2024-2025学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数教学实录 文 新人教A版选修1-1

2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数教学实录文新人教A版选修1-1科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数教学实录文新人教A版选修1-1课程基本信息1.课程名称：函数的单调性与导数

2.教学年级和班级：高中一年级，1班

3.授课时间：2024年10月15日，上午第二节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.培养学生运用导数研究函数单调性的能力，提升数学抽象和逻辑推理素养。

2.通过分析函数单调性与导数的关系，强化数学建模和数据分析能力。

3.引导学生理解数学与实际问题的联系，增强应用意识和创新精神。学习者分析1.学生已经掌握了的相关知识：学生在本节课之前已经学习了函数的基本概念、导数的定义和计算方法，以及函数的极值和最值。这些知识为本节课的研究函数的单调性奠定了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中一年级学生对数学学科普遍持有较高的兴趣，他们具备一定的逻辑思维能力和分析问题的能力。在学习风格上，学生中既有偏好直观理解的，也有倾向于抽象分析的，还有注重实践操作的。

3.学生可能遇到的困难和挑战：部分学生在理解导数与函数单调性之间的关系时可能存在困难，因为他们可能难以从直观角度把握导数的几何意义。此外，学生在处理复杂函数的单调性问题时，可能会遇到计算量大、步骤繁琐的问题，这需要学生具备较强的计算能力和耐心。此外，学生在应用导数解决实际问题时，可能需要一定的背景知识和跨学科能力，这也是一个潜在的挑战。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过系统讲解导数的概念和函数单调性的关系，帮助学生建立知识框架。

2.讨论法：组织学生讨论典型例题，鼓励学生提出问题和不同见解，提高学生的参与度。

3.实验法：利用计算机软件模拟函数图像，让学生直观感受导数与函数单调性的联系。

教学手段：

1.多媒体展示：利用PPT展示函数图像和导数计算过程，增强直观性和动态感。

2.实践软件：使用数学软件进行函数单调性的分析，提高学生实际操作能力。

3.互动平台：利用在线教学平台，提供实时反馈和互动，增强课堂的互动性和趣味性。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：通过展示一些生活中常见的函数图像，如速度-时间图像，提问学生如何判断物体的运动是加速还是减速，以此激发学生对函数单调性的兴趣。

-回顾旧知：简要回顾导数的定义和计算方法，以及函数极值和最值的概念。

2.新课呈现（约20分钟）

-讲解新知：详细讲解函数的单调性与导数之间的关系，包括单调增减的判定条件和证明方法。

-举例说明：通过几个简单的例子，如一次函数、二次函数等，展示如何利用导数判断函数的单调性。

-互动探究：引导学生讨论如何将导数的概念应用于判断函数的单调性，可以提出一些问题，如“如何判断一个函数在某个区间内是单调增加还是单调减少？”等。

3.巩固练习（约15分钟）

-学生活动：布置一些练习题，让学生独立完成，题目难度逐渐增加，以巩固学生对知识的理解和应用。

-教师指导：在学生练习过程中，教师巡视课堂，观察学生的解题过程，及时解答学生的问题，并给予个别指导。

4.案例分析（约15分钟）

-选择一些实际生活中的案例，如经济学中的成本函数、物理学中的位移函数等，让学生分析这些函数的单调性，并讨论其背后的物理或经济意义。

-引导学生思考如何将所学知识应用于实际问题，培养学生的应用意识和解决问题的能力。

5.课堂小结（约5分钟）

-总结本节课的主要内容，强调函数单调性与导数之间的关系，以及如何利用导数判断函数的单调性。

-鼓励学生在课后继续探究，将所学知识与其他学科知识相结合，提高自己的综合素质。

6.课后作业（约10分钟）

-布置一些课后作业，包括理论题和应用题，帮助学生巩固所学知识，并提高解决实际问题的能力。

-作业要求学生在规定时间内完成，并提交给教师批改。

7.教学反思（约5分钟）

-教师对本节课的教学效果进行反思，分析学生的掌握情况，总结教学过程中的优点和不足，为今后的教学提供改进方向。知识点梳理1.导数的定义

-导数的概念：导数是函数在某一点处的瞬时变化率，反映了函数在该点附近的局部变化趋势。

-导数的表示方法：导数可以用导数符号（f'(x)）或极限形式（lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h）表示。

-导数的几何意义：导数表示曲线在某一点的切线斜率。

2.导数的计算方法

-导数的四则运算法则：导数的加法、减法、乘法、除法运算规则。

-常用函数的导数公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等常用函数的导数公式。

-复合函数的导数法则：链式法则、乘积法则、商法则等复合函数的导数计算方法。

3.函数的单调性

-单调增函数：函数在定义域内，随着自变量的增加，函数值也增加。

-单调减函数：函数在定义域内，随着自变量的增加，函数值减少。

-单调性与导数的关系：函数在某个区间内单调增加或单调减少的充分必要条件是导数在该区间内恒大于零或恒小于零。

4.函数的极值与最值

-极值：函数在定义域内某一点处取得局部最大值或最小值。

-最值：函数在定义域内取得全局最大值或最小值。

-极值与导数的关系：函数在某一点的导数为零时，该点可能是极值点。

5.函数的连续性与可导性

-连续性：函数在某个区间内，除了有限个孤立点外，处处连续。

-可导性：函数在某一点处可导，意味着在该点处的导数存在。

-连续性与可导性的关系：函数在某个区间内连续是函数在该区间内可导的必要条件。

6.函数图像的绘制

-函数图像的概念：函数图像是函数在坐标系中的一种图形表示。

-函数图像的绘制方法：根据函数的解析式，利用坐标轴绘制函数图像。

-函数图像的应用：通过观察函数图像，可以直观地了解函数的性质，如单调性、极值、最值等。

7.导数在实际问题中的应用

-物理学中的应用：利用导数描述物体的运动状态，如速度、加速度等。

-经济学中的应用：利用导数分析经济变量的变化趋势，如成本、收益等。

-生物学中的应用：利用导数研究生物种群的增长规律等。教学反思与改进教学反思与改进是我们每位教师不断提升教学质量的重要环节。在本节课的教学中，我尝试了一些新的教学方法，同时也发现了一些可以改进的地方。以下是我的一些反思和改进计划。

首先，我注意到在导入环节，虽然通过实际问题激发了学生的兴趣，但部分学生对导数的概念理解还不够深入。在今后的教学中，我计划在导入时加入更多与实际生活相关的实例，让学生在实际情境中体会导数的意义。比如，我可以引入物理学中的速度-时间图像，让学生通过观察图像来判断物体的运动状态，这样既能帮助学生理解导数的概念，又能让他们感受到数学在物理问题中的应用。

其次，新课呈现环节中，我发现有些学生对于复合函数的导数法则掌握得不够牢固。为了解决这个问题，我打算在今后的教学中增加一些练习题，特别是那些涉及复合函数导数的题目。同时，我会设计一些小测验，让学生在课后自主练习，并及时反馈他们的学习情况。

在教学过程中，我也意识到讨论环节的重要性。学生们在讨论中能够提出各种问题，这有助于他们更好地理解知识。为了提高讨论效果，我计划在未来的教学中更加注重引导学生提出问题，而不是直接给出答案。我会鼓励学生从不同的角度思考问题，培养他们的批判性思维。

巩固练习环节，我发现部分学生在解决复杂问题时显得有些吃力。为了提高他们的计算能力，我计划在课后布置一些难度适中的题目，让学生通过反复练习来提高计算速度和准确性。同时，我会针对不同层次的学生设计不同难度的练习，确保每个学生都能在练习中获得进步。

案例分析环节，我发现有些学生对实际问题的分析还不够深入。为了提高他们的应用能力，我计划在今后的教学中增加更多与实际生活相关的案例，让学生在分析案例的过程中，不仅学会应用数学知识，还能提高他们的解决问题的能力。

最后，我想谈谈教学反思的方法。我会定期回顾自己的教学视频，分析自己的教学语言、教学方法和学生的反应。同时，我也会与同事交流，听取他们的意见和建议。通过这些反思活动，我希望能够识别出教学中需要改进的地方，并制定相应的改进措施。

例如，我发现有些学生在课堂上不太敢发言，这可能是因为他们对自己的数学能力缺乏信心。为了解决这个问题，我计划在未来的教学中创造一个更加开放和包容的课堂氛围，鼓励学生提问和表达自己的观点。我还会定期进行个别辅导，帮助学生克服学习中的困难。典型例题讲解1.例题：

函数\(f(x)=x^3-3x+1\)在区间\([-1,2]\)上的单调性如何？

解答：

首先，我们求出函数的导数：

\[f'(x)=3x^2-3\]

将导数因式分解得：

\[f'(x)=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)\]

令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\)和\(x=-1\)。

我们需要判断\(f'(x)\)在区间\([-1,2]\)上的符号：

-当\(x<-1\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调增加。

-当\(-1<x<1\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调减少。

-当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调增加。

因此，函数\(f(x)\)在区间\([-1,1]\)上单调减少，在区间\([1,2]\)上单调增加。

2.例题：

判断函数\(g(x)=\sqrt{x}-\sqrt{4-x}\)的单调性。

解答：

首先，我们求出函数的导数：

\[g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{4-x}}\]

由于\(g'(x)\)在\(x\)的定义域内恒大于零，所以函数\(g(x)\)在其定义域内单调增加。

3.例题：

函数\(h(x)=e^x\sinx\)的单调区间是什么？

解答：

首先，我们求出函数的导数：

\[h'(x)=e^x\sinx+e^x\cosx=e^x(\sinx+\cosx)\]

利用三角恒等变换\(\sinx+\cosx=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\)，我们得到：

\[h'(x)=e^x\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\]

由于\(e^x\)和\(\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\)都是正数，所以\(h'(x)\)在整个定义域上恒大于零，因此函数\(h(x)\)在其定义域内单调增加。

4.例题：

判断函数\(k(x)=\ln(x+2)\)的单调性。

解答：

首先，我们求出函数的导数：

\[k'(x)=\frac{1}{x+2}\]

由于\(k'(x)\)在\(x>-2\)的定义域内恒大于零，所以函数\(k(x)\)在其定义域内单调增加。

5.例题：

函数\(l(x)=\frac{x^2-4x+3}{x+1}\)的单调区间是什么？

解答：

首先，我们求出函数的导数：

\[l'(x)=\frac{(2x-4)(x+1)-(x^2-4x+3)}{(x+1)^2}=\frac{x^2-4}{(x+1)^2}\]

由于\(l'(x)\)在\(x\neq-1\)的定义域内恒大于零，所以函数\(l(x)\)在其定义域内单调增加。板书设计①函数的单调性

-单调增函数：导数大于零的区间

-单调减函数：导数小于零的区间

-单调性与导数的关系：导数符号与函数单调性一致

②导数的计算方法

-导数的定义：函数在某一点的瞬时变化率

-导数的表示：导数符号或极限形式

-导数的四则运算法则