>0,若a/m;,恒成立，

InxIna

问题转化为/（X）,s，,—

a

当xw(0,e)时，/r(x)>0,/(x)单调递增，

当xw(e,+oo)时，f\x)<0,/*)单调递减，

所以当x=e时，f(x)=-,

nuixe

所以1,，tna_,即e[na__ao,

ea

令〃(a)=elna-a,所以问题转化为。(a)mjn=0,

[,(、ee-a

h!(a)=---1=----,

aa

当〃£(0,e)时，〃(a)>0,h(a)单调递增，

当Q£(e,+co)时，h!(a)<0,h(a)单调递减，

所以当o=e时，h(a)=h(e)=0,

方法二：空,㈣,令〃x)=妈，

xax

则/(x),,/(a),即/(a)为/O)的最大值，

又(")=一上，易知f(x)在(0,e)上单增，在(e,+00)上单减，

x

所以/(x)s=/(e),所以a=e.

故答案为：e.

四.解答题(共29小题)

16.(2021春•西湖区校级期中)设函数，(*)=以6*-0¥-1(4亡/?).

(1)若。=1,求函数/(X)的图象在(-1,/(-I))处的切线方程；

(2)若不等式/•(x)../nx在区间iL+oo)上恒成立，求。的取值范围.

e

【解答】解：(1)当。=1时，f(x)=xex-x-\,ff(x)=(x+V)ex-l,...............................(2

分)

又f(—1)=—,/'(—I)=-1,yH—=—(x+1)，(3分)

ee

即函数/(x)的图象在(-1,7(一1))处的切线方程为y=—x—1」.............(4分)

e

(2)当％=1时，etc—a—1..0,/.(i...----->

e-\

⑺当一!一,，〃<1时，令"(x)=ax(，-1)一/nx-l(X.」)...................(6分)

e-\e

贝UH(x)—a(文+l)e------ci—ci^x+l)e---------,,cii^x+1)---------.

xxx

令R(x)=xe*—l(x.l)，贝IJR'(X)=(X+1)，>0,又R(1)<0,R(1)>0,

ee

所以存在1),使得当4)时，R(x)<0,

ee

所以当4)时，〃'(》)<0即“。)在［1,4>)上单调递减，

ee

所以H(x)<W(-)=/(e«-l)<0,

ee

这与题意矛盾....................(8分)

(»-)当a.1时，“不等式/(x)../心在区间上,+oo)上恒成立”等价于：

e

“不等式xe'-x-弧-L.0在区间［L+⑹上恒成立.”

e

令尸(x)=xe*-lnx-x-\{x...—),即“不等式/(©..O在区间［士+8)上恒成立”.

ee

iq_i

F(x)=(x+IX-1-l=r=・(x,—1),令G(x)=xex-l,

XX

则G'(X)=(X+1)/(X..L).....................(9分)

e

因为当x.」时，G'(x)=(x+l)/>0,

e

所以函数G。)在区间/,+8)上单调递增，

e

所以函数G(x)在区间［L+8)上最多有一个零点.

e

又因为6(1)=、3-1<0,G(l)=e-l>0.

ee

所以存在唯一的cw(L1),使得G(c)=0.......................(10分)

e

当时，G(x)<0；当工£(0,+8)时,G(x)>0,

e

即当xw［1,c)时，F\x)<0；当x£(c,+oo)时，F\x)>0,

e

所以函数F(x)在区间［Lc)上单调递减，在区间(c,+oo)上单调递增，

e

从而F(x)..歹(c)=c-ec-lnc-c-\.................(11分)

由G(c)=0,得c/'-l=0,即c4=l,两边取对数得加c+c=0,

所以f(c)=c-ec-Inc-c-1=(c-el-1)-{Inc+c)=0-0=0,

所以尸(x)..F(c)=0,即F(x)..O,

所以不等式/(x)..在区间(0,+<»)上恒成立.

所以a的取值范围为a..l....................(12分)

17.(2019春•城关区校级月考)已知函数/(x)=x-(a+l)阮v,awR.

(1)当a=l时，求曲线y=f(x)在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)令g(x)=f(x)-@,讨论g(x)的单调性；

X

(3)当。=幼时，xe'+m+/(x)..O恒成立，求实数机的取值范围.(e为自然对数的底数,

e=2.71828…).

【解答】解析：(1)函数/(x)=x-3+l)/nx,a&R.

当a=l时，曲线y=/(x)在点(1,f(1))处有：

2

r«=i—,f(i)=-i,f(i)=i,

x

所以曲线y=/(x)在点(1,f(1))处的切线方程由点斜式可得：

x+y-2=0：

(2)g(x)=x-(a+V)lnx——,定义域为：(0,+oo),

x

,a+\a(x