奥数题型与解题思路21-40讲

21、数字和与最大最小问题

【数字求和】

例1100个连续自然数的和是8450,取其中第1个，第3个，第5个,.....，

第99个（所有第奇数个），再把这50个数相加，和是______o

（上海市第五届小学数学竞赛试题）

讲析：第50、51两个数的平均数是8450+100=84.5,所以，第50个数

是84。则100个连续自然数是：

35,36,37,......,133,134。

上面的一列数分别取第1、3、5、……、99个数得:

35,37,39,....131,133。

则这50个数的和是：

35+37+39+.....+133=；X（35+133）X25=2100。

例2把1至100的一百个自然数全部写出来，所用到的所有数码的和是

（上海市第五届小学数学竞赛试题）

讲析；可把1至100这一百个自然数分组，得

（1、2、3、……、9）,（10、11、12、……、19）,（20、21、22、……

29）,....,（90>9八92、....99）,（100）。

容易发现前面10组中，每组的个位数字之和为45。而第一组十位上是0,

第二组十位上是1,第三组十位上是2,……第十组十位上是9,所以全体十位

上的数字和是（1+2+3+...+9）X10=450„故所有数码的和是45X10+450+1=901u

例3真分数微化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连

续若干个数字之和是1992,那么a=—o

（北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

i・・2■•3・a4■>

讲析：由亍=0.142857,亍=0.285714,亍=0.428571,亍=0.571428,

1=0.714285,1=0.857142,可知它们每个循环节中的数字之和是27。

又，1992+27=73余21,而21=8+5+7+1,所以a=6。

例4有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一

个数，用这种方法计算了四次，分别得到四个数：86,92,100,106o那么，原

来四个数的平均数是

（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：每次所选的三个数，计算其平均数，实际上就是计算这三个数中

每个数的;的和。将上面四个数相加，就得到原四个数和的2倍。所以，

原来四个数的平均数为（86+92+100+106）+2=192。

【最大数与最小数】

例1三个不同的最简真分数的分子都是质数，分母都是小于20的合数，要

使这三个分数的和尽可能大,这三个分数是

（全国第四届《从小爱数学》邀请赛试题）。

讲析：20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19

要使三个分数尽量大，必须使每个分子尽量大而分母尽量小。且三个真

分数分子要为质数，分母要为小于20的合数，所以，三个分数是1工7、

lo

1311

14'120

例2将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分成三组，分别计算各组数的和。

已知这三个和互不相等，且最大的和是最小和的2倍。问：最小的和是多少？

（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）

讲析；因为1+2+3+……+8=36,又知三组数的和各不相同,而且最大的

和是最小和的2倍。所以，最小和比总和36的;要小，而比总和36的1要

大。因此，最小的和是8。

例3把20以内的质数分别填入口中（每个质数只用一次）：

□+□+□+□+□+□+□

A=□

使A是整数。A最大是多少?

（第五届《从小爱数学》邀请赛试题）

讲析：要使A最大，必须使分母尽量小，而分子尽量大。

分母分别取2、3、5时:A都不能为整数。当分母取7时,

2+3+5+11+13+17+19

A==10为最大。

7

例4一组互不相同的自然数，其中最小的数是1,最大的数是25。除：之

外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中

某两个数之和。问：这组数之和的最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这

组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。

（全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题）

析：观察自然数1、2、3、4、5、……、25这25个数，发现它们除1之外,

每个数都能用其中某一个数的2倍，或者某两个数之和表示。因此，这组数之和

的最大值是1+2+3+……+25=325。

卜面考虑数组中各数之和的最小值。

1和25是必取的，25不能表示成一个数的2倍，而表示成两个数之和的形

式，共有12种。我们取两个加数中含有尽可能大的公约数的一组数（20+5）或

者（10+15）。当取1、5、20、25时，还需取2、3、10三个；当取1、10、15、

25时，还需取2、3、5o经比较这两组数，可知当取1、2、3、4、5、10、15、

25时,和最小是61。

22、数字串问题

【找规律填数】

例1找规律填数

（1）1、白2、1、3、0、（）、（）、……

乙乙

（杭州市上城区小学数学竞赛试题）

⑵4、M竺、-）.

6715532339

（1992年武汉市小学数学竞赛试题）

讲析：数列填数问题，关键是要找出规律；即找出数与数之间有什么联系。

第（1）小题各数的排列规律是:第1、3、5、……（奇数）个数分别

是1、2、3、……；而偶数项的数又分别是前一个数的故括号里的数分

别是4和2。

第（2）小题粗看起来，各数之间好像没有什么联系。于是，运用分数

的性质将某些分数进行变化，得最=2/=n，噌=舞。这样，就

1.>oU23463y39

得到了

48163264r、

6760534639

从而很容易找到答案为等。

例2右表中每竖行的三个数都是按照一定的规律排列的。按照这个规律在

空格中填上合适的数。

0.43.880.58

0.702.5104

1.281216

（1994年天津市小学数学竞赛试题）

讲析：根据题意，可找出每竖行的三个数之间的关系。不难发现每竖行中的

第三个数，是由前两数相乘再加上1得来的。所以空格中应填33。

【数列的有关问题】

例1在一串分数：11211232112

5'21253*3f33f3；"4

34321中，Q）焉是第几个分数？⑵第400个分

4，“"74

数是几分之几？

（第一届《从小爱数学》邀请赛试题）

讲析：经观察发现，分母是1、2、3、4、5……的分数个数，分别是1、3、

5、7、9……o所以，分母分别为1、2、3……9的分数共

有lx(1+17)x9=81(个)

2

不难求出得是第88和第94个分数。

又因为1+3+5+7+9+・・・・••+（2n-l）=n2,而400=202,所以，

第400个分数是

例2有一串数：1,1993,1992,1,1991,1990,1,1989,1988,…这个

数列的第1993个数是______

（首届《现代小学数学》邀请赛试题）

讲析：把这串数按每三个数分为一组，则每组第一个数都是1,第二、三个

数是从1993开始，依次减1排列。

而19934-3=664余1,可知第1993个数是1。

例3已知小数0.12345678910111213……9899的小数点后面的数字,是由

自然数1—99依次排列而成的。则小数点后面第88位上的数字是______o

（1988年上海市小学数学竞赛试题）

讲析：将原小数的小数部分分成A、B两组：

0.123…91。1112-99

K7—人7_✓

AB

A中有9个数字，B中有180个数字，从10到49共有80个数字。所以，第

88位上是4o

例4观察右面的数表（横排为行，竖排为列）；

1

•

2'

21

■"""•

1'2'

321

—•••

r2‘3,

4321•

r2'3'4'

54321

T；2；3；“5

根据前五行数所表达的规律，说明：片这个数，位于由上而下的第

1949

几行，自左向右的第几列。（全国第三届“华杯赛”决赛试题）

讲析：第一行每个分数的分子与分母之和为2,第二行每个分数的分子与分

母之和为3,第三行每个分数的分子与分母之和为4,……即每行各数的分子与

分母之和等于行数加lo

1QQ1

而1991+1949-1=3939,所以二■位于第3939行的第1949歹人

1994

例5如图5.4,除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行

的两个数的平均数，那么第100行各数之和是o

（广州市小学数学竞赛试题）

讲析：可试探着计算每行中各数之和。第一、二、三、四行每行的各数之和

分别是6、8、10、12,从而得出，每行的数字之和，是行数的2倍加4。故第

100行各数之和为100X2+4=204.

例6伸出你的左手，从大拇指开始，如图5.5所示的那样数数：1、2、3……。

问：数到1991时,会落在哪个手指上？

(全国第三届“华杯赛”决赛口试试题)

讲析：除1之外，从2开始每8个数为一组，每组第一个数都是从食指开始

到拇指结束。V(199-1)+8=248余6,・••剩下最后6个数又从食指开始数,

会到中指结束。

图5.5

例7如图5.6,自然数按从小到大的顺序排成螺旋形。在“2”处拐第一个

弯，在“3”处拐第二个弯……问拐第二十个弯处是哪个数？

2t1f22f23f24f25f26

9-*1027

2t0tI|

61—21198

1i9ttI

5^-4-*—312

1t8I

—16-15—14—13

17图5.6

(全国第一届“华杯赛”决赛口试试题)

讲析：写出拐弯处的数，然后按每两个数分为一组：(2,3),(5,7),

(10,13),(17,21),(26,31),……o将会发现，每组数中依次相差1、

2、3、4、5、……o每组的第二个数与后一组的第二个数依次相差2、3、4、5、……。

从而可推出，拐第二十个弯处的数是111。

例8自然数按图5.7顺次排列。数字3排在第二行第一列。问：1993排在

第几行第几列？

12671516…

3581417…

4913…

1012…

11…

•••

图5.7

（全国第四届“华杯赛”复赛试题）

讲析：观察每斜行数的排列规律，每斜行数的个数及方向。

每一斜行数的个数分别是1、2、3、4、5、……,奇数斜行中的数由下向上

排列，偶数斜行中的数由上向下排列。

不难得出，所有笫62斜行及以前的数，共有;X62X63=1953（个）；

而第63斜行及以前的数共有：义63X64=2016（个），贝U,1993位于第63

斜行，该斜行的数是由下向上排列的，且第63行第1列是1954。

由于从1954开始，每增加1时，行数就减少1,而列数就增加lo所以1993

的列数、行数分别是：

1993—1954+1=40（列），63-（1993—1954）=24（行）

23、数阵图

【方阵】

例1将自然数1至9,分别填在图5.17的方格中，使得每行、每列以及两

条对角线上的三个数之和都相等。

图5.17

（长沙地区小学数学竞赛试题）

讲析：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。

（1+2+3+……+9）4-3=15,则符合要求的每三数之和为15。显然，中间一

数填“5”。

再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图5.18）,

便得解答如下。

图5.18

例2从1至13这十二个数中挑出十二个数，填到图5.19的小方格中，使

每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。

图5.19

（“新苗杯”小学数学竞赛试题）

讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既能被3整除，又能被4整除，

（三行四列）。所以，能被12整除。十三个数之和为91,91除以12,商7余7,

因此，应去掉7。每列为（91—7）4-4=21

而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图5.20所示。

三个奇数和为21的有两种：21=l+9+ll=34-5+13o经检验，三个奇数为3、

5、13的不合要求，故不难得出答案，如图5.21所示。

奇奇

奇奇

奇奇

图5.20

例3十个连续自然数中，9是第三大的数，二巴这十个数填到图5.22的十个

方格中，每格填一个，要求图中三个2X2的正方形中四数之和相等。那么，这

个和数的最小值是o

（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

图5.22

讲析：不难得出十个数为：2、3、4、5、6、？、8、9、10、11。它们的和是

65。在三个2X2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。

设中间两个小正方形分别填上a和b,则（65+a+b）之和必须是3的倍数。

所以，（a+b）之和至少是7。

故，和数的最小值是最。

【其他数阵】

例1如图5.23,横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。

已知横行上任意三个相邻数之和为20,竖列上任意三个相邻数之和为2k

图中已填入3、5、8和“X”四个数，那么"X”代表的数是。

3

5|X

图5.23

（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

讲析：可先看竖格。因为每相邻三格数字和为21,所以每隔两格必出现重

复数字。从而容易推出，竖格各数从上而下是：3、10、8、3、10、8、3、10、8、

3、10、80

同理可推导出横格各数，其中“X”=5。

例2如图5.24,有五个圆，它们相交后相互分成九个区域，现在两个区域

里已经分别填上数字10、6,请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、

9七个数字，使每个圆内的数之和都是15。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）

图5.24

图5.25

讲析：可把图中要填的数，分别用a、b、c、d、e、f、g代替。（如图5.25）

显然a=5,g=9o

则有：b+c=10,e+f=6,c+d+e=15o经适当试验，可得b=3,c=7,d=6,

e=2,f=4o

例3如图5.26,洛六个圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20,而且每

个小三角形三个顶点上的数之和相等。那么，这六个质数的积是O

（全国第一届“华杯赛”决赛试题）

讲析：最上面的小三角形与中间的小三角形，都有两个共同的顶点，且每个

小三角形顶点上三数之和相等。所以，最上边圆圈内数字与最下面中间圆圈内数

字相等。

图5.26

同样，左下角与右边中间的数相等，右下角与左边中间数相等。

204-2=10,10=2-3+5。

所以，六个质数积为2X2X3X3X5X5=900。

例4在图5.27的七个。中各填上一个数，要求每条直线上的三个数中，中

间一个数是两边两个数的平均数。现已填好两个数，那么X=O

(1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题)

讲析：如图5.28,可将圆圈内所填各数分别用a、b、c、d代替。

则d=15o

由15+c+a=17+c+b,得：a比b多2。

所以，b=13+2=15。进而容易算出，x=190

例5图5.29中8个顶点处标注的数字：

a、b、c、d、e、f、g、h,其中的每一个数都等于相邻三个顶点

处数字和的求(a+b+c+d)-(e+f+g+h)的值。

图5.29

(全国第三届“华杯赛”复赛试题)

讲析：将外层的四个数，分别用含其它字母的式子表示，得

a=?(b+e+d)；b=?(c+f+a)

a=i(d+g+b)；d=y(a+h+e)»

所以，a+b+c+d=；(b+e+d)+；(c+f+a)+g(d+g+b)+

；(a+h+e)0

y[2(a+b+c+d)+(e+f+g+h)]

即(a+b+c+d)-(e+f+g+h)=0

24、数的组成

【数字组数】

例1用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字

都要用到，并且只能用一次，那么这九个数字最多能组成个质数。

（1990年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：自然数1至9这九个数字中，2、3、5、7本身就是质数。于是只剩

下1、4、6、8、9五个数字，它们可组成一个两位质数和一个三位质数：41和

689o所以，最多能组成六个质数。

例2用0、1、2、……9这十个数字组成五人两位数，每个数字只用一次，

要求它们的和是一个奇数，并且尽可能的大。那么，这五个两位数的和是o

（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：组成的五个两位数，要求和尽可能大，则必须使每个数尽可能大。所

以它们的十位上分别是9、8、7、6、5,个位上分别是0、1、2、3、4。但要

求五个两位数和为奇数，而1+2+3+4=10为偶数，所以应将4与5交换，使和为:

（9+8+7+6M）X10+（1+2+3+5）=351。

351即本题答案。

例3一个三位数，如果它的每一个数字都不超过另一个三位数对应数位上

的数字，那么就称它被另一个三位数“吃掉”。例如，241被342吃掉，123被

123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但240和223互不被吃掉。现

请你设计出6个三位数，它们当中任何一个数不被其它5个数吃掉，并且它们的

百位上数字只允许取1、2；十位上数字只允许取1、2、3；个位上数字只允许取

1、2、3、4o

这6个三位数是_______o

（第五届《从小爱数学》邀请赛试题）

讲析：六个三位数中，任取两个数a和b,则同数位上的数字中，a中至少

有一个数字大于b,而b中至少有一个数字大于a。

减

始依次

4开

上从

个位

1,而

增加

依次

开始

可从1

位上

时，十

上为1

少当百位

个

加1而

依次增

1开始

上从

十位

时，

为2

位上

当百

32。

3,1

,12

：114

位lo即

要

数符合

这六个

验，

经检

231o

222,

213,

。即：

减少1

依次

开始

能从3

求上只

个1

得两

数,使

八位

一个

排成

数字

八个

4这

、4、

3、3

、2、

1、2

将1、

例4

之间

个