《备考指南 理科数学》课件-第2章 第3讲

函数概念与基本初等函数第二章第3讲函数的奇偶性与周期性【考纲导学】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______________，那么函数f(x)就叫做偶函数关于_______对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______________，那么函数f(x)就叫做奇函数关于_______对称f(－x)＝f(x)

y轴f(－x)＝－f(x)

原点2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有______________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____________，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)

最小的正数最小正数【答案】D【答案】D【答案】A【答案】15．(教材习题改编)已知函数f(x)是定义在R内的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝__________.【答案】x(1－x)1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(

)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(

)(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(

)(4)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)也是偶函数．(

)(5)若T为函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是函数f(x)的周期．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√课堂考点突破2函数奇偶性的判断

判断下列函数的奇偶性：【规律方法】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．【答案】(1)D

(2)C【解析】(1)f(x)＋f(－x)＝0，则f(－x)＝－f(x)．故f(x)是奇函数，A，C中f(x)的定义域都不关于原点对称，不合题意；易知B为偶函数，D为奇函数．故选D．(2)依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错．故选C．函数的周期性

(1)定义在R内的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝________.【答案】(1)339

(2)2.5【答案】A

函数性质的应用【考向分析】函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们结合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．常见的考向：(1)奇偶性的应用；(2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．奇偶性的应用

(1)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(

)A．4 B．3C．2 D．1【答案】(1)B

(2)－1单调性与奇偶性结合

(1)(2018年长沙模拟)如果奇函数f(x)在区间[2,8]上是减函数且最小值为6，则f(x)在区间[－8，－2]上是(

)A．增函数且最小值为－6 B．增函数且最大值为－6C．减函数且最小值为－6 D．减函数且最大值为－6【答案】(1)D

(2)D周期性与奇偶性结合【答案】A

单调性、奇偶性与周期性结合

已知定义在R内的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(

)A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11)【答案】D

【解析】因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)．所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R内的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R内是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数．所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．故选D．【规律方法】函数性质应用问题的常见类型及解题策略：(1)单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．函数性质的综合运用【答案】(1)D

(2)C【规律方法】函数性质综合应用的注意点：函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转化，再利用单调性解决相关问题．【答案】(1)C

(2)2课后感悟提升31条规律——奇、偶函数定义域的特点奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.2个性质——奇、偶函数的两个性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3条结论——与周期性和对称性有关的三条结论(1)若对于R内的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R内的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a<b)，则y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(3)若对于定义域内的任意x都有f(x＋a)＝－f(x＋b)(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.【答案】A

2．(2018年新课标Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(

)A．－50 B．0C．2 D．50【答案】C

【解析】因为f(x)是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1－x)＝f(1＋x)＝－f(x－1)，f(0)＝0，则f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数．因为f(1)＝2，所以f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(0)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝