高中数学题型全面归纳（学生版）：第十四章 推理与证明

第十四章推理与证明

本章知识结构图

第一节推理

考纲解读

1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，了解合情推理在数学发

现中的作用.

2.了解演绎推理的重要性，掌握其基本模式，并能进行一些简单的推理.

3.了解合情推理和演绎推理的联系和差异.

命题趋势探究

作为新课标新增加的内容，主要考查归纳推理和类比推理，题型在选择题、填空题和解

答题中均有渗透，主要题型结构为：根据条件，归纳、猜想一个结论，然后证明该结论，虽

然合情推理的结论不一定为真，但高考一般考查的是可以通过演绎推理解决的问题，故答案

具有唯一性.

知识点精讲

1.合情推理

合情推理包含归纳推理和类比推理两种基本推理方法.

⑴归纳推理：根据某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都

具有这种特征的推理，是“部分到整体，个别到一般”的推理，属不完全归纳推理.

⑵类比推理：两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一

类对象也具有相似特征的推理，是“特殊到特殊”的推理.

2.演绎推理

演绎推理就是根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理，常用的演

绎推理规则有：假言推理；三段论推理；传递性关系推理和完全归纳推理.特别是“三段论”

推理，其模式为：

(1)大前提——已知的一般结论.

⑵小前提一一所研究的特殊情况.

(3)结论一一根据一般结论，对特殊情况做出判断，步骤如下：①若SeM,则5有性

质P;②检验，S'eM；③故S'具有性质P.

注如大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的.

题型归纳及思路提示

题型185归纳推理

思路提示

对所给的几个特殊事例进行观察，归纳猜测出它们的共同点，得出一般的规律性结论,

但结论的正确性还需进一步证明.这里遵循的是由特殊到一般的推理原理.

例14,1[2016高考山东文数】观察下列等式：

(sin—)-2+(sin—)-2=—xlx2；

333

(siny)-2+(sin~)2+(sin-^)-2+(sin=gx2x3；

(sin—)"2+(sin—)-2+(sin-)-2+•••+(sin—)-2=—x3x4；

77773

(sin—)-2+(sin—)-2+(sin-)-2H---F(sin—)~2=—x4x5；

99993

-27r2

照此规律，(sin---)+(sin2-)-2+(sin_---h(sin)~

2n+V2〃+l2n+l2〃+l

变式1观察下列各式：

55=3125,56=15625,57=78125,…，则52。1】的末四位数字为().

A.3125B.5625C.0625D.8125

变式2"个自然数按规律排成如图14—1所示的序列：

03f47fg11f……

ITJT1T

1-25—69—10

依次规律从2013f2015,箭头方向应为（）.

A.3f8.ftC.tD.fI

变式3下面的倒三角形数阵满足如图14-2所示的排列.

1357911...........

48121620...........

12202836...........

图14-2

⑴第一行的n个数分别是1,3,5,--2n-l；

⑵从第二行起，各行中的每一个数都于它肩上的两个数之和;

⑶数阵共有n行，则第5行的第7个数是.

例14.2(2017毫州月考)观察下列各式:a+b=l,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5

+b5=ll,…，则*+〃。=().

A.28B.76C.123D.199

变式1观察下列两组三角恒等式，请各归纳出一个一般三角恒等式，并思考一下如何证

明？

3

(l)sin215°+sin275°+sin2135°=-,

2

3

sin230°+sin290°+sin2150°=-,

2

3

sin245o+sin2105°+sin2165°=-,

2

3

sin260°+sin2l20°+sin2180°=-.

2

3

(2)sin210°+sin10°cos50°+sin250°=-,

4

3

sin215°4-sin15°cos450+sin245°=—,

4

,o3

sin2200+sin200cos400+sin240°=-,

4

-,3

sin225°+sin250cos350+sin235°=-.

4

例14.3设函数/(x)=—J(x>0),观察：

x+2

x

/(x)=/(%)=-

x+2

x

^W=/(ZU))=—>

T3x+4

x

/X+o

x

^U)=/(^(x))=——

15x+16

根据以上事实，由归纳推理可得：

当neN+且。22时，£(x)=/(£_6))=

变式1f0(x)=cosx,ft(x)=f'0W，人(x)=/；(x),…，*(x)=f'"(x)("eN),则式屋幻

=()-

A.-sinxB.cosxC.sinxD.cosx

变式2已知数列｛4｝的第1项q=1，且.=j^-(n=l，2,…)，猜想。2014=

例14.4传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数，他们

研究过如图14-3所示的三角形数：

13610

图14-3

将三角形数1,3,6,10,…记为数列｛4｝,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺

序组成一个新数列也｝,可以推测：

(l)b2Ol2是数列｛2｝中的第项；

(2)d,一=•(用k表示)

变式1如图14—4所示，在圆内画一条线段，将圆分成两个部分；画两条线段，彼此最多

分成4条线段，同时将圆分成4个部分；画3条线段，彼此最多分成9条线段，同时将圆分

成7个部分；画四条线段，彼此最多分成16条线段，同时将圆分成11个部分.那么：

⑴在圆内5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？同时将圆分割成多少部分？

⑵猜想：圆内两两相交的川〃22）条线段，彼此最多分割成多少条线段？同时将圆分割

成多少部分？

变式2【2016高考新课标2文数】有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，

丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后

说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相

同的数字不是1”，

内说：“我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是

题型186类比推理

思路提示

两类对象具有某些类似特征，则可根据一类对象特征推理出另一类对象的特征.这里的

类比有从方法（过程）进行类比，有从知识（结论）进行类比.我们可以从不同角度出发确定类

比对象，其基本原则是要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，其基本原则是要根据

当前问题的需要，选择适当的类比对象如二维与三维（平面与空间）之间，椭圆与双曲线之间,

等差数列与等比数列之间等.

例14.5当xeR,凶＜1时，有如下表达式：1+》+/+...+〃，，+…=_L,两边同时积

分得：[2ldx+f2xdr+[2x2d¥+-+f2xzUv+=[2---dx,从而得到如下等式：

JoJoJoJoJol.x

请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算:

丑+”如2以…系讨=——

变式1通过计算可得下列等式：

22-12=2X1+1；

32-22=2x2+1；

42-32=2X3+1；

(n+l)2-n2=2Xn+l.

将以上各式分别相加，得：(”+1)2-1'=2x(l+2+3…+n)+n.

即1+2+3+….

2

类比上述求法：

请你求出#+22+32+…+=2的值.

变式2已知点P（x。，%）是抛物线y2=2px（p>0）上的一点，过点P的切线方程的斜率可

通过如下方式求解：在y2=2px两边同时对x求导，得2y/=2p,则所以动点P的

y

切线的斜率/=2■.类似上述方法，求出双曲线d-f=1在点P（血,血）处的切线方程.

为2

例14.6已知正三角形内切圆半径是高的1,把这个结论类比到正四面体中，类似结论

3

应该是.

变式1平面直角坐标系中，直线的一般方程为Ax+8y+C=0(A2+82W0),圆心C(x。，

yo).半径r>0的圆的方程为(x—x0)2+(y—y0)2=»,类比到空间直角坐标系内平面的一般方

程为①,球心在C(x0,y0,zo)，半径为r>0的球的方程为②.

变式2将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面部分分别

为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任意两边中点的截面均称为斜面的

“中面”.请仿照直角三角形以下性质：

(1)斜边的中线长等于斜边长的一半；

⑵两直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；

⑶斜边与两直角边所成角的余弦平方和等于1.

写出直角三棱锥相应性质(至少一条)：。

最有效训练题56(限时35分钟)

1.在平面上，若两个正三角形的边长的比1:2,则它们的面积之比为1:4,类似地，空

间中，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1:2,则它们的体积比为()

41:281:3C.l:4D.l:8

2.设a,〃,c,x,y,z是正数，S.a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,办+办+cz=20,则

a+b+c

--------=()

x+y+z

A.-B.-C.-D.-

4324

3.观察下列事实：W+|y|=l的不同整数解(x,y)的个数为4,W+|y|=2的不同整数解

。,〉)的个数为8,国+仅|=3的不同整数解",丁)的个数为12,….则国+3=20的不同

整数解(x,y)的个数为().

A.76B.80C.86D.92

4.12017课标H,理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老

师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，

给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则()

A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成.绩D.乙、丁可以知道自己的成绩

n

5.若xwR,neN",定义：Mx-x(x+l)(x+2)•••(x+n-1).例如：

=(-5)x(-4)x(—3)x(—2)x(—1)=-120,则函数=的奇偶性为()

A.是偶函数而不是奇函数B.是奇函数而不是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数1).既不是奇函数又不是偶函数

6.12016高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙

三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：''我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了

丙的卡片后说:''我与丙的卡片上相同的数字不是1",丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,

则甲的卡片上的数字是.

7.已知数列｛。“｝为等差数列，若%=a,an=b,(n-m>l,m,n&N*),则am+n=.

n-m

类比