2025年高考数学必刷题分类：第87讲、二项式定理（学生版）

第87讲二项式定理

知识梳理

知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题

（1）二项式定理

一般地，对于任意正整数n，都有：

n0n1n1rnrrnn

(ab)CnaCnabCnabCnb(nN)，

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式．

式中的rnrr做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：

CnabTr1r1

rnrr

Tr1Cnab，

r

其中的系数Cn（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，

（2）二项式(ab)n的展开式的特点：

①项数：共有n1项，比二项式的次数大1；

r

②二项式系数：第r1项的二项式系数为Cn，最大二项式系数项居中；

③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b

升幂排列，次

数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；

012rn

④项的系数：二项式系数依次是Cn，Cn，Cn，，Cn，，Cn，项的系数是a与b的系数

（包括二项式系

数）．

（3）两个常用的二项展开式：

n0n1n1rrnrrnnn*

①(ab)CnaCnab(1)Cnab(1)Cnb（nN）

n122rrn

②(1x)1CnxCnxCnxx

（4）二项展开式的通项公式

二项展开式的通项：rnrr

Tr1Cnabr0,1,2,3,,n

r

公式特点：①它表示二项展开式的第r1项，该项的二项式系数是Cn；

②字母b的次数和组合数的上标相同；

③a与b的次数之和为n．

nrnrrn

注意：①二项式(ab)的二项展开式的第r+1项Cnab和(ba)的二项展开式的第

项rnrr是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．

r+1Cnbaab

②通项是针对在(ab)n这个标准形式下而言的，如(ab)n的二项展开式的通项是

rrnrr（只需把看成代入二项式定理）．

Tr1(1)Cnabbb

2、二项式展开式中的最值问题

（1）二项式系数的性质

①每一行两端都是，即0n；其余每个数都等于它肩上两个数的和，即

1CnCn“”

mm1m．

Cn1CnCn

②对称性每一行中，与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即mnm．

“”CnCn

③二项式系数和令，则二项式系数的和为012rnn，

ab1CnCnCnCnCn2

变形式12rnn．

CnCnCnCn21

④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令a1，b1，

则0123nnn，

CnCnCnCn(1)Cn(11)0

1

从而得到：C0C2C4C2rC1C3C2r12n2n1．

nnnnnnn2

⑤最大值：

n

如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数2最大；

nTnCn

1

2

n1n1

如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数2，2相等

nTn1Tn1CnCn

1

22

且最大．

（2）系数的最大项

求(abx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为

AA

，，，，设第项系数最大，应有r1r，从而解出来．

A1A2An1r1r

Ar1Ar2

知识点3、二项式展开式中系数和有关问题

常用赋值举例：

n0n1n12n22rnrrnn

（1）设abCnaCnabCnabCnabCnb，

二项式定理是一个恒等式，即对a，b的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要

灵活选取a，b的值．

n01n

①令ab1，可得：2CnCnCn

0123nn

②令a1，b1，可得：0CnCnCnCn1Cn，即：

02n13n1

CnCnCnCnCnCn（假设n为偶数），再结合①可得：

02n13n1n1

CnCnCnCnCnCn2．

nn1n2

（2）若f(x)anxan1xan2xa1xa0，则

①常数项：令，得．

x0a0f(0)

②各项系数和：令，得．

x1f(1)a0a1a2an1an

③奇数项的系数和与偶数项的系数和

f(1)f(1)

（i）当n为偶数时，奇数项的系数和为aaa；

0242

f(1)f(1)

偶数项的系数和为aaa．

1352

（可简记为：n为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）

f(1)f(1)

（ii）当n为奇数时，奇数项的系数和为aaa；

0242

f(1)f(1)

偶数项的系数和为aaa．

1352

（可简记为：n为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）

12n1n

若f(x)a0a1xa2xan1xanx，同理可得．

注意：常见的赋值为令x0，x1或x1，然后通过加减运算即可得到相应的结果．

必考题型全归纳

题型一：求二项展开式中的参数

43

21

例1．（2024·河南郑州·统考模拟预测）x的展开式中的常数项与xa展开

xx2

式中的常数项相等，则a的值为（）

A．3B．2C．2D．3

n

1x

例2．（2024·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知的展开式中存在常数项，

x2

则n的可能取值为（）

A．4B．5C．6D．8

6

2

例3．（2024·全国·高三专题练习）ax展开式中的常数项为－160，则a＝（）

x

A．－1B．1C．±1D．2

6

a

变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知x的展开式中的常数项为160，则实数a

x

（）

A．2B．-2C．8D．-8

n

2

变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知x的展开式中第3项是常数项，则n（）

x

A．6B．5C．4D．3

【解题方法总结】

Nmt

在形如(axmbxn)N的展开式中求xt的系数，关键是利用通项求r，则r．

mn

题型二：求二项展开式中的常数项

6

a

例4．（2024·重庆南岸·高三重庆第二外国语学校校考阶段练习）已知a0，二项式x

x2

的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（）

A．36B．30C．15D．10

8

1

例5．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）二项式2x的展开

x

式中的常数项为（）

A．1792B．－1792C．1120D．－1120

2

例6．（2024·北京房山·高三统考开学考试）(x2)6的展开式中的常数项是（）

x

A．240B．240C．15D．15

6

121

变式3．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）2x的展开式中的常

x3x

数项为（）

A．20B．20C．－10D．10

n

12

变式4．（2024·全国·高三专题练习）若x3nN*的展开式中存在常数项，则n

x

（）

A．2kkN*B．3kkN*C．5kkN*D．7kkN*

n

1*

变式5．（2024·全国·高三对口高考）若3xnN展开式中含有常数项，则n的

x

最小值是（）

A．2B．3C．12D．10

【解题方法总结】

写出通项，令指数为零，确定r，代入．

题型三：求二项展开式中的有理项

5

例7．（2024·全国·高三专题练习）在x3y的展开式中，有理项的系数为（）

A．10B．5C．5D．10

例8．（2024·全国·高考真题）二项式(233x)50的展开式中系数为有理数的项共有（）

A．6项B．7项C．8项D．9项

8

1

例9．（2024·江西南昌·高三统考阶段练习）x的展开式中所有有理项的系数和为

3x

（）

A．85B．29C．27D．84

24

41

变式6．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考阶段练习）二项式x展

x

开式中，有理项共有（）项．

A．3B．4C．5D．7

12

1

变式7．（2024·安徽宣城·高三统考期末）在二项式2x的展开式中，有理项共

3x

有（）

A．3项B．4项C．5项D．6项

变式8．（2024·全国·高三专题练习）若(36x52x)n的展开式中有且仅有三个有理项，

则正整数n的取值为（）

A．4B．6或8C．7或8D．8

【解题方法总结】

先写出通项，再根据数的整除性确定有理项．

题型四：求二项展开式中的特定项系数

n

例10．（2024·四川成都·校联考模拟预测）已知x2y的展开式中第4项与第5项的二

项式系数相等，则展开式中的x5y2项的系数为（）

A．―4B．84C．―280D．560

16

例11．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）1(2x)展开式中x2的系

2x2

数为（）

A．270B．240C．210D．180

26

例12．（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习）x11x的展开式中x4的系数是（）

A．20B．20C．10D．10

n

22*

变式9．（2024·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知xnN的展

x

开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中x3的系数为（）

A．240B．240C．160D．160

8

2

变式10．（2024·全国·高三专题练习）在二项式x的展开式中，含x的项的二项式

x

系数为（）

A．28B．56C．70D．112

5

2

变式11．（2024·北京·高三专题练习）在二项式x的展开式中，含x3项的二项式系

x

数为（）

A．5B．5C．10D．10

【解题方法总结】

写出通项，确定r，代入．

题型五：求三项展开式中的指定项

12

12

例13．（2024·全国·高三专题练习）在1x的展开式中，x的系数为.

x2022

例14．（2024·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）(x2y1)5展开式中含xy3项

的系数为．

例15．（2024·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）(x2y3z)6的展开式中xy2z3的系数

为（用数字作答）．

5

1

变式12．（2024·福建三明·高三统考期末）x2展开式中常数项是.（答案

x

用数字作答）

7

421

变式13．（2024·江苏·金陵中学校联考三模）xy展开式中的常数项为.

2xy

变式14．（2024·湖南岳阳·统考模拟预测）(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为．

7

225

变式15．（2024·广东汕头·统考三模）x1展开式中x的系数是.

x

【解题方法总结】

三项式(abc)n(nN)的展开式：

nnrnrr

(abc)[(ab)c]Cnabc

rqnrqqr

CnCnrabc

rqnrqqr

CnCnrabc

若令nrqp，便得到三项式(abc)n(nN)展开式通项公式：

rqpqr

CnCnrabc(p，q，rN，pqrn)，

n!(nr)!n!

其中CrCq叫三项式系数．

nnrr!(nr)!q!(nrq)!p!q!r!

题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数

例16．（2024·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）(12x)(13x)5的展开式

中x3的系数为．

5

32

例17．（2024·河北保定·高三校联考开学考试）在x1x的展开式中含x项的系

x

数是.

26

例18．（2024·江西南昌·高三统考开学考试）1xx(1x)展开式中x7的系数

是.

16

变式16．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）x1x1的展开式常数项是.

x

（用数字作答）

变式17．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知多项式

3476

(x2)(x1)a1(x1)a2(x1)a7x1a8，则a7.

6

变式18．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）xyx2y的展开式中含x4y3项

的系数为．（用数字作答）

5

2

变式19．（2024·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）设1mxx展开式

x

中的常数项为80，则实数m的值为.

变式20．（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）(x1)6x22x1展开

式中x3的系数为.

【解题方法总结】

分配系数法

题型七：求二项式系数最值

n

1

例19．（2024·山东青岛·统考三模）若x展开式的所有项的二项式系数和为256，

3x

则展开式中系数最大的项的二项式系数为．（用数字作答）

n

2

例20．（2024·全国·高三专题练习）二项式x的展开式中，只有第6项的二项式系

x

数最大，则含x6的项是．

例21．（2024·人大附中校考三模）已知二项式(2xa)n的展开式中只有第4项的二项式系

数最大，且展开式中x3项的系数为20，则实数a的值为.

n

1

变式21．（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）二项式2x的展开式中当且仅当第4项

3x

的二项式系数最大，则n，展开式中含x2的项的系数为．

变式22．（2024·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知(1x)n的展开式中第4项与第8

项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为.

n

3

变式23．（2024·湖北·校联考模拟预测）在3x的二项展开式中，只有第5项的二

x

项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于．

【解题方法总结】

利用二项式系数性质中的最大值求解即可．

题型八：求项的系数最值

46

例22．（2024·海南海口·海南华侨中学校考一模）在x1yz的展开式中，系数最

大的项为.

n

例23．（2024·江西吉安·江西省万安中学校考一模）已知13x的展开式中，末三项的

二项式系数的和等于121，则展开式中系数最大的项为（.不用计算，写出表达式即可）

例24．（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）(x1)8的二项式展开中，系数最大的项

为．

变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知(13x)n的展开式中各项系数之和为64，则该

展开式中系数最大的项为．

2

变式25．（2024·全国·高三专题练习）若(x)n展开式中前三项的系数和为163，则

4x

展开式中系数最大的项为．

2n

1*

变式26．（2024·全国·高三专题练习）xnN展开式中只有第6项系数最大，

3x

则其常数项为.

n

1

变式27．（2024·安徽蚌埠·高三统考开学考试）若二项式x展开式中第4项的系数

2

最大，则n的所有可能取值的个数为.

【解题方法总结】

有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值

TrTr1

问题；如无关系，则转化为解不等式组：，注意：系数比较大小．

TrTr1

题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和

202322023

例25．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知12xa0a1xa2xa2023x，

则下列结论正确的是（）

A．展开式中所有项的二项式系数的和为22023

320231

B．展开式中所有奇次项的系数的和为

2

32023-1

C．展开式中所有偶次项的系数的和为

2

aaaa

D．12320231

2222322023

例26．（多选题）（2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知

627

x1x2a0a1xa2xa7x，则（）

A．a064B．a163

C．a0a1a70D．a1a3a5a71

929

例27．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知(1x)a0a1xa2xa9x，则

（）

A．a01

B．a1a2a3a90

C．a1a3a5a7a9256

239

D．2a12a22a32a92

10210

变式28．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知(2x1)a0a1xa2xa10x，

则（）

A．a01B．a120

10

C．a1a2a100D．a1a3a913

627

变式29．（多选题）（2024·山东日照·三模）已知x1(x2)a0a1xa2xa7x，

则（）

A．a064B．a71

C．a1a2a70D．a1a3a5a71

2n22n

变式30．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）设1xxa0a1xa2xa2nx，

则下列选项正确的是（）

n

A．a01B．a0a1a2a2n2

3n13n1

C．aaaaD．aaaa

0242n21352n12

变式31．（多选题）（2024·河北·统考模拟预测）已知

627

x1(x2)a0a1xa2xa7x．则（）

．．

Aa064Ba248

C．a1a2a70D．a1a3a5a71

变式32．（多选题）（2024·全国·校联考三模）若在

23nn1n

(12x)(12x)(12x)a0a1xan1xanx中，a05，则（）

379

A．n7B．aaaa

01n1n2

C．a2224D．a664

变式33．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知

727aaa

2xmaa1xa1xa1x，若a127128，则有（）

0127022227

A．m2

B．a3280

C．a01

D．a12a23a34a45a56a67a714

变式34．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知

n76

12xa3xa0a1x...a6xa0，则（）

A．n6B．a128

7

a0a1a67

C．D．a12a26a664

373633

变式35．（多选题）（2024·安徽芜湖·统考模拟预测）已知

29218

xx1a0a1xa2xa18x，下列说法正确的有（）

A．a01B．a242

9

3111

C．aaaD．a12a23a318a183

24182

变式36．（多选题）（2024·福建宁德·统考模拟预测）若

6236

(x1)a0a1x1a2(x1)a3(x1)a6(x1)，则（）

A．a064B．a0a2a4a6365

C．a512D．a12a23a34a45a56a66

727

变式37．（多选题）（2024·广西柳州·统考模拟预测）已知12xa0a1xa2xa7x，

则（）

7

A．a01B．a22

7

C．a0a1a2a71D．a0a1a2a73

变式38．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）若

220222022

1x1x1xa0a1xa2022x，则（）

3

A．a02022B．a2C2023

20222022

ii1

C．(1)ai1D．(1)iai1

i1i1

【解题方法总结】

二项展开式二项式系数和：2n；奇数项与偶数项二项式系数和相等：2n1．

n2n

系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：(axb)a0a1xa2x...anx

（，，，是系数），令得系数和：n．

a0a1...anx1a0a1...an(ab)

题型十：求奇数项或偶数项系数和

665

例28．（2024·北京东城·高三北京二中校考阶段练习）设(2x1)a6xa5xa1xa0，

则a1a3a5．（用数字作答）

例29．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设多项式

610109

(x1)(x1)a10xa9xa1xa0，则a0a2a4a6a8a10.

例30．（2024·新疆·高三八一中学校考开学考试）已知

425

(xm)(x2)a0a1xa2xa5x，若a016，则a1a3a5．

6

变式39．（2024·全国·模拟预测）在ax1x的展开式中，x的所有奇次幂的系数和

为32，则其展开式中的常数项为．

变式40．（2024·全国·高三专题练习）已知

57234567，则aaa的值

(1x)(1x)a0a1xa2xa3xa4xa5xa6xa7x246

为．

52345

变式41．（2024·安徽·高考真题）已知(1－x)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x，则(a0＋

a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于．

n

变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知2x1的展开式中，奇次项系数的和比偶次

8123n

项系数的和小3，则CnCnCnCn．

变式43．（2024·全国·高三专题练习）已知

4234

2x1a0a1x1a2x1a3x1a4x1，则a0a2a4的值为.

【解题方法总结】

n2nn

(axb)a0a1xa2x...anx，令x1得系数和：a0a1...an(ab)①；

令x1得奇数项系数和减去偶数项系数和：

n

a0a1a2a3...an(ab)(a0a2...)(a1a3...)②，联立①②可求得奇数项系数和

与偶数项系数和．

题型十一：整数和余数问题

例31．（2024·河北·高三校联考期末）9810除以1000的余数是．

例32．（2024·全国·高三专题练习）若

202322023

(x5)a0a1xa2xa2023x,Ta0a1a2a2023，则T被5除所得的余数

为．

例33．（2024·浙江金华·模拟预测）99100除以100的余数是．

20232023

变式44．（2024·辽宁沈阳·统考一模）若1xa0a1xa2023x，则

a0a2a4a2022被5除的余数是．

变式45．（2024·全国·高三专题练习）写出一个可以使得992023a被100整除的正整数

a.

变式46．（2024·全国·高三专题练习）已知742022a能够被15整除，其中a0,15，则

a.

题型十二：近似计算问题

例34．（2024·全国·高三专题练习）用二项式定理估算1.0110.（精确到0.001）

例35．（2024·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）

122334455

C50.998C50.998C50.998C50.998C50.998（精确到0.01）

例36．（2024·全国·高三专题练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据0.9810

的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是.

变式47．（2024·全国·高三专题练习）(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是．

变式48．（2024·全国·高三专题练习）1.028（小数点后保留三位小数）．

题型十三：证明组合恒等式

例37．（2024·全国·高三专题练习）求证：

22222(n1)n(n1)(3n2)

2345n

2222224

n

k2n

例38．（2024·全国·高三专题练习）证明：CnC2n．

k0

n

21n1

例．（·全国·高三专题练习）证明：C2k1C2n1Cn．

3920242n4n2n

k12

变式49．（2024·全国·高三专题练习）求证：

n1n12n2n1n1n

2Cn2Cn2(1)Cn2(1)1.

*m1n1m

变式50．（2024·全国·高三专题练习）（1）设m、nN，mn，求证：Cn1Cn；