2025年高考数学必刷题分类：第36讲、平面向量的数量积及运算（学生版）

第36讲平面向量的数量积及运算

知识梳理

知识点一．平面向量的数量积a

（1）平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记

作ab，即ab=|a||b|cos，规定：零向量与任一向量的数量积为0．

（2）平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：|a|cos叫做向量a在b方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；

当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．

②ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos的乘积．

③设a，b是两个非零向量，它们的夹角是,e与b是方向相同的单位向量，

，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，

ABa,CDbABABCDA1,B1

得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向

A1B1abA1B1ab

量．记为|a|cose．

知识点二．数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数，则：

①abba；

②(a)b=(ab)a(b)；

③(ab)c=acbc．

知识点三．数量积的性质

设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则

①eaae|a|cos．②abab0．

③当a与b同向时，ab|a||b|；当a与b反向时，ab|a||b|．

特别地，aa|a|2或|a|aa．

ab

④cos(|a||b|0)．⑤|ab|≤|a||b|．

|a||b|

知识点四．数量积的坐标运算

，，

已知非零向量a(x1y1)，b(x2y2)，为向量a、b的夹角．

结论几何表示坐标表示

模|a|aa|a|x2y2

数量积ab|a||b|cosabx1x2y1y2

abx1x2y1y2

cos

夹角cos2222

|a||b|x1y1x2y2

ab的充要

ab0x1x2y1y20

条件

a∥b的充要

a（bb0）x1y2x2y10

条件

|ab|与|a||b||ab||a||b|（当且仅当

≤2222

|x1x2y1y2|x1y1x2y2

的关系a∥b时等号成立）

知识点五、向量中的易错点

（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且|ab||a||b|．

（2）当a0时，由ab0不能推出b一定是零向量，这是因为任一与a垂直的非零

向量b都有ab0．

当a0时，且abac时，也不能推出一定有bc，当b是与a垂直的非零向量，c

是另一与a垂直的非零向量时，有abac0，但bc．

（3）数量积不满足结合律，即(ab)c(bc)a，这是因为(ab)c是一个与c共线的向

量，而(bc)a是一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(ab)c不一定等于(bc)a，

即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．

（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当ab0且ab(0)（或ab0，

且ab(0))

【解题方法总结】

（1）b在a上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．

（2）数量积的运算要注意a=0时，ab0，但ab0时不能得到a=0或b=0，

因为ab时，也有ab0．

ab

（3）根据平面向量数量积的性质：|a|aa，cos，abab0等，

|a||b|

所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．

（4）若a、b、c是实数，则abacbc（a0）；但对于向量，就没有这样的性

质，即若向量a、b、c满足abac（a0），则不一定有b=c，即等式两边不能同时

约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．

（5）数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)，这是由于(ab)c表示一个与

c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(ab)c与

a(bc)不一定相等．

必考题型全归纳

题型一：平面向量的数量积运算

例1．（2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量a，b满足

π

|a2，b|3，且a与b的夹角为，则ab2ab（）

6

A．6B．8C．10D．14

例2．（2024·全国·高三专题练习）已知a6，b3，向量a在b方向上投影向量是4e，

则ab为（）

A．12B．8C．-8D．2

1

例3．（2024·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，ABAD，

2

G是菱形ABCD内一点，若GAGBGC0，则AGAB（）

13

A．B．1C．D．2

22

π

变式1．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量，且a,b，

a,b3

若(ab)c，|c|2，则ac（）

A．1B．12C．2或2D．1或1

变式2．（2024·广东·校联考模拟预测）将向量OP2,2绕坐标原点O顺时针旋转75

得到OP1，则OPOP1（）

62

A．B．62

2

62

C．62D．

2

变式3．（2024·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则ECED

（）

A．5B．3C．25D．5

π

变式4．（2024·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）如图，在ABC中，BAC，

3

1

AD2DB，P为CD上一点，且满足APmACABmR，若AC3，AB4，则

2

APCD的值为（）.

13131

A．3B．C．D．

121212

变式5．（2024·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量a，b满足同向

rr

共线，且b2，ab1，则aba（）

A．3B．15C．3或15D．3或15

变式6．（2024·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形ABCD中，AB1,AD2,AC

与BD相交于点O，过点A作AEBD于E，则AEAO（）

1224124

A．B．C．D．

252555

【解题方法总结】

（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到

解题思路．

（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，

因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．

（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量a在

ab

向量b方向上的投影为．

|b|

（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）

同：(ab)2a22abb2；aba22abb2；a(bc)abac公式都可通用

异：整式：abab，a仅仅表示数；向量：ababcos（为a与b的夹

角）

22

manbm2a2mnabcosn2b，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．

manbmanbmanb，通常是求manb最值的时候用．

题型二：平面向量的夹角

例4．（2024·河南驻马店·统考二模）若单位向量a，b满足2ab6，则向量a，b夹

角的余弦值为____________．

例5．（2024·四川·校联考模拟预测）若e1,e2是夹角为60的两个单位向量，则a2e1e2

与b3e12e2的夹角大小为________.

例6．（2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知向量a和b满足：a1，b2，

2ab2ab0，则a与b的夹角为__________．

变式7．（2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若向量a与b不共线也不垂直，且

aa

cab，则向量夹角a,c________.

ab

变式8．（2024·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知a､b､c是同一个平面上的向量，

若acb，且ab0,ca2,cb1，则c,a__________.

变式9．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知向量a，b满足a1,1，

b1，ab1，则向量a与b的夹角大小为___________.

变式10．（2024·四川·校联考模拟预测）已知向量ax1,3，b1,0，ab2，

则向量ab与b的夹角为______．

变式11．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量a1,2，b4,2，若非

零向量c与a，b的夹角均相等，则c的坐标为___（写出一个符合要求的答案即可）

【解题方法总结】

求夹角，用数量积，由a×b=|a|×|b|cosq得

+

a×bx1x2y1y2

cosq==，进而求得向量a,b的夹角．

×2+22+2

|a||b|x1y1x2y2

题型三：平面向量的模长

例7．（2024·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知平面向量a，b，c满足a(2,1)，

b(1,2)，且ac.若bc32，则|c|（）

A．10B．25C．52D．35

例8．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知a，b是非零向量，a1，

rr

2

a2ba，向量a在向量b方向上的投影为，则ab________.

4

例9．（2024·海南·高三校联考期末）已知向量a，b满足a1,1，b4，aab2，

则3ab__________．

变式12．（2024·四川南充·阆中中学校考二模）已知a,b为单位向量，且满足a5b6，

则2ab______.

变式13．（2024·河南驻马店·统考三模）已知平面向量a,b满足a10,b2,且

2abab14，则ab=_________________．

变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知向量a,b满足ab3，ab2ab，则

b______．

变式15．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点，OA1,1，OB3,4，

点P在线段AB上，且AP1，则点P的坐标为______．

变式16．（2024·广西·高三校联考阶段练习）已知a2,1，b4,t，若ab2，则

2ab______．

【解题方法总结】

2

求模长，用平方，|a|=a．

题型四：平面向量的投影、投影向量

例10．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知向量a3,6，b3,4，

则a在b方向上的数量投影为______.

例11．（2024·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知a(2,1),b(4,m),

若向量b在向量a方向上的数量投影为5，则实数m_______．

例12．（2024·全国·高三专题练习）已知向量a6，e为单位向量，当向量a、e的夹角

等于45时，则向量a在向量e上的投影向量是________．

变式17．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知向量a(1,2)，向量b(1,1)，

则向量a在向量b方向上的投影为_________.

变式18．（2024·新疆喀什·统考模拟预测）已知向量a，b满足ab3，a2，b0,1，

则向量a在向量b方向上的投影为______.

变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知非零向量a,b满足(a2b)(a2b)，且向量

1

b在向量a方向的投影向量是a，则向量a与b的夹角是________.

4

变式20．（2024·全国·模拟预测）已知向量a1,0,b0,1,acbc1，则向量a在向

量c上的投影向量为__________.

【解题方法总结】

设a，b是两个非零向量，它们的夹角是,e与b是方向相同的单位向量，

，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，

ABa,CDbABABCDA1,B1

得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向

A1B1abA1B1ab

量．记为|a|cose．

题型五：平面向量的垂直问题

例13．（2024·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知向量a1,2,b2,3，若

kabab，则k___________.

例14．（2024·全国·高三专题练习）已知向量a，b，c，其中a，b为单位向量，且ab，

若c______，则acb2c.

注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.

例15．（2024·江西宜春·高三校联考期末）设非零向量a，b的夹角为．若b2a，且

a2b3ab，则____________．

π

变式21．（2024·江西南昌·高三统考开学考试）已知两单位向量e,e的夹角为，若

123

ae12e2,be1me2，且ab，则实数m_________．

变式22．（2024·海南·校考模拟预测）已知a为单位向量，向量b在向量a上的投影向量

是2a，且3aba，则实数的值为______．

变式23．（2024·全国·模拟预测）向量m1,x,n2,1，且nmn，则实数

x_________．

变式24．（2024·全国·高三专题练习）非零向量a(cos(),sin)，b(1,sin)，若ab，

则tantan______.

变式25．（2024·河南开封·校考模拟预测）已知向量a2,3,b4,5，若abb，

则________．

r

变式26．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知向量a，b不共线，a2,1，

aba，写出一个符合条件的向量b的坐标：______.

变式27．（2024·河南开封·统考三模）已知向量a(m,1)，b(1,3)，若(ab)b，则

m______.

【解题方法总结】

abab0x1x2y1y20

题型六：建立坐标系解决向量问题

1

例16．（2024·全国·高三专题练习）已知|a||b||c|1,ab，cxayb(x,yR)，

2

则xy的最小值为（）

23

A．2B．C．3D．1

3

例17．（2024·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC每个

顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知

π

P为弧AC上的一点，且PBC，则BPCP的值为（）

6

A．42B．42

C．423D．423

例18．（2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽

的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，

两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为O1、O2、O3、O4、O5，则

O4O1O4O5O4O2的值为（）

A．507B．386C．338D．242

变式28．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在圆内接四边形ABCD

中，BAD120,ABAD1,AC2.若E为CD的中点，则EAEB的值为（）

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