2024-2025学年北京市东城区东直门中学高二下学期3月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市东城区东直门中学高二下学期3月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.5位老师和2名学生排成一队，学生既不排在一起也不排在队伍的首尾，则不同的排法有(    )．A.A55A42种 B.A55A52.若在数列an中，a1=2，an=1−A.2 B.12 C.−123.已知F为抛物线C:y2=12x的焦点，点Mx0,6在抛物线A.8 B.9 C.7 D.64.如图，曲线y=fx在点2,2处的切线为直线l，直线l经过原点O，则f′2+f2A.1 B.2 C.3 D.45.设f′x是函数fx的导函数，将y=fx和y=f′xA. B.

C. D.6.如果函数fx=xlnx−ax在区间(1,e)上单调递增，那么实数aA.[1,2] B.(−∞,2] C.[1,+∞) D.(−∞,1]7.设an是无穷数列，An=an+an+1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.若函数fx=lnx−mx3+1有A.0,e3 B.0,e23 9.P是平面直角坐标系xOy内一点，我们以x轴正半轴为始边，射线OP为终边构成角θ∈0,2π，OP的长度r作为θ的函数，若其解析式为：r=2sin2θ+sin4θ，则PA. B.

C. D.10.利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数fx=xxA.fx有且只有一个极大值点

B.fx在0,1e上单调递增

C.存在实数a∈0,+∞，使得f二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.用数字0､2､5､7四个数可以组成

个无重复数字的三位数．12.已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2n2−3n13.焦点在y轴上，且实轴长是6，虚轴长8的双曲线的标准方程为

．14.已知方程lnx=ax有三个实数解，则实数a的取值范围为

．15.已知函数fx=x3+ax2+b，a,b∈R.若x∈0,1时，函数fx有最大值为16.已知各项均不为零的数列an，其前n项和是Sn,a①a②若an为递增数列，则a的取值范围是0,1③存在实数a，使得an④∃m∈N∗，使得当k>m时，总有其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)求下列函数的导数：(1)y=(2)y=218.(本小题12分)已知函数fx=x(1)求函数fx(2)求函数fx在点0,f(3)若ℎx=fx−m,x∈19.(本小题12分)如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=(1)求证：BC⊥平面PAB；(2)求平面APC与平面PBC所成夹角的大小．20.(本小题12分)已知椭圆C:x24+y23=1的左顶点为A，右顶点为B，点P(x0,y0)在椭圆C上(与点A、B不重合(1)求椭圆C的短轴长和离心率；(2)若线段GH的中点为D，求点P坐标．21.(本小题12分)已知函数f(1)求y=fx在区间−2,3(2)若过点P2,t存在3条直线与曲线y=fx相切，求(3)若过点Qa,b作曲线y=fx22.(本小题12分)设an为无穷数列，给定正整数k(k≥2)，如果对于任意n∈N∗，都有an+2k+(1)判断下列两个数列是否具有性质P(2)；(结论不需要证明)①等差数列A：5，3，1，…；②等比数列B：1，2，4，…．(2)已知数列an具有性质P(2)，a1=1，a2=2(3)若既具有性质P(6)又具有性质P(k)的数列an一定是等差数列，求k的最小值．

参考答案1.A

2.D

3.D

4.C

5.D

6.D

7.A

8.B

9.B

10.D

11.18

12.an13.y214.0<a<115.1,−1

/−3,116.①②④

17.(1)由题意得y′=1(2)由题意得y′=2

18.(1)由题得f′x=3x2−2x−a由函数fx在x=1时取得极值，得f′1=1−a=0检验：此时f′x显然x=1是f′x的变号零点，即x=1因此a=1,f′x=3x+13x−1所以当x<−13或x>1时，f′x>0，当所以函数fx的递增区间是−∞,−13即函数fx的极大值点是x=−13(2)由(1)知，函数fx则有f0所以在点0,f0处得切线是y−2=−1即整理得x+y−2=0为所求切线；(3)因为ℎ由(1)可知fx在−2,−13所以fx有极小值为f1端点值为f2=4,f−2由ℎx直线y=m与函数y=fx即：m=1或m=59

19.(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC,AB⊂平面ABC，所以PA⊥BC，PA⊥AB，所以▵PAB为直角三角形，又因为PB=PA所以PB2+BC2又因为BC⊥PA，PA∩PB=P，所以BC⊥平面PAB．(2)由(1)BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，则BC⊥AB，以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0,0)，所以AP=(0,0,1),设平面PAC的法向量为m=x1,令x1=1，则y1设平面PBC的法向量为n=x2,令x2=1，则z2所以cosm所以平面APC与平面PBC所成夹角的大小π3

20.(1)设椭圆的半焦距为c．由椭圆方程x24所以椭圆的短轴长2b=23，离心率(2)由题意可知：直线AP的方程为y=y令x=4，得y=6y0直线BP的方程为y=y令x=4，得y=2y0因为GH的中点为D(4,0)，则6y若y0=0，则P(±2,0)，与若y0≠0，则3(x将x0=1代入x24+y2综上所述：点P坐标为1,32或

21.(1)f′x=3x2−3=3x−2−2,−1−1−1,111,33f′+0−0+f−2单调递增2单调递减−2单调递增18fx在−2,3上最大值是18，最小值−2(2)设切点为x0,y所以切线方程为y−x因为过点P2,t代入切线，有t−即t=3令gx=−2x3+6g′x=−6x2+12x=−6xx−2，令x−∞,000,222,+∞g′−0+0−g单调递减−6单调递增2单调递减作出函数gx由图可知：t的取值范围−6,2．(3)由(2)知切线方程为y−x因为过点Qa,b代入切线，有b−即b=3令gxg′x=−6x2+6ax=−6xx−a，令当a=0时，g′x<0，所以gx当a>0时x−∞,000,aaa,+∞g′−0+0−g单调递减极小值−3a单调递增极大值a单调递减所以当−3a<b<a当b=−3a或b=a当b<−3a或b>a当a<0时，x−∞,aaa,000,+∞g′−0+0−g单调递减极小值a单调递增极大值−3a单调递减当a3当b=−3a或b=a当b<a3−3a综上所述：当a=0,b∈R时，有一条切线当a>0时，若−3a<b<a若b=−3a或b=a若b<−3a或b>a当a<0时，若a3若b=−3a或b=a若b<a3−3a

22.解：(1)由题意知，数列

A

通项公式为

An=5−2n−1=−2n+7

，满足

an+4+an=−2(n+4)+7−2n+7=−4n+6=2a数列

B

中，代入

n=1

，

a5+a1=17≠2a3

，所以不满足

an+4+a(2)由数列

an

具有性质

P(2)

，得

an+4所以

an+4−an+2=a所以数列

A1

：

a1

，

a3

，

a5

，

⋯

，

又因为

a1=1

，

a所以数列

A1

的公差

d1同理，得数列

A2

：

a2

，

a4

，

a6

，⋯，

a2k

，是等差数列，公差①若

d1≥0

且

d2≥0

，则数列

A1

的最小项是

a1=1

，数列

所以数列

an

的最小项为1，这与

an②若

d1≤0

且

d2≤0

，同理，得

an

的最大项为2，这与③若

d1<0

且

d2>0

，则

A1

由

ann∈N∗=Z

，得3所以只能是

a4=3

，且

d同理，可得0为数列

A1

所以只能

a3=0

，

d此时，

an

的通项公式为

an=④若

d1>0

，

d2<0

，类似③的讨论可得

d1=1此时，

an

的通项公式为

an综上，

an

的通项公式为

an=3−n(3)由数列1，1，2，2，3，3，⋯，

n−1

，

n−1

，

n

，

n

，

n+1

，

n+1

，不是等差数列，且其同时具有性质

P(2)

，

P(4)

，

P(6)

，得

k≠2

且

k≠4

．类似的，由数列1，1，1，2，2，2，3，3，3，⋯，

n

，

n

，

n

，不是等差数列，且其既具有性质

P(6)

又具有性质

P(3)

，得

k≠3

．所以

k

的最小值大于或等于5.

以下证明

k

的最小值等于5，即证“既具有性质

P(6)

又具有性质

P(5)

的数列

an

因为

an

具有性质

P(6)

，即

an+12所以对于

m=1,2,3,4,5,6

，

am+6k(k∈N)同理，由

an

具有性质

P(5)

，得对于

m=1,2,3,4,5

，

am+5k(k∈N)由

a1

，

a7

，

a13

，

a19

，

a25

，

a31

，为等差数列(记公差为

u

)，且

a1

，

a6

，

a11

，

a16

，

a21

，

a26

，

a31

为等差数列(记公差为

v

)令

u=6d

，则

v=5d

，

a1+6k=a1+6kd

同理，由

a1

，

a7

，⋯，

a37

，为等差数列，且

a2

，

a7

，

a12

，

a17

，

a22

，

a27

，

a32

，

a37

，为等差数列(记公差为

d所以

d3=5d

，且

a所以

a2+5k=a2同理，由

a1

，

a7

，

a13

，⋯，

a43

，为等差数列，且

a3

，

a8

，