高中数学红对勾讲与练2课时作业13

课时作业13余弦定理、正弦定理应用举例

时间：45分钟

基础巩固

一'选择题

1.地上画了一个角NBDA=60。，某人从角的顶点D出发，沿角

的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达

△BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N,则N与D之

间的距离为（C）

A.14米B.15米

C.16米D.17米

解析：如图，设DN=xm,

则142=102+/一2*10乂n0560°,

.'.X2—10x—96=0,

.”-16）（%+6）=0.

二.X=16或x=—6（舍）.

，N与。之间的距离为16米.

2.如图所示，为测一棵树的高度，在地面上选取A,3两点（点A,

3与树根部在同一直线上），从A,8两点分别测得树尖的仰角为30。,

45。，且A,3两点之间的距离为60m,则树的高度为（A）

A.(30+3()V3)mB.(30+154)m

C.(15+3()V3)mD.(15+3^3)01

解析：设树高为〃，则由题意得

sin(l80°一45°)-sin(45°—30)

/z=AP-sin30°,

Ar\•[QUO

/.h=---sin30°=30(小+1)=(30^/3+30)(m).

3.如图所示为起重机装置示意图.支杆8C=10m,吊杆AC=

15m,吊索AB=5回m,起吊的货物与岸的距离AO为(B)

A.30m

C.15小m

D.45m

解析：在△ABC中，由余弦定理可得cosNACB

=2ACBC

152+102~(5V19)21

=2X15X10=~T

所以NACB=120。，

ZACZ)=180o-120o=60o.

然后由正弦定理

sinZACDsinZADC

一国1」、…

可得AQ=ACsin60°=r-(m).故选B.

4.如图，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺

时针转到目标方向线的水平角)为140。的方向航行，为了确定船的位

置，船在3点观测灯塔A的方位角为110。，航行：h到达。点，观测

灯塔A的方位角是65。,则货轮到达C点时,与灯塔A的距离是(B)

北

c

A.10kmB.10^/2km

C.15kmD.15gkm

解析：在△ABC中，BC=40x1=20(km),

ZABC=1400-110o=30°,ZACB=(180°-140°)+65°=105°,

...A=180°-(30°+105°)=45°.

由正弦定理，得

BCsinNA3c20Xsin30°

A。—sinA-sin45°

=10\/2(km).

5.如图，正五边形A8CQE的边长为2,甲同学在△ABC中用余弦

定理解得AC=A/8-8COS108°，乙同学在RtAACZ/中解得AC=、、］。,

据此可得cos72。的值所在区间为(C)

A.(0.1,0.2)B.(0.2,0.3)

C.(0.3,0.4)D.(0.4,0.5)

解析：根据题意可得y8—8cosl08°=T^,

cos72°X^/8+8cos72°-1=0.

构造函数j(x)=川8+8%一1,

VA0.3)=0.3XV104-1<0,M4)=

0.4XVTT2-1>O,

.•.%所在区间为(0.3,0.4),

即cos72。的值所在区间为(0.3Q.4).故选C.

6.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与

第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一

辆车与第二辆车的距离力与第二辆车与第三辆车的距离办之间的关

系为(C)

A.d\>diB.d\=di

C.d\<dzD.不能确定大小

解析：如图，B,C,。分别是第一、二、三辆车所在的位置，由

题意可知a=B.

P

工

ABd.Ct^D

在△P8C中，

d\_PB

sina-sinZPCB,

在中，sh^=sinZPCD,

Vsina=sin^,sinZPC5=sinZPCD,

:玛=暮,:PB〈PD,：与=需\,即水必.

〃2FDU2rU

7.一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30。，

之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：

00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8也海里，则灯塔S在3处的

(C)

A.北偏东75。B.东偏南75。

C.北偏东75。或东偏南75。D.以上方位都不对

解析：根据题意画出示意图，如图，由题意可知43=32X^=16,

B北

30%

BS=8®A=30°.

在3s中，由正弦定理得

AB_BS

sin5-sinA,

,cABsinA16sin30°^2

smS=~~BS~=~^T~=2.

.•.5=45°或135°,...3=105°或15°,

即灯塔S在8处的北偏东75。或东偏南75°.

8.如图，在山底测得山顶仰角NCA3=45。，沿倾斜角为30。的斜

坡走800m至S点，又测得山顶仰角NQS3=75。,则山高8。为（B）

80师

A.~mB.800m

C.800^2mD.400A/6m

解析：依题意，过点S作SE_LAC于点E,SH上AB于点、H.

VZSAE=30°,AS=800m,

ACD=5E=A5-sin300=400m.

依题意，在RtZVMS中，Z//A5=45°-30°=15°.

,HS=ASsin15°=800sin15°.

在Rt/\BHS中，ZHBS=30°,

：.BS=2HS=l600sinl5°.

在RtABSD中，

BD=B5sin75°=l600sinl50-sin75°=

1600sin15°-cosl5°=800Xsin30°=400(m).

Z.BC=BD+CD=400+400=800(m).

故选B.

二、填空题

9.一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直

线运动，到达点3时，发现足球在点。处正以2倍于自己的速度向点

A做匀速直线滚动，如图所示，已知A3=4-\[2dm,AD=17dm,Z

BAC=45°,若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在

距A点2dm的C处截住足球.

ACD

解析：设3C=xdm,由题意知CZ)=2xdm,AC=AD—CD=(17

—2%)dm.

在△ABC中，由余弦定理得

BC2=AB2-\-AC2-2ABACCOSA,

即『=(4啦)2+(17—2幻2—8啦(17—2x)cos45。，

37

解得％1=5,%2=于

.•.AC=17-2x=7(dm),

23

或AC=一卞(dm)(舍去).

...该机器人最快可在线段AD上距A点7dm的点C处截住足球.

10.如图所示，某建筑物的高度3C=300m,一架无人机。上的

仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°,地面某处A的俯角为45°,

且NA4C=60。，则此无人机距离地面的高度夕。为200m.

解析：根据题意，可得RtaABC中，ZBAC=60°,BC=300m,

2

在△4CQ中,ZAQC=450+15°=60°,

ZQAC=180°-45°一60°=75°,

，NQCA=180°-N4QC—NQAC=45°.

AOAC20师义乎

由正弦定理，得遥=而存，解得AQ=—道一二200吸

2

(m),

在RtZkAPQ中，PQ=AQsin450=200^2X^-=200(m).

三'解答题

11.如图，某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面C

处和。处，已知C£>=6000m,ZACD=45°,ZADC=75°,目标出

现于地面8处，测得NBCD=30。，/BDC=15。,求炮兵阵地与目标

的距离.

解：由NACQ=45°,ZADC=15°,得NG4O=60°.

在△ACD中，由正弦定理，

得则AD=^CD.

sin60sin45°‘3

CDsin30°

在△中，可得由正弦定理，得

3CQNC3D=135°,BD=sin135°

=乎8

又/4。3=/4。。+/3。。=75。+15。=90°,连接A8,则在△

ABD中，

AB=Y/AD2+BD2=^CD

=^X6000=1000^42(m).

故炮兵阵地与目标的距离为1000742m.

12.如图，已知海岛3在海岛A的北偏东45。方向上，A,8相距

10海里，小船甲从海岛8以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，

同时小船乙从海岛A出发沿北偏西15。方向也以2海里/小时的速度移

动.

北

A岛

(1)经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？

(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可

能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由.

解：(1)设经过1小时后，甲船到达M点，乙船到达N点，

AM=10-2=8,AN=2,ZMAN=60°,所以M^=AM2+A1^

~2AM-ANcos60°

=64+4-2X8X2X；=52.

所以MN=2y[13.

所以经过1小时后，甲、乙两小船相距2回海里.

(2)设经过(0</<5)小时小船甲处于小船乙的正东方向，如图,则

甲船与A距离为A£=(10—2。海里，乙船与A距离为AF=2t海里，

A17

ZEAF=60°,NET弘=75°,ZFEA=45°,则由正弦定理得丁正=

111IJ

AE

sin75°'

2t_10~2r

即sin450=sin750'

10sin45°_______105（3一小）

刑,=2sin750+2sin45°=3+小=—3<5

所以经过其支学应小时小船甲处于小船乙的正东方向.

能力提升

13.（多选）如图所示，为了测量某一隧道两侧A,8两地间的距离，

某同学首先选定了不在直线A3上的一点aZxABC中，角A,3,C

所对的边分别为mb,c）,然后确定测量方案并测出相关数据，进行

计算.现给出如下四种测量方案，则一定能确定A,B间距离的所有

方案为（ACD）

A.测量角A,C,hB.测量角A,B,C

C.测量。，b,角CD.测量角A,B,a

ch

解析：A.由角A,角C可算出角3,再根据正弦定理：卷=合

可计算出c;B.已知三角，没有已知边，无论用正弦定理还是余弦定

理都算不出AB;C.已知两边夹角，用余弦定理可计算出AB;D.已知

两角，可计算出第三角，再用正弦定理可解得AB,故选ACD.

14.某观测站C在目标A的南偏西25。方向上，从A出发有一条南

偏东35。走向的公路，在。处测得与C相距31km的公路B处有一辆

车正沿着此公路向A行驶，经20km到达。处，此时测得CQ距离为

21km.若司机必须在20min内从力处到达A处，则行驶的最小速度为

C.14km/hD.15km/h

解析：由已知得NC4B=25°+35°=60°,3c=31km,CD=21km,

BC+BD2—CD2

BO=20km.在△BCO中,由余弦定理,待cosB=—2BCXBD—=

312+202~21223所以sin8=号与在△ABC中，由正弦定理，得

2X31X20=亓

BCXsinfi

AC=sinNCA3=24(km).

由余弦定理BCc=AC2+AB2-2ACABcosZCAB,得312=242+

AB2-24AB,解得A3=35km(负值舍去).因此40=43—3。=35—

20=15(km).

若司机必须在20min,即:h内从。处到达4处，则其最小速度

为15・；=45(km/h).故选B.

15.在一片三角形的草地上建一圆形花池，使花池与草地三边相

切，假设三角形草地顶点为A,B,C,在△ABC中，内角A,B,C

7T

所对的边分别为。，b,c,若b2=ac,且角8=1,c=3,则△ABC的

形状是等边三角形,花池周长为咽.

解析：由3=]7T,b2=ac,c=3,根据余弦定理得。2=42+/一