高中数学 第一章 基本不等式和证明不等式的基本方法 1.2 比较法证不等式教学实录2 湘教版选修4-5

高中数学第一章基本不等式和证明不等式的基本方法1.2比较法证不等式教学实录2湘教版选修4-5主备人备课成员教学内容分析1.本节课的主要教学内容为比较法证不等式，这是湘教版选修4-5第一章“基本不等式和证明不等式的基本方法”中的内容。

2.教学内容与学生已有知识的联系紧密，学生在初中阶段已经学习了不等式的基本概念和性质，本节课将在此基础上，引导学生运用比较法证明不等式，培养学生的逻辑思维能力和数学证明能力。核心素养目标1.发展逻辑推理能力，通过比较法理解和应用不等式的性质。

2.培养数学抽象素养，将实际问题抽象为数学模型，并运用数学语言进行表达。

3.提升数学建模能力，通过解决不等式问题，学会构建和解释数学模型。

4.增强数学运算能力，熟练运用基本不等式和证明方法进行计算和推导。学习者分析1.学生已经掌握的知识：学生在进入高中阶段之前，已经学习了不等式的基本概念和性质，对不等式的表示方法、解法和应用有一定的了解。他们能够识别和解决简单的不等式问题，但可能缺乏对复杂不等式的深入理解和证明能力。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中学生对数学的学习兴趣因人而异，部分学生可能对数学证明和逻辑推理有较高的兴趣，而另一些学生可能更倾向于实际应用和计算。学生的学习能力方面，部分学生具备较强的逻辑思维和抽象能力，能够迅速掌握新的数学概念和方法；而部分学生可能在理解和应用数学符号、公式时遇到困难。学习风格上，有的学生偏好通过图形直观理解数学概念，有的则更倾向于通过文字和符号进行逻辑推导。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习和证明不等式时，学生可能面临以下困难：一是对不等式性质的理解不够深入，难以灵活运用；二是证明过程中逻辑推理能力不足，难以找到合适的证明方法；三是面对复杂的不等式问题时，缺乏有效的解题策略。此外，学生在证明过程中可能对数学符号和公式的记忆不够牢固，导致解题过程出现错误。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：结合实例，讲解比较法的基本原理和应用步骤，帮助学生理解不等式证明的过程。

2.讨论法：组织学生分组讨论，针对特定不等式问题提出解决方案，培养学生的合作和交流能力。

3.实践法：布置课后练习，让学生独立完成不等式的证明，巩固所学知识。

教学手段：

1.多媒体课件：使用PPT展示不等式证明的步骤和关键点，提高信息传递效率。

2.教学软件：利用数学软件辅助学生进行不等式的图形展示和计算，增强直观感受。

3.互动平台：通过在线平台进行课堂互动，实时解答学生的疑问，提高课堂参与度。教学过程设计（一）导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示一组生活中常见的不等式现象，如商品打折、排队等候等，引导学生思考如何用数学语言描述这些现象。

2.提出问题：引导学生回顾初中阶段学过的不等式知识，提出问题：“如何证明一个不等式是正确的？”

3.引导思考：提问学生：“比较法在证明不等式时有什么作用？”

4.引导新课：总结导入环节，引出本节课的主题——“比较法证不等式”。

（二）讲授新课（20分钟）

1.讲解比较法的基本原理：介绍比较法的定义、原理和适用范围，强调比较法在证明不等式中的重要性。

2.举例说明：通过具体实例，展示比较法在证明不等式中的应用，如证明$a+b\geq2\sqrt{ab}$。

3.讲解证明步骤：详细讲解比较法证明不等式的步骤，包括不等式变形、比较和归纳总结。

4.强调关键点：强调在证明过程中需要注意的关键点，如符号的运用、不等式的变形等。

5.互动提问：针对讲解内容，提出问题，引导学生思考和回答，检查学生对新知识的掌握情况。

（三）巩固练习（10分钟）

1.布置练习题：给出几道不等式证明题，要求学生运用比较法进行证明。

2.学生独立完成：学生独立完成练习题，教师巡视指导。

3.交流讨论：学生之间互相交流解题思路，共同探讨解题方法。

4.教师点评：针对学生的练习情况，进行点评和总结，指出解题过程中的优点和不足。

（四）课堂提问（5分钟）

1.提出问题：针对本节课的重点内容，提出问题，如“比较法在证明不等式时有哪些优势？”

2.学生回答：引导学生回答问题，检查学生对新知识的理解和掌握情况。

3.教师总结：针对学生的回答，进行总结和补充，强调比较法在证明不等式中的重要性。

（五）师生互动环节（5分钟）

1.教师提问：针对学生的练习情况，提出问题，如“在证明不等式时，如何判断比较法的适用性？”

2.学生回答：引导学生回答问题，鼓励学生积极参与课堂互动。

3.教师点评：针对学生的回答，进行点评和总结，指出解题过程中的优点和不足。

4.学生提问：鼓励学生提出自己在学习过程中的疑问，教师解答学生的问题。

（六）核心素养能力的拓展要求（5分钟）

1.教师引导学生思考：如何将比较法应用于解决实际问题？

2.学生分享：学生分享自己在生活中遇到的问题，并尝试运用比较法进行解决。

3.教师总结：针对学生的分享，进行总结和补充，强调数学知识在生活中的应用。

总用时：45分钟学生学习效果学生学习效果

1.理解和掌握比较法的基本原理和应用：

-学生能够理解比较法在证明不等式中的核心作用。

-学生能够熟练运用比较法进行不等式的证明，包括不等式的变形、比较和归纳总结。

2.提高逻辑推理和数学抽象能力：

-学生通过证明不等式的过程，培养了严密的逻辑推理能力。

-学生学会了将实际问题抽象为数学模型，并用数学语言进行表达。

3.增强数学运算和解决问题的能力：

-学生在练习中提高了数学运算的准确性和速度。

-学生能够运用所学知识解决更复杂的不等式问题，提高了问题解决能力。

4.培养团队合作和交流能力：

-在小组讨论和交流中，学生学会了如何表达自己的观点，倾听他人的意见。

-学生通过合作解决问题，提高了团队协作和沟通技巧。

5.提升自主学习能力：

-学生在课后练习中独立解决问题，提高了自主学习的能力。

-学生学会了如何查找资料、总结规律，为未来的学习打下坚实的基础。

6.理解数学知识在现实生活中的应用：

-学生通过实例理解数学知识在生活中的实际应用，如商品打折、排队等候等。

-学生能够运用所学知识分析和解决生活中的实际问题。

7.增强对数学的兴趣和自信心：

-学生在掌握新知识后，对数学产生了更浓厚的兴趣。

-学生在解决问题的过程中获得了成就感，增强了自信心。

8.提高对数学证明的理解和欣赏：

-学生通过证明不等式的过程，理解了数学证明的重要性。

-学生开始欣赏数学证明的严谨性和美感。

9.培养创新思维和批判性思维：

-学生在探索不同的证明方法时，培养了创新思维。

-学生学会了质疑和批判，提高了思维的深度和广度。

10.增强跨学科知识整合能力：

-学生在证明不等式时，可能需要运用到其他学科的知识，如几何、代数等。

-学生通过跨学科的学习，提高了知识整合和综合运用能力。板书设计①比较法证不等式的基本原理

-比较法定义

-比较法步骤：不等式变形、比较、归纳总结

②不等式证明的关键步骤

-不等式变形：保持不等号方向、引入辅助变量

-比较方法：作差、作商、构造函数

-归纳总结：验证不等式成立

③比较法证不等式的应用实例

-$a+b\geq2\sqrt{ab}$（算术平均数与几何平均数不等式）

-$x^2+y^2\geq2xy$（三角形不等式）

-$a^n+b^n\geq2ab$（n次幂不等式）

④比较法证不等式的注意事项

-符号运用：注意不等号的方向

-变形方法：选择合适的变形方法，保持不等式成立

-逻辑推理：严谨的推理过程，避免逻辑错误

⑤比较法证不等式的拓展与延伸

-推广到不等式组

-应用到实际问题中

-与其他证明方法结合使用重点题型整理1.**类型一：证明不等式恒成立**

-题型描述：证明给定不等式在特定条件下恒成立。

-例题：证明不等式$x^2+y^2\geq2xy$对于所有实数$x$和$y$恒成立。

-解答思路：通过作差法，将不等式转化为$x^2+y^2-2xy\geq0$，然后利用平方的非负性质进行证明。

2.**类型二：证明不等式在某些条件下成立**

-题型描述：证明不等式在给定条件下成立，可能需要引入辅助变量或构造函数。

-例题：证明当$x>0$时，不等式$\lnx+\frac{1}{x}\geq2$成立。

-解答思路：通过构造函数$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$，求导数分析函数的单调性，从而证明不等式。

3.**类型三：比较两个不等式的大小**

-题型描述：比较两个不等式的大小，可能需要利用比较法或其他方法。

-例题：比较两个不等式$\sqrt{x}+\sqrt{y}$和$x+y$的大小，其中$x,y\geq0$。

-解答思路：通过作差法，比较$\sqrt{x}+\sqrt{y}-(x+y)$的符号，分析不等式的大小关系。

4.**类型四：应用不等式解决实际问题**

-题型描述：利用不等式解决实际问题，如优化问题、最值问题等。

-例题：某商店有$x$吨苹果和$y$吨橙子，苹果每吨$a$元，橙子每吨$b$元，要卖出全部水果，至少要卖出多少元？

-解答思路：通过构造函数，利用不等式求出水果总售价的最小值