高中数学：教案：高中数学人教A版2019必修 第二册 向量的数量积

第六章平面向量及其应用

6.2.4向量的数量积

一、教学目标：

1、知识与技能：

通过物理中“功”的实例，理解平面向量数量积的含义，掌握平面向量数量

积的性质.

2、过程与方法：

经历从物理背景的分析，抽象概况出概念的过程，培养学生归纳概括、类比

迁移的能力；经历通过不同的方式探究、发现平面向量数量积性质的过程，体会

从特殊到一般、分类讨论、数形结合的数学思想方法.

3、情感、态度、价值观：

通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会各

学科之间的密切联系，感受知识的形成过程，提高数学学习的兴趣，形成独立自

主的钻研精神和合作学习的科学态度.

二、教材分析：

重点：平面向量数量积的概念和性质.

难点：平面向量数量积的性质的发现.

三、教学策略：

启发式和问题探究相结合。

四、教学过程：

（一）创设情境展示背景

如图小车在力F的作用下移动了一段位移是S,力和位移的夹角为。，从物

理的角度来看其实质是什么？

。O

（二）分析背景形成概念

群答：力对物体做功，力对物体做功，

问题1:图中力对物体所做的功是多少？

W=F|S|COS^

（可能学生回答卬=同同，引导学生回答图中的力对物体所做的功是多少？）

这里的。是什么？

生1：力和位移的夹角

问题2：影响力对物体所做的功的因素有哪些？

群答：力F、位移S、力和位移的夹角。

问题3：像力F、位移S这些量在物理上我们称做什么量？大家回答看看

群答：矢量

问题4：很好！类比矢量在数学上我们把既有大小又有方向的量称为什么量？

群答：向量

问题5：那我们用数学的眼光来看这是向量的一种什么运算？我们看等式的

左边是什么量？

群答：标量

问题6：在数学上我们称为什么量？

群答：数量

从求功的运算中，能否抽象出某种数学运算？（课件展示）

生5：abcos，

问题7：下面大家注意了，像这种向量运算前面我们学习了好几种，对不对？

有向量的加法、减法、数乘，这些运算的结果都是什么量？

群答：向量

这种运算的结果是数量，跟以往不同。我们今天这节课就是从力的做功公式

出发来引进向量的一种新的运算，你能否给这种运算起个名称？大家想想看，取

什么名字好！

生6：向量的积

问题7：太好了，这里的确是向量的积的运算。有没有人对这种运算有其他

名字？

生8：向量的数量积

问题9：太棒了！大家觉得好不好！。。。。从结果来看是一个数量。还有吗？

生9:平面向量的数量积.

师:简直太牛了！

（由力对物体做功公式类比得出平面向量的数量积）

师：我们知道功运算中除了力和位移，还有一个夹角。，物理上称为力和位

移的夹角，在数学上我们称为向量的夹角，下面我们来看书本给出的向量夹角的

定义：

向量的夹角:

已知两个非零向量3和B，作亩=£,苏=B，则=

叫做向量a与B的夹角.

问题10：两个非零向量的夹角的范围是什么？

（课件展示）

当且仅当两非零向量々、b同方向时0=

生10:8=0°

当且仅a，b反方向时，0=

生11:8=180°

以上统称为粉/各

当。,称a与Z?垂直，记作a_L6.

规定：0°<^<180°

试一试：

如图:正ZkASC中,求

ABAC

（1）―.与一的夹角；

ABBC

（2）与的夹角。

AB

答案为：（1）8=60°,（2）8=120°

向量的夹角注意点：1.向量要共起点

2.角的范围

3.几个特殊角

下面正式给出向量数量积的定义：

已知两个非零向量£和B，它们的夹角为6,则数量|小|个-cos6叫做£与B

的数量积（或内积），记作办不，即。不=|。曲|（\）5，.（板演a-B=|a||〃|cos，（a

和B不为非零向量）

问题11：向量的数量积定义中£和B为何要是非零向量？

探究：零向量与其他向量有没有数量积？应如何定义？能否找出其物理模

型？

（可以从网=0或者零向量与其他向量的交角没有定义。）

规定：零向量与任何向量的数量积为0,

比较探究

两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？Y+工

cos6>（妫a与用勺夹角）

两个向量的数量积是一个实数，它的符号由

的符号所决定；而数乘向量是一个向量。

2书写上的区别：符号_"•二'在向量运算中既不能省略，也不能用“X”代替。

辨析：。・石，0a,20,5<6

（三）概念应用探究性质

例1.已知向量〉与向量B的夹角为氏口=2,W=3,分别在下列条件下求73

（1）8=135°；（2）a!lb;（3）a-Lb

解：(1)a-b=a||^|cos<9=2x3xcos135°=-372；

(2)当向量屋g同方向时e=o°,则73=6

(3)当7g反方向时，8=180°,贝工行=-6

当时，8=90。，贝汇％=0.

数量积的性质：

已知£5是两个非零向量.

(l)a±Z>a-b=0(2)a-a=|a|或卜卜右刀

(3)cos/a,3\=4||1|(4)|a-Z>|<|a||5|

'/卜帆111111

小组合作讨论：

(1)如果a,包茜足a4=0,试讨论a与诞否垂直。，

生答：a=。或者3=6或者a_LB

(2)如果a,而苗足a%w0,试讨论。与防勺夹角情况。

生答：若H，则)与B同向或者夹角为锐角；若"0,贝工与3反向或者

夹角为钝角；

变式1：已知a2,W=3,=3=—3，求。

生板演：a-babcos。：cos。

..0°<6><180°

9=120°

变式2：已知「|=2,恸=3，求）的勺范围

生板演：H二HWcosO；

V0°<6><180°

coseG[-6,6]

练习2：在“BCD中，已知网=4,|回=3,NZM5=60°,求:

（1）AD*BC;（2）AB*CD;（3）AB*IM

*

答案：（1）9（2）-16（3）-6

（四）归纳理解学以致用

反馈练习

1.已知口=2,7%=3,夕=60°,求恸

1-1a-

答案：「卜府b不斗

2.