高考数学 考前回归教材成功赢得高考

考前冲刺四考前回归教材，成功赢得高考

解决“会而不对，对而不全”问题是决定高考成败的关键，高考数学考试中出现

错误的原因很多，其中错解类型主要有：知识性错误、审题或忽视隐含条件错误、

运算错误、数学思想方法运用错误、逻辑性错误、忽视等价性变形错误等.下面我

们分几个主要专题对易错的知识点和典型问题进行剖析，为你提个醒，力争做到

“会而对，对而全”.

咽扣溯源I查知补漏扣要点防失误

回扣一集合、复数与常用逻辑用语

1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义一抓住集合的代表元素汝口：{x|y

=lgx}函数的定义域；{yly=lgx}函数的值域；{(x,y)|y=lgx)函数

图象上的点集.

[回扣问题1]已知集合”=卜器+方=1[,N=[y/A1，则MAN=()

A.0B.{(4,0),(3,0)}

C.[—3,3]D.[-4,4]

解析由曲线方程，知“=卜|京W"=[—4,4],

又N=h：+]=“=R,.,.MnN=[—4,4].

答案D

2.遇至UAC3=0时，需注意到''极端"情况：A=0或3=0；同样在应用条件AU3

=3=403=4=4^3时，不要忽略A=0的情况.

[回扣问题2]已知集合A={小＜—3或x＞7},3={x|m+1WxW2m-1},若3CA,

则实数m的取值范围是..

7TZ-H12//Z—1

解析当5=0时，有根+1＞2机一1,则机＜2.当BW0时，有＜'或

[2m—K—3

YYI12i/i-]

,’解得加＞6.综上可知，实数加的取值范围是(一8,2)U(6,+8).

m+l＞/9

答案(一8,2)U(6,+°°)

3.注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助

数轴来运算，求解时要特别注意端点值的取舍.

［回扣问题3］设集合A={x|-1WXV2},B={x\x<a］,若AABW。，则。的取值

范围是()

A.(—1,2］B.(2,+8)

C.［-l,+8)D.(-l,+8)

解析因为AABW。，所以集合A,3有公共元素，利用数轴可知a>—1.

答案D

4.复数z为纯虚数的充要条件是。=0且后O(z=a+历(a,OCR)).还要注意巧妙运

用参数问题和合理消参的技巧.

［回扣问题4］设i为虚数单位，z=2+尚，则|z|=()

A.lB.V1OC币D.乎

3i__2+i(2+i)(l+i)l+3i

解析+0二口=(1—i)(1+i)=2

答案D

5.复平面内，复数z=a+历(a,AGR)对应的点为Z(a,b),不是Z(a,历)；当且仅

当。为坐标原点时，向量反与点Z对应的复数相同.

［回扣问题5］在复平面内，复数2=隼4的共辗复数:对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

k/3—i|22(1—i)--

解析Z=JN7—^=7^=—7—7----=1-i,所以Z=l+i,故Z在复平面内

1+11+1(1+1)(1—1)

对应的点为(1,1),在第一象限.

答案A

6.对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论.“A的充分不必要

条件是B”说明“B是条件”且3推出A,但A不能推出B,而“A是3的充分

不必要条件”表明“A是条件”，A能推出3,但3不能推出A

log。》,x>0,

［回扣问题6］函数火》)=…有且只有一个零点的一个充分不必要

、2十Q,

条件是()

A.tz<0B.0<a<g

C.^<a<1D.aWO或。>1

解析因为函数4x)的图象恒过点(1,0),所以函数人x)有且只有一个零点今函数

y=—2*+a(xW0)没有零点=函数y=2*(xW0)的图象与直线y=a无交点.数形结合

可得a<0或。>1,即函数1x)有且只有一个零点的充要条件是aWO或。>1.分析

选项知，“a<0”是函数有且只有一个零点的充分不必要条件.

答案A

7.存在性或恒成立问题求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则

反思想.

［回扣问题7］若二次函数五x)=4f—2(/7—2)x—2/—p+1在区间［―1,1］内至少

存在一个值c,使得人c)>0,则实数p的取值范围为,

解析如果在［―1,1］内没有值满足火°)>0,

1或pNl,③

3npW_3或pN].

pW-3或pN/

取补集，得p的取值范围是(一3,|；

答案(-3,D

回扣二函数与导数

1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式

(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；分式中分母不为0；对数式中

的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.

［回扣问题1］函数火x)=lg(l—x)+而不I的定义域是.

1-x>0,

解析由题意，得<

3%+120,

1

答案1

2.分段函数求解时，要尽量避免讨论；若不能避免分类讨论，分类时一定要理清

层次，做到不重不漏.

［回扣问题2］设函数则满足不等式6)>«r)的x的

、4十5,%>■(),

取值范围是()

A.(—2,3)B.(—8,—2)U(yj~6,+°°)

C.(—8,—y[6)U(A/6,+°°)D.(—8,1-^6)U(3,+°°)

解析易知当x>0时，函数/(x)=-4一*+5是单调递增函数，且«x)>4；当xWO

_fx>0,fx^O,/_

时，段)=4.由於2—6)〉於)，得12「、或12「、八解得%>3或％V—加，

x—6>x\x—6>0,

所以工的取值范围是(一8,—xj6)U(3,+°°).

答案D

3.定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，为此确定函数的奇偶

性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.

1a(1—)

［回扣问题3］函数八x)=(=的奇偶性是.

解析由1-，>0且|无一2|-2W0,知汽x)的定义域为(一1,0)U(0,1),关于原点

对称，则火工)=旦二一

1g(11/)

X

函数八%)为奇函数.

答案奇函数

4.记住周期函数的几个结论：

由周期函数的定义“函数/U)满足五x)=/(a+x)(a>0),则五x)是周期为。的周期函

数”得：

(1)函数人为满足五。+无)=—火功，则人x)是周期T=2a的周期函数；

(2)若人》+0=意［他力0)成立，则T=2a；

(3)若/x+a)=—/(［)(aWO)成立,则T=2a；

(4)若人x+a)=/(x—a)(aWO)成立，则T=2a.

［回扣问题4］已知定义在R上的函数人x),若«r)是奇函数，«r+l)为偶函数，

当OWxWl时，则五2021)=()

A.-lB.lC.OD.20192

解析因为1x+1)是偶函数，所以式x+l)=A—x+1),则五一x)=Hx+2).又Hx)

是奇函数，所以人一关)=-»，所以犬%+2)=-»，所以4)=->+2)=»,

所以函数加0是以4为周期的周期函数，又当OWxWl时，1x)=f,所以人2021)

=^4X505+l)=^l)=l.

答案B

5.理清函数奇偶性的性质.

⑴段)是偶函数=火一x)=加)=加叶)；

(2)成x)是奇函数=4一x)=-»；

(3)定义域含0的奇函数满足火0)=0.

ff

—一丁，0<xW4,

［回扣问题5］已知函数〃(x)(xW0)为偶函数，且当x>0时，/z(x)=j4

4~2x,x>4,

若h(t)>h(2),则实数t的取值范围为

(2

一x了，0<x<4,

解析因为当x>0时，h(x)=<

、4一2%，x>4.

所以函数丸。)在(0,+8)上单调递减，

因为函数力(x)(xW0)为偶函数，且为/)>人(2),

所以帅)>幽2),所以0<m<2,

存0,存0,

所以<即

—2<t<2,

解得一2</<0或0</<2.

综上，所求实数f的取值范围为(一2,0)U(0,2).

答案(一2,0)U(0,2)

6.图象变换的几个注意点.

(1)弄清平移变换的方向与单位长度.

(2)区别翻折变换：火乃一忸x)|与火工)一川x|).

(3)两个函数图象关于直线或关于某点的对称.

［回扣问题6］若函数火x)=，(a>0且aWl)在R上为减函数，则函数y=log«(k|

—1)的图象可以是()

解析由于«v)=，(a>0,aWl)在R上为减函数，则0<a<l.又国一1>0,得x>l

或X<—1.当x>l时，y=loga(x—l)是减函数，易知D正确.

答案D

7.准确理解基本初等函数的定义和性质.避免研究函数y=，(a>0,aWl)的单调性

忽视对字母a的取值讨论或忽视</>0,对数函数y=logax(a>0,aWl)忽视真数与

底数的限制条件等错误的出现.

［回扣问题7］若函数Hx)="—l(a>0且的定义域和值域都是［0,2］,则实

数a的值为..

解析当0<a<l时，»=^-1在［0,2］上单调递减，

故/(X)max=#0)=/一1=Q

这与已知条件函数1X)的值域是［0,2］相矛盾.

当a>l时，»=在［0,2］上单调递增，

又函数人为的定义域和值域都是［0,2］.

|7（o）=o,

所以《/（2）=a2-l=2,解得。=让，所以实数a的值为

答案小

8.割裂图象与性质解题时致误，解有关抽象函数的问题时要抓住两点：一是会判

断抽象函数的性质，常需判断其奇偶性、周期性与图象的对称性，为画函数的图

象做准备；二是在画函数图象时，切忌随手一画，注意“草图不草”，画图时应

注意基本初等函数图象与性质的应用.

［回扣问题8］已知函数人x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x©R,而c+2）

=»,当0W尤W1时，Hx）=f,若直线丁=尤+。与函数人劝的图象在［0,2］内恰

有两个不同的公共点，则实数。的值是（）

AO

B..O

111

C或-

-4--24-

解析因为对任意的x©R,>+2）=»,

所以函数1x）是以2为周期的周期函数，

画出函数八》）在［0,2］上的图象与直线y=x+a,如图.

由图知，直线y=x+a与函数外）的图象在区间［0,2］内恰有两个不同的公共点时,

直线y=x+a经过点（1,1）或与於）=d的图象相切于点A,

由l=l+a,解得a=0；

由得》2一%一。=0,所以/=l+4a=0,解得a=—g.

综上所述，实数。的值是0或一/

答案D

9.易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不

等式解集的端点值进行准确互化.

［回扣问题9］若函数火x)=ox—In%—1有零点，则实数〃的取值范围是.

人八Glnx+1

解析令兀。=6zx—Inx—1=0,则a=(x>0),

x

、xlnx+1g—Inx

g(x)=~g'(x)=?,

设4；—，A则

由g，(x)=0,得x=l.

当x©(0,1)时，g\x)>Q,g(x)单调递增，

当x©(l,+8)时,g'(x)<0,g(x)单调递减，

•••g(X)max：g(D=1，则aWl.

答案(一8,1］

10.混淆y=/(x)的图象在某点(xo，刃)处的切线与y=«v)过某点(Xo，州)的切线，导

致求解失误.

［回扣问题10］函数Hx)=：—25的图象在x=l处的切线方程为.

X1

解析由兀0=1一2出，得了(»=/-1一亍..\/(1)=-1,/(1)=0,故兀乃在％=1

e巾

处的切线方程为y=~l.

答案y=-l

n.混淆“极值”与“最值”.函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得到

的，它不一定是最值，而函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得到的，

可能在极值点处取得，也可能在区间端点处取得.

［回扣问题11］已知定义在R上的函数人为，其导函数/(X)的大致图象如图所示,

则下列叙述正确的是()

①ZS)>黄0>黄。；②函数人为在x=c处取得极小值，在x=e处取得极大值；

③函数人S在x=c处取得极大值，在x=e处取得极小值；④函数人劝的最小值为

即）.

A.③B.①②C.③④D.①④

解析根据图象知，当》・。时，/(乃》0.所以函数加0在(一8,可上单调递增.又。

<b<c,所以Ha)V_/3)<_/(c)，故①不正确.因为/(c)=O,/(e)=O,且x〈c时，/(x)

>0；eV龙Ve时，〃x)<0；x>e时，〃x)>0.所以函数Ax)在x=c处取得极大值,

在x=e处取得极小值，故②错误，③正确.当dWxWe时，/(x)W0,所以函数人x)

在［d,e］上单调递减，从而五⑨>/(e),所以④不正确.综上所述，叙述正确的是③.

答案A

12.混淆“函数的单调区间”与“函数在区间上单调”.

⑴若函数兀0在区间D上单调递减,则/(x)W0在区间。上恒成立(且不恒等于0),

若函数/U)在区间D上单调递增，则/(x)>0在区间D上恒成立(且不恒等于0)；

(2)利用导数：求函数人炒的单调递减区间的方法是解不等式/(x)<0,求函数人x)

的单调递增区间的方法是解不等式/(x)>0.解题时一定要弄清题意，勿因“=”

出错.

［回扣问题12］已知函数_/(x)=alnx+/f+(a+l)x+1.

(1)当a=—1时，求函数人x)的单调递增区间；

(2)若函数人x)在(0,+8)上单调递增，求实数。的取值范围.

解⑴当。=一1时，y(x)=—lnx+Td+l(x>0)，

则/(x)=—《+%=(尤+1)(X—1)/(x)>0,

由《

Xx>0,

解得X>1.所以函数火X)的单调递增区间为(1,+8).

(2)因为/(x)=aln%+2尤2+伍+l)x+1,

一，a.x2+(a+1)x-\-a(x+1)(x+a)

所以/(x)=1+x+a+1=---------------=---------------，

又函数兀0=。111%+$2+("+1)》+1在(0，+8)上单调递增，

所以/(x)>0对任意的x©(0,+8)恒成立，

则无+。三0对任意xG(0,+8)恒成立，所以。三0.

故实数a的取值范围是［0,+°°).

13.对于可导函数y=f(x),误以为/(刈)=0是函数y=f(x)在x=xo处有极值的充分

条件.

［回扣问题13］已知函数兀0=X3+办2+笈+。2在》=1处有极值10,则汽2)等于

()

A.U或18B.11

C.18D.17或18

解析,函数Hx)=/+ax2+0x+a2在1处有极值I。，又/(x)=3x2+2ax+0,

•••火1)=10,且了(1)=0,

1+〃+6+。2=10,a——3〃=4,

即3+2a+b=0,解行或“

b=3力=-11.

a——3,

而当c时，函数在X=1处无极值，故舍去.

［b=3

.,.^x)=?+4?-llx+16,.•犹2)=18.

答案C

回扣三三角函数与平面向量

1.三角函数值是一个比值，是实数，这个实数的大小和点P(x,y)在终边上的位置

无关，只由角的终边位置决定.

［回扣问题1］已知角a的终边为射线y=2x(x》0),则cos2a+cosa

解析Vet的终边为射线y=2x(x>0),

不妨在射线上取点尸(1,2),则cosa=宝，

cos2a+cosa=2cos2ct-1+cosa=2X

答案

2.求三角函数值易忽视角的范围.对于角的范围限定可从以下两个方面考虑：①题

目给定的角的范围；②利用给定的各个三角函数值来限定，如由三角函数值的正

负可挖掘角的范围，也可借助特殊角的三角函数值和函数的单调性来确定角的范

围，注意应尽量使角的范围精准，避免产生增根.

［回扣问题2］设a为锐角，若cos［a+"=T则sin(2a+总的值为()

77也一8

AR-----------------

225618

也-啦

r_17^/2>78T7+8

J50或

解析因为a为锐角，所以0<a<3，则连<a+/<丝.

2oo3

jr,兀\12、历4、历

设£=a+不由cos"+w|=~§,得sin£=1.sin2£=2sin£cos£=—g,cos2s

=2cos2^—1=—所以sin（2a+^=sin（2a+W—§=sin（2S—§=sin2夕cos今一

.兀7啦一8

cos2Gsm4=-.

答案B

3.求函数火x）=Asin（c«x+夕）的单调区间时，要注意A与o的符号，当①<0时，需

把o的符号化为正值后再求解.

［回扣问题3］函数尸sin停一2x）的单调递减区间是.

（兀、71717171

解析—sinl2x—,令2kli2kTI+万,kGZ,得左兀一yyWxWhi+

\/乙«_/乙i乙

得i,kRZ.

兀5

答案左兀一五，左兀+记兀（左GZ）

4.求三角函数周期错用对称中心与对称轴.因而求三角函数周期需掌握下面结论：

①若对称中心到相邻对称轴之间的距离为d,则周期T=4d；②若相邻两条对称

轴之间的距离为4,则周期T=24；③若相邻两对称中心之间的距离为必，则周

期7=2办；④若相邻的两个最高点（或最低点）之间的距离为&，则T=%.

［回扣问题4］已知函数於）=Asin（①x+”A>0,a）>Q,101T的图象的一个对

称中心到相邻对称轴的距离为全且图象上有一个最低点M隋，一3）.则於尸

解析由函数五X）的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为7去T可知函数人为

的最小正周期为T=4X^=7r,所以o=e=2.又函数«r）图象上有一个最低点

（7兀、717冗37171

吠五，一31|0|V］,所以A=3,2X记+夕=2+2祈（左£Z）,即9=2E+小©Z）.

由101</，得9=］,故兀0=3sin（2x+，

答案3sin（2x+§

5.三角函数图象变换中，注意由y=sincox的图象变换得到尸sin（①x+夕）的图象

时，平移量为,而不是夕，另外要弄清楚平移的方向.

［回扣问题5］设0>0,函数y=2cos"+f)的图象向右平移£个单位长度后与函

数y=2sin(5+g)的图象重合，则①的最小值是()

1357

A，2B，2C，2D，2

解析将函数y=2cos"+?的图象向右平移方个单位长度，得产

(兀、兀，兀兀、(兀兀、

2cos叫L.J+g=2cos"zx+g—产J的图象，由已知得产2cosm:+5一5叼的图

(3兀।兀)(3出

象与y=2sin(公r十习=2sinlcox-^+2I=2cos(①x一记J的图象重合，

7T7T3715

则①x+5一~^co—2kii+cox一记(Z£Z),解得①=1—10k,kRZ.又a)>a,所以①的

最小值为|.

答案c

6.已知三角形两边及一边对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论,

可能有一解、两解或无解.并谨记在△ABC中，A>B<=>sinA>sinB.

［回扣问题6］在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asinBcosC

+csinBcosA=2^>且a>。，则3=()

4兀e兀八《2兀5兀

A6B3CT

解析由asinBcosC+csinBcos及正弦定理，可得sinAsinBcosC+sinC

sinBcosA=^sinB,即sinB(sinAcosC+sinCeosA)=^sinB,则sinBsin(A+C)=

^sinB,因为sin5W0,所以sin(A+C)=£,即sin因为a>8,所以B>5,

可知3为锐角，故B=.

答案A

7.混淆向量共线与垂直的坐标表示.向量共线与向量垂直的坐标表示是两个极易混

淆的运算，其运算口诀可表达为“平行交叉减，垂直顺序加”，即对于非零向量

a=(xi，yi)9b=(x2,竺)，。〃办=%1为一%2丁1=。,而a-L办=%1%2+丁1、2=0.

［回扣问题7］(1)已知向量a=(2,1),b=(x,-1),且a—办与力共线，则%的

值为.

(2)已知向量a=(4,3),b=(—2,1),如果向量a+劝与万垂直，那么|2a—他的

值为.

解析(1)因为a=(2,1),b=(x,—1),

所以a—Z>=(2—x,2),

又a—b与b共线,所以2x=-2+x,解得x=-2.

(2)由题意知a+2》=(4,3)+7(—2,1)=(4—2A,3+丸),因为向量a+回与b垂

直，所以(a+丸力0=0,即(4—2九3+A).(-2,1)=0=>(4—2丸>(-2)+(3+%>1=0,

解得4=1,所以2a一伤=(8,6)-(-2,1)=(10,5),于是|2a—协=，1否早=

5小.

答案⑴一2⑵5小

8.活用平面向量运算的几何意义，灵活选择坐标运算与几何运算.

[回扣问题8]已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且|次|

=小，则元•(戌+两)的取值范围是()

-3一

A.[0,12]B,0,2

C.[0,6]D.[0,3]

解析如图，以点3为坐标原点，所在直线为x轴，过点3与5c垂直的直线

为y轴，建立平面直角坐标系，则3(0,0),A(l,小)，C(2,0),设尸(x,y),因

为|勘|=小，所以尸点轨迹为(x—2)2+寸=3,

x=2+小cos。，一l

令J则勿=(一1一45cosayp—ypsm0),

j=^/r3sina

丽=(一2—小cosa一小sin9),

PC=（-V^cos0,一小sinff）,

则而（戌+而）=6（^cos0—1sine）+6=6+6cos（e+^j,

由一6W6cos（e+?W6,得0W6+6cos（8+看W12.

答案A

9.忽视向量夹角范围致误.涉及有关向量的夹角问题

要注意两向量夹角的范围是［0,兀］,不是（0,兀），其中。=0表示两向量同向共线,

。=兀表示两向量反向共线.这类问题有下列两个常见结论：①向量a,8的夹角为

锐角oa/＞0且向量a,〃不共线；②向量a,力的夹角为钝角Qa0Vo且向量a,

8不共线.

［回扣问题9］已知向量a,8满足⑷=|回=1,且回+〃|=/|a—比|（左＞0）,那么

向量a与向量8的夹角的最大值为.

解析由|kz+〃尸小|a—烟，得回十回2=（小心―协）2,贝1］左2+2必0+1=3（1—

2ka-b+li）,即a•方因为左＞0,所以

当且仅当k=l时等号成立.所以cos〈a,b}=编吴，则〈a,b}e0,北即

m\b\2LJ」

向量a与8的夹角的最大值为全

答案!

10.切忌混淆三角形“四心”，注意不同的向量表示形式.

［回扣问题10］若。是△ABC所在平面内一点，且满足I屈一反1=1丽+沆一

20A|,则AABC的形状为.

解析丽一反|=|丽+花一2为|,

：.\CB\=\AB+AC\,SP|AB-AC|=|A5+AC|.

故以AB,AC为邻边的平行四边形为矩形.

因此△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.

答案直角三角形

回扣四数列与不等式

1.已知数列的前n项和求%，易忽视n=l的情形，直接用S”一S〃T表示.事实

上，当咒=1时，<2i=Si；当"三2时，an=Sn—Sn-i.

［回扣问题1］数列｛诙｝满足3H--------H^a„=2n+1,则数列｛诙｝的通

项公式为.

-

解析由51+/。2+表/3+—\-^an=2n+l,当〃三2时，嬴+/奥+*的^H

装!斯-1=2（〃-1）+1,两式相减，得品i=2,即斯=2什1（心2）.又“=1时，|«i

6,n=l,

=3,则勾=6不符合上式.所以斯

2n+l,心2.

16,n=l,

答案斯=［*,心2.

2.忽视两个“中项”的区别.等差数列a,A,6的等差中项A=等与a,6之间没

有符号的制约，但等比数列a,G,〜的等比中项G=：t\扇（Q,6同号且Q,Z?不

为0）.

［回扣问题2］若a,b,c三个数成等比数列，且〃+/?+C=用（加>0）,则〜的取

值范围是（）

「八机［」机

A.0,yB.~m,

C（0,yjD.［—m,0）U（0,y

解析设公比为q,则启+q+［=m，即仁g—.当q>0时，（当q

此+1

=1时，取“="）；当q<0时，一机WZ?<0（当q=—1时，取“=”）.所以6的

取值范围是［—m,0）U10,y.

答案D

3.运用等比数列的前〃项和公式时，易忘记分类讨论.一定要分q=l和qWl两种

情况进行讨论.

［回扣问题3］已知正项等比数列｛斯｝的前〃项和为S”，且7s2=4S4,则等比数列

｛斯｝的公比q的值为（）

A.lB.l或3

C半D呼

解析因为7s2=4$4,所以3s2=3(。1+。2)=4($4—S2)=4(的+。4),所以3(。1+。2)

=4(句+的)小.因为句+助7。，所以q2=l.因为｛卬｝为正项等比数列，所以q>0,

所以4=竽.

答案C

4.利用等差数列定义求解问题时，易忽视a〃一a〃—i=d(常数)中，〃>2,〃©N*的限

制，类似地，在等比数列中，伊=式常数且qWO),忽视〃>2,“©N*的条件限

制.

［回扣问题4］已知数列｛斯｝中，<71=«2=1>诙+1=斯+*"三2),则数列｛斯｝的前

9项和等于.

解析=。九+$(〃22),

二数列｛斯｝从第2项起是公差为;的等差数列，

$9=。1+。2+。3+…+。9

,,8(8-1)1

=1+802+---2-----X-=23.

答案23

5.利用错位相减法求和，切忌漏掉第一项和最后一项；裂项相消求和，相消后剩

余的前、后项数要相等，切莫漏项或添项.

［回扣问题5］已知数列｛斯｝的前〃项和为S”句=2,点他“+1，*)在直线y=x—2

上5©N*).

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

2"T11

(2)令(一、(———T—,设数列｛4』的前〃项和为G，求证：产国〈不

⑴解因为点(诙+1，&)在直线y=x—2上，

所以即+i=2+S"(〃©N*).①

当2时，a〃=2+S〃T.②

①一②，可得an+i—an=Sn~Sn-\=an(ji^T),

即斯+i=2斯(〃三2).

当〃=1时，〃2=2+SI=2+QI，所以〃2=4,则白2=2〃1也满足上式.

综上，斯+1=2斯(〃£N).

所以数列｛6｝是以2为首项，2为公比的等比数列，所以斯=2〃(〃金N*).

2〃一］

(2)证明由⑴得a”=2"(〃GN*),因为母=(一、(一二IV，

IQnI)1。九十1

所以_gw—"2"+1_]。，

2111

所以-2"+1_]＜匕所以

6.对于通项公式中含有(一1)"的一类数列，在求S,时，切莫忘记讨论”为奇数、

偶数；遇到已知诙+1—斯―i=d或上一=q(〃三2),求｛斯｝的通项公式时，要注意对

斯一1

n的讨论.

［回扣问题6］若知=2〃-1,为=(-1)”7斯,则数列｛瓦』的前〃项和Tn=.

解析b“=(-1)"T®=(—1)"T(2九—1).

==

当〃为偶数时，Tna\—/+的—血+…+斯-1—斯=(-2)X2—n.

当〃为奇数时，Tn=Tn-i+btl=—(n—\')+an=n.

\—n,〃为偶数，

故乙=1乂七加

［n,〃为奇数.

〃为偶数,

答案

为奇数

7.运用不等式性质要注意适用的条件，不可扩大范围，如4附;

［回扣问题7］已知下列四个结论：①a>boac>be；®a>b=>~<^；③。>b>0,

✓7n

c>d>0^>~；®a>b>0,£■<()="<".其中正确的有()

A.l个B.2个C.3个D.4个

解析对于①，当c=O时，ac=bc,所以①不正确；对于②，当a>0>6时，：>

所以②不正确；对于③，由于c>d>0,则5>>>0，又所以弓〉!〉

0,③正确；对于④，因为募函数y=x’(c<0)在(0,+8)上单调递减，又。>人>0,

所以④正确.故正确的个数为2.

答案B

8.解形如a^+bx+oO的一元二次不等式时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错

解，要注意分a>0,a<0,。=0进行讨论.

［回扣问题8］设命题甲：。/+2依+1>0的解集是实数集R；命题乙：

则命题甲是命题乙成立的()

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

解析由命题甲：ax'-\-2ax-\-1>0的解集是实数集R可知，当a=0时，原式=1>0

恒成立，

〃>0,

当aWO时,需满足/=

（2。）°—4a<0,

解得0<a<l,所以OWa<l,

所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分

条件.

答案C

9.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解,

1

如求函数4x)=、d+2T的最值，就不能利用基本不等式求解最值.

+2

［回扣问题9］已知正实数a,b满足ab-b+1=0,则的最小值是.

解析由a。一b-\-1=0,得。=一;一,又a>0,6>0,得而>1.所以、+4。=,”1+

bab-1

45=/v+43—1）+5.易知4r+4（。-1）三4,所以1+48三9.当且仅当丁二=4（。

b~1b~1ab~1

131

-1),即L=1,6=)时取等号,故，46的最小值是9.

答案9

回扣五立体几何

L易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与

所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式

中的系数/

JT

［回扣问题1］已知在梯形ABCD中，ZABC=^,AD//BC,BC=2AD=2AB=2,

则将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为()

A.(5+V2>B.(4+V2>

C.(5+2^2)71D.(3+V2)TI

jr

解析因为在梯形ABC。中，ZABC=2,AD//BC,BC=2AD=2AB=2,所以将

梯形A5CD绕AD所在的直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为1,高为2

的圆柱挖去一个底面半径为1,高为1的圆锥后剩余的部分，如图所示.所以该几

何体的表面积S=7iX12+2TIX1X2+TIX1X-\/l2+l2=(5+V2)7i.

2'，D

答案A

2.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性

质定理中的条件，导致判断出错.如由a邛,aC0=l,m±l,易误得出m±/3的

结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中mea的限制条件.

［回扣问题2］已知直线机，〃与平面a,夕，/满足a_LA，aCB=m,〃_La,nuy,

则下列判断一定正确的是()

K.m//y,aJ-yB.〃〃夕，a_Ly

C/〃匕aA.yD.mJL小a_Ly

解析因为。_L£,aC8=m,n.La,ncy,所以成立，但机，〃可能相交,

故A不正确；也有可能〃u£,故B不正确；对于C,也有力与y相交的可能，

故C也不正确；对于D,因为aCp=/n,n.La,所以机_L〃.

答案D

3.处理球的切、接问题找不到着手点致误.

有关球外接于多面体的问题，求解的关键是抓住“接”的特点，寻找球的半径，

经常会利用“优美的直角三角形”寻找几何体外接球的半径所满足的方程（组）.遇

到三条棱两两垂直时，常通过构造长方体，直接利用长方体的体对角线长为其外

接球的直径，可加快求解速度.

［回扣问题3］已知球。是三棱锥P—A3C的外接球，PA=AB=PB=AC=2,CP

=2y［2,。是P3的中点，且CD=币,则球。的表面积为（）

A28兀»14兀

A.亍B.—

2队叵1兀16兀

C.27D.亍

解析如图所示，由必=AC=2,CP=2y［2,得AP,AC.连接AD由。是心的

中点及B4=A3=P3=2,可求得.又CD=小，可知ADLAC,又ADAAP

=A,所以AC,平面必A以△必5为底面，AC为侧棱将三棱锥尸一ABC补成一

个直三棱柱，则球0是该三棱柱的外接球，球心。到底面△必3的距离d=^AC

=1.由正弦定理得△出3的外接圆半径『标售。=芈，所以球0的半径R=

、/十r2=等.所以球0的表面积S=47l*=拳.

C

B

答案A

4.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚

变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的

元素在空间中的位置与数量关系.

［回扣问题4］如图⑴所示，四边形A3CD是边长为色的正方形，八钻石和△3CR

均为正三角形，将其以△ABC为底面折成如图(2)所示的三棱锥尸一ABC,则平面

PAC与平面ABC的位置关系是.

图⑴图⑵

解析设AC的中点为。，连接3。，P。(图略).由题意知，PA=PB=PC=®易

#PO±AC,PO=1,A0=30=C0=l.在△P03中，PO=1,OB=1,PB=^2,

所以P()2+OB2=PB2,则P0L03.因为ACnO3=。，ACu平面ABC,03u平面

ABC,所以P。，平面ABC.又POu平面B4C,所以平面必CL平面ABC.

答案平面以平面ABC

5.混淆空间角的取值范围致误，两条异面直线所成角a©(0,9，直线与平面所成

的角ee［o,721.

［回扣问题5］如图，三棱锥A—BCD的棱长全相等，点E为棱AD的中点，则直

线CE与BD所成角的余弦值为()

A兴B,半

o2

C.隼D.|

o2

解析如图，取A3中点G,连接EG,CG.

为AD的中点，J.EG//BD.

.,.NGEC或其补角为CE与3。所成的角.

设A3=l,

则EG='D=；,CE=CG=^-.

Eff+ECa-GC1

答案A

6.利用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系.如求解二面角时，

忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.

［回扣问题6］如图所示，四棱锥P—A3CD的底面为矩形，必是该四棱锥的高,

P3与平面心。所成的角为45。，R是尸3的中点，E是3c上的动点.

A*.--—

cE

(1)证明:PE1AF；

(2)若BC=2AB,PE与AB所成角的余弦值为与早，求二面角D-PE-B的余弦

值.

解由题意可知，AD,AB,AP两两垂直，且N3以=45。，所以AP=A3.

X分-----牌

以A为坐标原点，AD,AB,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐

标系，如图.

设3E=a(a>0).

⑴证明^AP=AB=b,则A(0,0,0),3(0,b,0),E(a,b,0),P(0,0,b),

所以曲=(a,b,—b),套=(0,I，

由度•酢=aXO+匕X?+(—0)X?=0,可知港，店，所以PELAE

(2)解设AP=A3=2,则3c=4,则。(4,0,0),B(0,2,0),E(a,2,0),F(0,

1,1),P(0,0,2),

所以协=(0,2,0),PE=(a,2,-2),AF=(0,1,1).

由空咛1=平，*^=靖,解得a=3,所以E(3,2,0).

\AB\\PE\I，十81/

设平面PDE的法向量为〃=(x,y,z),

易知的=(4,0,-2),应)=(1,-2,0),

n-PD=0,4x_2z=0,

由_得，令y=l，得x=2,z=4,所以"=(2,1)4)为平面

nED=0,x~2y=0,

PDE的一个法向量.

由题意得，AFLPB.

又由(1)知AfUPE,PBCPE=P,

所以AfU平面P3C,

即AR为平面PBC的一个法向量.

设二面角D—PE—3的平面角为仇由图可知。为钝角,

\n-AF\_1+4_5^42

所以

cos0=—42

|«||AF|⑪乂木

故二面角D-PE-B的余弦值为一喈.

回扣六平面解析几何

L易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等

设方程时，忽视截距为零的情况.

［回扣问题1］已知直线过点P(l,5),且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的

方程为.

解析当截距为零时，则直线方程为y=5x,当截距不是零时，设直线方程为x

+y=a,将P(l,5)坐标代入方程，得。=6..,.所求方程为5x—y=0或x+y—6=

0.

答案5x—y=0或x+y—6=0

2.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直

线