《备考指南 理科数学》课件-第8章 第2讲

第八章第2讲[A级基础达标]1．(2017年北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A．60 B．30C．20 D．10【答案】D【解析】该几何体是如右图所示的三棱锥P－ABC．由图中数据可得该几何体的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×5×3×4＝10.故选D．2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为()A．eq\f(16,3)π B．eq\f(32,3)πC．16π D．24π【答案】B【解析】设球的半径为R，则表面积等于16π，即4πR2＝16π，解得R＝2.所以体积为eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3).3．(2018年南昌一模)如图，四边形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将该四边形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为()A．(eq\r(2)＋2)π B．(eq\r(2)＋3)πC．(eq\r(3)＋2)π D．(eq\r(3)＋3)π【答案】B【解析】根据题意知此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1，高为1)，下半部分为圆柱(底面半径为1，高为1)，如图所示，则所得几何体的表面积为圆锥侧面积、圆柱侧面积以及圆柱的下底面积之和，即表面积为π×1×eq\r(12＋12)＋2π×1×1＋π×12＝(eq\r(2)＋3)π.4．(2018年宁德二模)某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2，则图中x的值为()A．1 B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(6),6)【答案】A【解析】三视图对应的几何体的直观图如图所示，几何体的体积为eq\f(1,3)×eq\f(x＋2x,2)×2x×2＝2，解得x＝1.故选A．5．(2018年重庆模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．3 B．eq\f(11,3)C．7 D．eq\f(23,3)【答案】B【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的组合体．长方体的长，宽，高分别为2,1,2，体积为4；切去的三棱锥有三条相交于同一点的棱两两垂直，长分别为2,1,1，体积为eq\f(1,3).故组合体的体积V＝4－eq\f(1,3)＝eq\f(11,3).6．若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比为()A．eq\r(2)∶2 B．eq\r(3)∶2C．eq\r(5)∶2 D．3∶2【答案】C【解析】设圆锥底面半径为r，高为h，则球的半径R＝eq\f(r,2).由条件知eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))3，得h＝eq\f(r,2).所以圆锥的侧面积S1＝πr·eq\r(h2＋r2)＝eq\f(\r(5),2)πr2，球面面积S2＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))2＝πr2.所以S1∶S2＝eq\r(5)∶2.7．(2018年石家庄模拟)某几何体的三视图如图所示(网格线中每个小正方形的边长为1)，则该几何体的体积为______________________．【答案】2【解析】由三视图知该几何体为四棱锥，其底面(正视图)面积S＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3，高为2，所以该几何体的体积V＝eq\f(1,3)×3×2＝2.8．一个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)．(1)求该几何体的体积；(2)求该几何体的表面积．【解析】(1)由三视图知，几何体是正四棱锥与正方体的组合体，其中正方体的棱长为4，正四棱锥的高为2，所以几何体的体积V＝43＋eq\f(1,3)×42×2＝eq\f(224,3)(cm3)．(2)正四棱锥侧面上的斜高为2eq\r(2)，所以几何体的表面积S＝5×42＋4×eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)＝80＋16eq\r(2)(cm2)．[B级能力提升]9．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该正四棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为()A．eq\f(81π,4) B．eq\f(243π,16)C．9π D．16π【答案】B【解析】如图所示，R2＝(4－R)2＋2，所以R2＝16－8R＋R2＋2，所以R＝eq\f(9,4)，所以V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(243π,16).10．(2018年莆田二模)三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为eq\r(3)的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为()A．2π B．4πC．8π D．20π【答案】C【解析】根据已知中底面△ABC是边长为eq\r(3)的正三角形，PA⊥底面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球．因为△ABC是边长为eq\r(3)的正三角形，所以△ABC的外接圆半径r＝eq\f(2,3)eq\r(3－\f(3,4))＝1.球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，故球的半径R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(2)，故三棱锥P－ABC外接球的表面积S＝4πR2＝8π.11．(2018年郑州第一次质量预测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．80 B．160C．240 D．480【答案】B【解析】如图，题中的几何体是从直三棱柱ABC－A′B′C′中截去一个三棱锥A－A′B′C′后所剩余的部分，其中底面△ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC＝6，AB＝8，BB′＝10.所以几何体的体积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6×8))×10－eq\f(1,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6×8))×10))＝160.12．(2018年抚顺模拟)在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，则该三棱锥外接球的表面积为()A．6π B．7πC．8π D．9π【答案】A【解析】三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径．因为侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，所以eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(1,2)AD·AC＝eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2)AB·AD＝eq\f(\r(6),2).所以AB＝eq\r(2)，AC＝1，AD＝eq\r(3).所以球的直径为eq\r(2＋1＋3)＝eq\r(6)，半径为eq\f(\r(6),2).所以三棱锥外接球的表面积为4π×eq\f(6,4)＝6π.13．(2016年浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______cm2，体积是______cm3.【答案】7232【解析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm的小正方体所构成的，则其表面积为22×(24－6)＝72(cm2)，其体积为4×23＝32(cm3)．故答案为72,32.14．(2018年昆明十一校联考)已知四棱锥P－ABCD的所有顶点都在体积为eq\f(500π,81)的球面上，底面ABCD是边长为eq\r(2)的正方形，则四棱锥P－ABCD体积的最大值为________．【答案】2【解析】设球的半径为R，则有eq\f(4π,3)R3＝eq\f(500π,81)，故R＝eq\f(5,3).因为正方形ABCD的外接圆半径r＝1，所以球心到平面ABCD的距离h＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))2－12)＝eq\f(4,3).所以点P到平面ABCD的距离的最大值为h＋R＝eq\f(4,3)＋eq\f(5,3)＝3.所以四棱锥P－ABCD体积的最大值为eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×3＝2.15．已知几何体A－BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A－BCED的体积为16.(1)求实数a的值；(2)将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．【解析】(1)由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC＝BC＝AC＝4，BD＝a，体积V＝eq\f(1,3)×4×eq\f(a＋4×4,2)＝16，解得a＝2.(2)在Rt△ABD中，AB＝4eq\r(2)，BD＝2，AD＝6，过B作AD的垂线BH，垂足为H，得BH