《备考指南 理科数学》课件-第8章 第8讲

立体几何第八章第8讲立体几何中的向量方法(二)【考纲导学】1．能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题．2．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断1(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(

)A．45°

B．135°C．45°或135°

D．90°【答案】C1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．×××√课堂考点突破2利用空间向量求异面直线所成的角【规律方法】(1)向量法求异面直线所成的角的两种方法：①基向量法：利用线性运算．②坐标法：利用坐标运算．(2)向量的夹角与异面直线所成角的区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．【跟踪训练】1．(2018年铜仁模拟)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠CAB＝90°，AC＝AB＝AA1，D是BC的中点．(1)求证：CA1∥平面ADB1；(2)求异面直线DB1与CA1所成角的大小．【解析】(1)证明：连接A1B，与AB1交于点O，则O是A1B的中点，连接DO.因为D是BC的中点，所以OD∥A1C．因为CA1⊄平面ADB1，OD⊂平面ADB1，所以CA1∥平面ADB1.利用空间向量求直线与平面所成的角

(2016年新课标Ⅲ)如图所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【规律方法】利用平面的法向量求线面角的注意点：(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．【跟踪训练】2．(2018年安康模拟)如图，四棱锥P－ABCD中，△PAB为正三角形，ABCD为正方形，平面PAB⊥平面ABCD，E，F分别为AC，BP的中点．(1)求证：EF∥平面PCD；(2)求直线BP与平面PAC所成角的正弦值．【解析】(1)证明：连接BD．因为ABCD是正方形，E是AC的中点，所以E是BD的中点．因为F是BP的中点，所以EF∥PD．因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD．利用空间向量求二面角【规律方法】利用向量求二面角的方法：(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．【跟踪训练】3．(2017年新课标Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；(2)过AC