8.6.2第1课时 直线与平面垂直的判定课件-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定

第八章

8．6空间直线、平面的垂直学习目标1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用判定定理判定线面垂直，培养直观想象及逻辑推理核心素养．知识点一直线与平面垂直的定义1知识点二直线与平面垂直的判定定理2知识点三直线与平面所成的角3课时测评5内容索引随堂演练4问题导思问题1.如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？提示：始终保持垂直．问题2.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？提示：可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．新知构建直线与平面垂直的定义及画法定义如果直线l与平面α内的________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法______有关概念直线l叫做平面α的______，平面α叫做直线l的______．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做______．过一点作垂直于已知平面的直线，该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的_________．垂线段的______叫做这个点到该平面的距离图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直性质过一点垂直于已知平面的直线有且只有______任意一条l⊥α垂线垂面垂足垂线段长度一条微思考如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？提示：不一定．如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，在棱AB上任取一点E，过点E作EF∥AD交CD于点F，则这样的直线能作出无数条，显然AB垂直于平面ABCD内的无数条直线，但AB⊂平面ABCD，故直线AB与平面ABCD不垂直．不仅如此，因为A1B1∥AB，所以直线A1B1也垂直于平面ABCD内的无数条直线，但是直线A1B1∥平面ABCD.例1当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．故选④⑤.

下列命题中，正确的序号是_________．①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．④⑤规律方法直线与平面垂直定义的“双向”作用1．证明线面垂直：若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直，即线线垂直⇒线面垂直．2．证明线线垂直：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直，即线面垂直⇒线线垂直．

√对点练1．(多选)下列说法中，正确的是A．若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内任一直线B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥bD．若a⊥b，b⊥α，则a∥α√由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错误；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，故D错误．故选AC.返回问题导思问题3.如图，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？为什么？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？提示：不垂直，AD与BD不垂直，故不可能与桌面垂直．折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面垂直．这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD，CD都垂直．新知构建直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的______________垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言m⊂α，n⊂α，______＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α图形语言两条相交直线m∩n微提醒“两条相交直线”是定理的关键词，应用定理时不能忽略．例2

如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC.证明：因为SA＝SC，点D为斜边AC的中点，所以SD⊥AC.如图，连接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以∠ADS＝∠BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.变式探究(变条件，变设问)在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系是什么？解：因为AB＝BC，点D为斜边AC的中点，所以BD⊥AC.又由例题知SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，故BD⊥平面SAC.

规律方法证明线面垂直的方法1．由线线垂直证明线面垂直：(1)定义法(不常用)；(2)判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直．2．平行转化法(利用推论)：(1)a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(2)α∥β，a⊥α⇒a⊥β.对点练2．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；

证明：因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，所以PA⊥BM.又因为PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，所以BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，所以AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：PB⊥NQ.证明：由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，所以PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，所以PB⊥NQ.返回问题导思问题4.当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成角怎样定义．提示：铅笔和它在桌面上的射影所成的角．新知构建直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线l与一个平面α______，但不与这个平面______，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中__________斜足斜线和平面的______叫做斜足，如图中______射影过斜线上斜足以外的一点P向平面α引______PO，过______O和______A的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为__________相交垂直直线PA交点点A垂线垂足斜足直线AO有关概念对应图形直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中________规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是______；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是______取值范围设直线与平面所成的角为θ，则_______________∠PAO90°0°0°≤θ≤90°微提醒(1)斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的．(2)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．例3

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；解：因为AB⊥平面AA1D1D，所以∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，所以∠AA1B＝45°，所以A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．解：连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.因为BB1⊥平面A1B1C1D1，A1O⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1O，又A1O⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，所以A1O⊥平面BB1D1D，所以∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角．又因为∠A1OB＝90°，又0°≤∠A1BO≤90°，所以∠A1BO＝30°，所以A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.规律方法求直线与平面所成的角的步骤对点练3．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则AB1与平面AA1C1C所成角的正弦值等于√返回课堂小结知识(1)直线与平面垂直的定义．(2)直线与平面垂直的判定定理．(3)直线与平面所成的角．方法转化思想、数形结合．易错误区判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直．随堂演练1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC√因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，所以OA⊥平面OBC.2．(多选)若直线l与平面α垂直，则下列说法正确的是A．直线l与平面α内的所有直线都垂直B．在平面α内存在与直线l异面的直线C．在平面α内存在无数条直线与直线l相交D．在平面α内存在与直线l平行的直线√√√在平面α内不存在与直线l平行的直线，故D错误．3．(多选)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是A．三角形的两边 B．梯形的两边C．圆的两条直径 D．正六边形的两条边√√由线面垂直的判定定理知，直线垂直于A，C图形所在的平面，对于B，D图形