合理推理（第二课时）与演绎推理-高二数学理科选修教学课件(人教A版)

第二章推理与证明

合情推理(第二课时)类比推理

演绎推理1.

什么是类比推理?2.在解决问题中如何运用类比推理?学习要点

问题3.

你听说过鲁班发明锯子的传说吗?他是由什么想到的?在平面直角坐标系中,你能写出线段的中点坐标公式吗?在空间直角坐标系中,你能写出类似的公式吗?

带齿的草叶划破了鲁班的手,由此,鲁班发明了锯子.

在平面直角坐标系中,已知P1(x1,y1),P2(x2,y2).线段P1P2中点的坐标为

由此猜测空间直角坐标系中,P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点坐标为

问题3.

你听说过鲁班发明锯子的传说吗?他是由什么想到的?在平面直角坐标系中,你能写出线段的中点坐标公式吗?在空间直角坐标系中,你能写出类似的公式吗?

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理

(简称类比),即由特殊到特殊的推理.练习:(课本25页“探究”)类比圆和球,填写下表中球的相关特征.圆的概念和性质球的类似概念和性质圆有周长和面积圆的一条直径把圆分成两个半圆圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两条弦相等,与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦长.以点(x0,y0)为圆心,r

为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2.球有表面积和体积球的一个大圆把球分成两个半球.球心与小圆圆心的连线垂直于小圆面.与球心距离相等的两个小圆相等,与球心距离不等的小圆不等,距球心较近的小圆较大.以点(x0,y0,z0)为球心,R为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2.

例2.

类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.分析:(1)加法有加数,有结果;乘法有乘数,有结果.(2)加法有运算律,乘法有运算律.(4)加法中的特殊数,乘法中的特殊数.(3)加法有逆运算,乘法有逆运算.

例2.

类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.解:(1)两个实数相加,和为实数;两个实数相乘,积为实数.(2)加法有交换律:a+b=b+a;乘法有交换律:ab=ba.

加法有结合律:(a+b)+c=a+(b+c);乘法有结合律:(ab)c=a(bc).(3)加法有逆运算:a+b=c,

a=c-b;乘法有逆运算:ab=c,(4)任意数加上0等于任意数;任意数乘以1等于任意数.

例3.

类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.解:直角三角形有两条边互相垂直,有一条边不垂直,如图,∠C=90,a2+b2=c2.ABCabc

类似地考虑四面体中,有一个面不垂直,其它三个面两两垂直,如图,PEDS1S2S3FS∠PDE=∠PDF=∠EDF=90.

猜想:直角面的面积平方和等于斜面面积的平方,即

(此结论是正确的,请同学们自己证明)

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.

数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.练习:(课本77页)第3

题.3.

如图,若射线OM,ON

上分别存在点M1,M2

与点N1,N2,则三角形面积之比若不在同一平面内的射线OP,OQ和OR

上分别存在点P1,P2,点Q1,Q2

和点R1,R2,则类似的结论是什么?OM1MN1NM2N2P1PR1RQ1QOP2R2Q2解:如图,连结P1Q1,Q1R1,R1P1,P2Q2,Q2R2,R2P2.在平面内,等式是在立体图形中,类似于体积比与射线上的线段比.猜想:面积比与射线上的线段比.练习:(课本77页)【课时小结】1.

类比推理

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理

(简称类比),即由特殊到特殊的推理.【课时小结】2.

类比推理的基本思想(1)由已知对象的特性,联想到类似对象也可能有相同的特性.(2)待解决问题时,寻求类似对象,由类似对象的特性推测所求对象的特性.【课时小结】3.

合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.

数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.习题2.1A组第4、5题.

4.

在△ABC中,不等式成立;在四边形ABCD中,不等式成立;在五边形ABCDE中,不等式成立.猜想在n边形A1A2…An

中,有怎样的不等式成立.解:由题设中已知多边形猜想,在n

边形中有习题2.1A组

5.

在等差数列{an}中,若a10=0,则有

a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,且n

N*)成立.类比上述性质,在等比数列{bn}中若b9=1,则存在怎样的等式?解:在等差数列中,a10

是a1

与a19

的等差中项,任何数加上a10

等于任何数.类比上述等差数列,则在等比数列{bn}中,b9

是b1

与b17

的等比中项,任何数乘以b9

等于任何数,于是猜测b1·b2·…·bn=b1·b2·…·b17-n

(n<17,且n

N*).演绎推理1.

什么是演绎推理?它的构成形式是怎样的?2.在演绎推理中,怎样保证结论的正确性?学习要点

问题4.

比较下面的推断,它们有什么区别?

(1)

铁能导电,铜能导电,因为铁、铜都是金属,所以金属能导电.

(2)

所有金属都能导电,铀是金属,所以铀能导电.

(3)

由52-1是24的倍数,72-1是24的倍数,112-1是24的倍数,而5,7,11都是质数,所以质数的平方减去1是24的倍数.

(4)

一切不小于5的质数的平方减去1都是24的倍数,而97是大于5的质数,所以972-1是24的倍数.(1)(3)是由特殊到一般的推理,前面我们学过,这种推理称为归纳推理.(2)(4)是由一般到特殊的推理,这种推理称为演绎推理.又如:

(1)

太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,天王星是太阳系的行星,因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行;

(2)

一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇数,所以(2100+1)不能被2整除;

(3)

三角形都是周期函数,tana

是三角函数,因此tana

是周期函数;

(4)

两条直线平行,同旁内角互补.如果∠A

与∠B

是两条平行线的同旁内角,那么∠A+∠B=180.

以上例子都是从一般性原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这些推理都是演绎推理.又如:

(1)

太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,天王星是太阳系的行星,因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行;

(2)

一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇数,所以(2100+1)不能被2整除;

(3)

三角形都是周期函数,tana

是三角函数,因此tana

是周期函数;

(4)

两条直线平行,同旁内角互补.如果∠A

与∠B

是两条平行线的同旁内角,那么∠A+∠B=180.仔细分析,每一个推理都分三段.第一段是一般原理,如各句中画实线部分.这一段称为“大前提”.又如:

(1)

太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,天王星是太阳系的行星,因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行;

(2)

一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇数,所以(2100+1)不能被2整除;

(3)

三角形都是周期函数,tana

是三角函数,因此tana

是周期函数;

(4)

两条直线平行,同旁内角互补.如果∠A

与∠B

是两条平行线的同旁内角,那么∠A+∠B=180.仔细分析,每一个推理都分三段.第二段是某个特殊情况,如各句中画虚线部分.第二段称为“小前提”.又如:

(1)

太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,天王星是太阳系的行星,因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行;

(2)

一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇数,所以(2100+1)不能被2整除;

(3)

三角形都是周期函数,tana

是三角函数,因此tana

是周期函数;

(4)

两条直线平行,同旁内角互补.如果∠A

与∠B

是两条平行线的同旁内角,那么∠A+∠B=180.仔细分析,每一个推理都分三段.第三段是推出结论,如各句中画双线部分.第三段称为“结论”.三段论是演绎推理的一般模式,包括:(1)大前提

—已知的一般原理;(2)小前提

—所研究的特殊情况;(3)结论

—根据一般原理,对特殊情况做出判断.数学的证明主要是通过演绎推理来进行的.

例5.

如图,在锐角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E

是垂足.求证:AB的中点M到点D,E

的距离相等.ABMEDC思路:(1)证△ADB,△AEB是直角三角形;(2)证(3)证AB的中点M到点D,E

的距离相等.每一步用三段论的形式证明如下:

例5.

如图,在锐角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E

是垂足.求证:AB的中点M到点D,E

的距离相等.ABMEDC证明:(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形,(大前提)AD⊥BC

得∠ADB

是直角,(小前提)所以△ADB

是直角三角形.(结论)同理证△AEB

是直角三角形.

例5.

如图,在锐角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E

是垂足.求证:AB的中点M到点D,E

的距离相等.ABMEDC证明:(大前提)(小前提)所以(论结)(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.而M

是AB

的中点得DM是直角三角形ADB斜边AB

上的中线,于是得DM=

EM,即

AB的中点M到点D,E

的距离相等.同理得三段论可以表示为大前提:M

是P.小前提:S

是M.结论:S

是P.

我们还可以利用集合知识说明三段论:若集合M的所有元素都具有性质P,S

是M

的一个子集,那么S

中所有元素也都具有性质P.

在证明过程中,有时为了叙述的简洁,如果大前提是显然的,可以省略.例6.

证明函数f(x)=-x2+2x

在(-∞,1)内是增函数.证明:当x

(-∞,1)时f

(x)>0,则f(x)在(-∞,1)上是增函数.(大前提)因为f

(x)=-2x+2,而x<1,得-2x+2>0,即x

(-∞,1)时,f

(x)>0,(小前提)所以

f(x)=-x2+2x

在(-∞,1)内是增函数.(结论)(此证明可以省略大前提)问题5.

如下推理的结论是否正确?为什么?因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形,而菱形是所有边长都相等的凸多边形,所以菱形是正多边形.(大前提)(小前提)(结论)推理是标准的三段式,但结论不正确.问题出在大前提是错误的.在大小前提有错误时,结论就会有错.

演绎推理在大小前提正确的前提下,得到的结论一定正确.合情推理得到的结论不一定正确.练习:(课本81页)第1、2、3题.练习:(课本81页)

1.

将本小节开始的演绎推理(2)~(5)写成三段论的形式.

(2)

太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,天王星是太阳系的行星,因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行;

大前提:

因为太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行的.小前提:

天王星是太阳系的行星.结论:

天王星以椭圆形轨道绕太阳运行.练习:(课本81页)

1.

将本小节开始的演绎推理(2)~(5)写成三段论的形式.

(3)

一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇数,所以(2100+1)不能被2整除;大前提:

因为一切奇数都不能被2整除.小前提:

而(2100+1)是奇数.结论:

所以(2100+1)不能被2整除.练习:(课本81页)

1.

将本小节开始的演绎推理(2)~(5)写成三段论的形式.

(4)

三角形都是周期函数,tana

是三角函数,因此tana

是周期函数;大前提:

因为三角形都是周期函数.小前提:tana

是三角函数.结论:

所以tana

是周期函数.练习:(课本81页)

1.

将本小节开始的演绎推理(2)~(5)写成三段论的形式.

(5)

两条直线平行,同旁内角互补.如果∠A

与∠B

是两条平行线的同旁内角,那么∠A+∠B=180.大前提:

两条直线平行,同旁内角互补.小前提:∠A

与∠B

是两条平行线的同旁内角,结论:

所以∠A+∠B=180.

2.

证明:通项公式为an=cqn(cq0)的数列{an}是等比数列.并分析证明过程中的三断论.证明:=q(q是常数,q0),∴数列{an}是等比数列.“在数列{an}中,如果(q是常数,q0),则{an}是等比数列.”已省略.=q(q是常数,q0),小前提:∴数列{an}是等比数列.结论:大前提:

3.

如图,在△ABC中,AC>BC,CD

是AB

边上的高,求证∠ACD>∠BCD.

证明:在△ABC中,因为CD⊥AB,AC>BC,

所以AD>BD,

于是∠ACD>∠BCD.

指出上面证明过程中的错误.ABCD解:此证明是省略了大前提:“在同一个三角形中,如果两边不等,这两边所对的角也不等,大边所对的角较大.”证明中的错误在于小前提“在△ABC中,因为CD⊥AB,AC>BC,所以AD>BD,”不是在大前提的范围内,即AD,BD

不是同一个三角的两边,所以证明错误.【课时小结】1.

演绎推理

从一般性原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这样的推理叫演绎推理.三段论是演绎推理的一般模式,包括:(1)大前提

—已知的一般原理;(2)小前提

—所研究的特殊情况;(3)结论

—根据一般原理,对特殊情况做出判断.【课时小结】2.

三段论的表示大前提:M

是P.小前提:S

是M.结论:S