两条直线平行和垂直的判定（分层作业）-2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选修第一册）（解析版）

2.1.2两条直线平行和垂直的判定（分层作业）

（夯实基础+能力提升）

口

【夯实基础】

一、单选题

1.（2022・全国•高二课时练习）下列说法中正确的是（）

A.若两条直线斜率相等，则它仅互相平行

B.若则用=与

C.若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交

D.若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行

【答案】C

【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案.

【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误；

若则勺=4或h6的斜率都不存在，B错误;

若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确；

若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误.

故选：C.

2.（2021•吉林油田高级中学高二期中）下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是（）

A.ai+2y-l=0与2x+ay+2=0B.6x-4y-3=0与10x+15y+c=0

C.2x+3y-7=O与4x-6y+5=0D.3x-4y+Z?=O与3x+4y=0

【答案】B

【分析】两直线一条斜率为零，一条斜率不存在，此时它们垂直；或者两直线斜率均存在且不为零，斜率

之积为一1，则它们垂直.据此即可求解.

【详解】A：〃=0时，两直线分别为：y=^,x=-l,此时它们垂直：当。却时，它们斜率之积为一?（一2]=1,

则它们不垂直；故两条直线不一定垂直；

B：两直线斜率之积为：-2]=-1,故两直线垂直；

4I15；

244

C：两直线斜率之积为：-丁工二-北-1,故两宜.线不垂直；

369

3/3,9

D：两直线斜率之积为：-x--故两条直线不垂直；

4I4；16

故选：B.

3.（2022・湖南湘潭•高二期末）已知宜线4：x+y+l=（）4：x-）-l=。，则4与乙（）

A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直

【答案】A

【分析】由直线的斜率间的关系可得结论.

【详解】因为44的斜率分别为K=T，&=1，所以占？&-1，所以….

故选：A.

4.（2022・贵州•高二学业考试）已知直线《：x+y+2=0,4：⑪+2）=1=。.若4〃4，则实数〃的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】直接由两直线平行公式求解即可.

【详解】由题意得，lx2-lxa=0,解得a=2.经验证符合题意.

故选：D.

5.（2022・全国•高二专题练习）若直线4：工-），+1=0与直线3x+〃少=。互相平行，则加的值为（）

A.-1B.IC.-2D.2

【答案】A

【分析】由直线的平行关系可得卜gw?,解之可得.

1—11

【详解】解：若直线八4-）-1=0与直线4：%+根y=0互相平行

.17W0

「口前，

解得〃?=-1

故选：A.

6.（2022・全国•高二专题练习）已知直线or+2），+6=（）与直线工+（〃-1）3，+/_]=0互相平行，则实数。的

值为（）

A.-2B.2或-1C.2D.-1

【答案】D

【分析】两直线斜率存在时，两直线平行则它们斜率相等，据此求出”的值，再排除使两直线重合的。的值

即可.

【详解】直线磔+2)，+6=0斜率必存在，

故两直线平行，则一?=一一二，即/-〃_2=0,解得。=2或一1,

2。一1

当4=2时，两直线重合，.•・。二一1.

故选：D.

7.(2022•云南岁平县第一中学高二开学考试)已知直线4：〃x-2y+3=U与直线，2：x+(a-3))，+l=O,若

乙_L，2，则。=()

A.6B,-6C.2D.-2

【答案】A

【分析】根据两宜线垂直的充要条件得到方程，求解方程得答案.

【详自军]解；因为直线4：6-2)，+3=0与直线4：X+(4—3))，+]_0,

所以axl+(-2)x(a—3)=0,解得4=6,

故选:A.

8.(2021・全国•高二课前预习)直线)，=/(x)的图象与直线x=l的交点个数是()

A.1个B.0个C.0个或1个D.1个或2个

【答案】C

【分析】根据两条直线的位置关系即可求解

【详解】当两条直线平行时，无交点；当两条直线相交时，有I个交点；

所以直线y=/(x)的图象与直线)=1的交点个数是0个或1个，

故选：C

9.(2022•全圜高二专题练习)已知直线//的斜率为2,直线2经过点A(T-2),8(X,6),且〃〃氏则唾尸

9

=()

A.3B.!C.2D.—

22

【答案】D

【分析】由已知结合直线平行的斜率关系可求出x,然后结合对数的运算性质可求.

【详解】解：因为直线//的斜率为2,直线〃经过点4-1,-2),仅儿6),且//〃必

对于B,若直线/与直线x-y=o平行，则/+々+1=1,解得。=0或。=-1,所以B错误，

对于C,当x=0时，y=l,与4无关，故直线/过定点（0」），所以C正确，

对于D,当。=0时，直线/的方程为x-），+1=0,在两坐标轴上的截距分别是一1,1,不相等，所以D错

误，

故选:AC

三、填空题

12.（2022•全国•高二专题练习）若）与乙为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为％,生，斜率分别为全,

Q则下列命题

①若”4,则斜率匕=&；②若斜率占=&，则"4；

③若“〃2,则倾斜角4=生；④若倾斜角4=生，则"〃2；

其中正确命题的个数是.

【答案】4

【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可；

【详解】解：因为《与4为两条不重合的百线，且它们的倾斜角分别为外，生，斜率分别为勺，

①由于斜率都存在，若〃〃2,则｛=&，此命题正确；

②因为两直线的斜率相等即斜率勺=取,得到倾斜角的正切值相等即U»n4=lan6,即可得到。=%,所以

"4,此命题正确；

③因为“〃2,根据两直线平行，得到4=出，此命题正确：

④因为两直线的倾斜角4=%，根据同位角相等，得到4/〃2,此命题正确；

所以正确的命题个数是4.

故答案为：4.

13.（2022・江苏•高二课时练习）已知45,-1）,%1，1）,。（2,3）三点，则△4BC为三角形.

【答案】直角

【分析】根据直线斜率关系即得.

【详解】如图,猜想ABABC是直角三角形,

由题可得边A8所在直线的斜率&出=，边所在直线的斜率即c=2，

由心次sc=T，得A8_13c即NA8C=90，

所以4ABe是直角三角形.

故答案为：直角.

14.(2022・全国•高二专题练习)若直线人与直线4平行，直线4的斜率为-正，则直线A的倾斜角为

3

【答案】v

6

【分析】由两条直线的位置关系可得直线4的斜率与直线《的斜率相等，然后根据斜率与倾斜角的关系即可

求解.

【详解】解：因为直线4与直线4平行，直线4的斜率为-4，

所以直线4的斜率与直线4的斜率相等，即直线4的斜率为-乎，

设直线/2的倾斜角为a(0<a<7t),则tana=-正，

所以a=苧，即直线乙的倾斜角为学，

66

故答案为：丝.

6

15.(2022・全国•高二课时练习)若直线尔+2)，+〃?=0与直线3〃”+(〃・1))，+7=0平行，则〃?的值为

【答案】0或7

【分析】根据两宜线平行的充要条件即可列方程组求解.

【详解】解：因为直线〃a+2>+阳=0与直线3〃氏+(〃?-1)>+7=0平行，

一1)一2x3”？=0

所以《解得加=0或7,

"z(/〃-l)-2x7+0

故答案为：0或7.

16.（2022・上海中学东校高二期末）若直线4：3工-〃少+1=0与!2：），=2工+1互相垂直，则实数

〃?=.

【答案】-6

【分析】根据两直线位置关系直接可得参数值.

【详角隼］由4：y=2x+l,BP2x-y+l=O,

又直线4与直线〃互相垂直，

故3x2+（-〃2）x（-1）=0,

解得〃?=-6,

故答案为：-6.

17.（2021.全国.高二课时练习）已知A/WC的三个顶点分别是4：2,3）,C（4,3）,点。（惆1）在边6c

的高所在的直线上，则实数加=.

【答案】3

【分析】根据可知•怎D=7,则砥。=-2,利用两点连线斜率公式可构造方程求得结果.

【详解】由题意得：ADA.BC

3-111-3

又噎=黑石=5."ALU-，解得：，〃=3

本题正确结果：3

【点睛】本题考查利用直线与直线垂直关系求解参数值的问题，属于基础题.

18.（2022・全国•高二课时练习）若不同两点。、。的坐标分别为（小b）,（3—力,3—幻，则线段。。的垂直平

分线的斜率为.

【答案】-1

【分析】先求PQ斜率，再根据其负倒数得线段PQ的垂直平分线的斜率.

【详解】•,4股=空当=1，线段为2的垂直平分线的斜率为一L

a-3+b

【点睛】本题考查利用斜率研究两直线位置关系,考查基本求解能力.

19.（2022・全国•高二课时练习）己知平行四边形的三个顶点A（-3,0）,B（2,—2）,C（5,2）,则

第四个顶点。的坐标可能是.（写出一个符合题意的坐标即可）

【答案】（0,4）或（10,0）或（-6,-4）

【分析】由平行四边形得直线位置关系后列方程组求解

【详解】设。(X,y),

k=k

若四边形A8CO是平行四边形，则AB//CD,AD//BC,所以「产

\kAD=kBC

-2-0_y-2

2-(-3)-x^5x=0

即3cc・解得《［尸］止匕时点D(0,4).

y-0_-2-2

x-(-3)-2-5

以8=%

若四边形/WOC是平行四边形，则AW/CO,ACHBD,所以＜

“AC二b口,

-2-0_y-2

2-(-3)x-5x=10

即《c八/八，解得此时点。(10,0).

2-0y-(-2)y=0

5-(-3)-x-2

^AD=^BC

若四边形AOBC是平行四边形，则AO〃8C,AC〃BD,,所以

“AC=^BD

y-0-2-2

x-(-3)2-5[x=-6

BP/-x»解得〈.»此时点D(—6,—4).

2-0_y-(-2)[y=-4

5-(-3)-x-2

故答案为：(0,4)或(10,0)或(-6,-4)

20.(2022・全国•高二专题练习)若直线/经过点(。-2,-1)和(T-2,1),且与经过点(-2,1),斜率为4的

直线垂直，则实数〃的值为.

【答案】

【分析】求出直线/的斜率，利用两条直线垂直斜率乘积为-1的关系，求出〃的值即可.

【详解】直线/的斜率〃=一手—-=其中"0,

-a-2-a+2a

1(2^|2

由已知可得----=-1,解得。=-：

。I3J3

2

故答案为:.

21.(2022・全国•高二专题练习)设直线〃、〃的斜率分别为内、依，倾斜角分别为服仇若2必=7,则

I。-£!=一.

【答案】y

【分析】利用直线的倾斜角和斜率、两条直线互相垂直的性质，得出结论.

【详解】

如图，因为直线//、〃的斜率分别为拓、k2,倾斜角分别为。、

若七七=-1,则直线。与/2的相互垂直，它们的倾斜角相差］，

故演-，=5，

故答案为：y.

四、解答题

22.(2022・全国•高二专题练习)判断A(1,3).8(3,7),C(4,9)三点是否共线，并说明理由.

【答案】共线，理由见解析.

【分析】根据宜线斜率公式进行求解即可.

【详解】这三点共线，理由如下：

由直线斜率公式可得：38=二=2,阳c=*=2,

3-14-1

直线AA,AC的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点4L3),

所以这三点共线.

23.(2022.全国•高二专题练习)已知直线A8的方程为：x+2y-3=0,点。(-5,2),在直线上求一点ZZ

使得COJ.A8.

【答案】中鳄)

m+2〃-3=0

【分析】设。(，儿”)，由题可得小-2(n-即得.

----x——=-1

H+5{2)

m+2〃-3=0

【详解】设。(凡〃)，则•〃-2/[,

21

m=-----

5

解得1C,

1O

n=一

5

24.(2022・全国•高二课时练习)已知4(〃?，4),B(-2,w),C(1,I),D(m+2,3)四点.

(1)若直线A8与直线C。平行，求〃?的值：

(2)求证：无论加取何值，总有/AC8=90。.

【答案】(1)〃?=。或加=1

(2)证明见解析

【分析】(1)由直线的位置关系列式求解

(2)转化为向量垂直，由数量积运算列式证明

(1)①当直线的斜率不存在时，〃?=一2,此时C(l,i),D(0,3),则直线CO的斜率存在，故直

线A8与直线C。不平行，故〃片-2：

同理可得加H-1,所以直线A3与直线的斜率都存在.

②直线/W的斜率为38=匕;，直线C。的斜率为七0=二二.

m+2m+1

因为直线A8与直线CD平行，所以砥8=七°，即4一—〃^1=上27，

m+2/n+1

整理可得nr一〃?=()，解得加=0或〃?=1,

检验可知，当小=0或〃?=1时，直线A8与直线CO平行，故〃?=0或〃?=1.

(2)AC=(l-m,-3),8c=(3,1T〃)，则AC-8C=3(1-〃?)一3(1-〃z)=0,

所以无论m取何值，总有NAC8=90。.

25.(2022・全国•高二专题练习)根据条件求下列倾斜角、斜率

(1)直线/的倾斜角的正弦值是g,则直线/的斜率是—.

(2)直线xtan，+y=0的倾斜角是.

(3)已知直线〃的倾斜角区=30。,直线〃与//垂直，试求知，2的斜率.

【答案】(1)且或一直

33

⑵竽

(3)心，〃的斜率分别为且，-x/3

3

【分析】(1)根据倾斜角的正弦值求出倾斜角，从而由直线斜率和倾斜角之间的关系可求出直线的斜率,

(2)由方程求出直线的斜率，再由直线斜率和倾斜角之间的关系求出倾斜角，

(3)由直线。的倾斜角求出直线//的斜率，再由直线/2与//垂直可求出〃的斜率.

(1)因为直线/的倾斜角的正弦值是

所以sina='，

2

因为aw[0,4)

所以a或苧，

66

即lana=立或——,

33

则百.线/的斜率是立或-走.

33

故答案为：走或一亚.

33

(2)由直线xtan，+y=0,

㈤冗，乃16乃

v=-xtan—=xtann---=xtan——，

•7I1)7

即直线的斜率1a泻，则倾斜角为竽.

故答案为：—

(3)已知直线//的倾斜角囚=30。，

则直线//对应的斜率k,=tan30°=—,

3

因为直线〃与〃垂直，

.__L__1

所以直线/2的斜率之一工-4"

T

26.(2022・全国•高二专题练习)设常数aeR,已知直线4：(«+2)x+y+l=0,/2：34+少4(4。-3)=0.

⑴若…,求。的值;

（2）若“〃2,求4与4之间的距离.

【答案】（1）。=一,

（2）25/2

【分析】（1）根据题意.由一般式下两宜线垂直的充要条件可得3（。+2）+々=0,即可求解：（2）根据题

意，由一般式下两直线平行的必要条件可求得〃的值，进而由平行线间的距离公式计算可得答案.

（1）

根据题意，直线4：（a+2）x+y+l=0./2：3Ks，+（4。­3）=0,

a

若3?，则3（。+2）+。=0,解可得〃=

（2）

根据题意，若/则有。（。+2）=3,解可得。=1或-3,

当〃=1时，直线右：3x+y+l=0./2：3x+y+l=0,两直线重合，不符合题意，

当。=-3时，直线八-x+>'+1=0,Z2：3x-3y-15=0,L![Jx-j-5=0,两直线平行，此时4与4之间的距

离=2及

V1+1

27.（2022•全国•高二课时练习）已知N（2,2）,P（3.0）.

（1）若点。满足PN//MQ,求点Q的坐标；

（2）若点。在x轴上，且/NQP=£NPQ,求直线MQ的倾斜角.

【答案】⑴。（0,1）

⑵90。

【分析】第（1）问中，若人的存在,两直线垂直，则有匕？/-1,两直线平行，则有占=々2,设出点Q的

坐标，列方程即可求解.

第（2）问中，根据NNQP=NNPQ,可知女畋二一2种，设点坐标列方程即可.

（1）设Q（x，y），由题意得£WN=3,kpN=-2.

因为PQJ.MN,所以&PQ«WN=T，

即上x3=—l.①

x-3

又PN〃MQ,所以⑥N=4WQ，即注=一2.②

x-1

由®@,得x=0,y=i,即Q(0/).

所以"NQ=-♦

92

又kg=7—，%=-2,所以.=2,即X=1,

2-x2-x

所以Q（l,o）,又所以MQLi•轴，

故直线MQ的倾斜角为90。.

9【能力提升】

一、单选题

1.（2022•上海市建平中学高一期末）设直线《：qx+瓦V+G=。（/、匕不同时为零），《=。

（。2、%不同时为零），则U、12相交”是“。仇/她”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】分配区均不为。和配打有且只有一个为（）两种情况讨论，分别证得充分性和必要性即可得出结论.

【详解】当直线斜率都存在即4也均不为o时，若“4、，2相交“，则两直线的斜率不相等，得一产曦,

即“也工生白，当直线斜率有一个不存在即耳仿有且只有一个为。时，4瓦土出“也成汇,故充分性成土；

反之，4也均不为。时，若“岫/岫，，,则-尹一?则两直线的斜率不相等，即4、％相交，配打有且

只有一个为。时，4、，2也相交，故必要性成立；综上,则“4、4相交”是“砧2工。2*的充故条件，

故选：c.

2.（2022・全国•高二专题练习）已知直线），=〃吹-2与直线/町，=0平行，则相，〃的关系为­：）

A.mn=IB.〃?〃+1=0C.m-/:=0D.m-n+\=0

【答案】B

【分析】将直线的方程变形为•般式方程，由直线平行的判定分析〃，〃的关系，即可得答案.

【详解】根据题意，直线尸皿-2,即垓-y-2=0,

若直线y=nix-2与直线x+〃y=0平行，

则mn-（-1）=0,即mn+\=0.

故选：B

3.（2022・全国•高二专题练习）=1”是“直线4：（〃?一4卜+叫，+1=0与直线〃：〃氏+（6+2）），-2=0互相

垂直”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据给定直线方程求出/16的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】依题意，4-L，23"K〃L4）+〃K〃[+2）-0,解得〃?=0或〃7=],

所以"=1”是"直线，]：（〃2-4卜+6），+1=0与直线/2：g+（川-2）），-2=0/1相垂直”的充分不必要条件.

故选:A

4.（2022.江苏・高二）已知直线/:工+（。-1）），+2=0,《：、万瓜+）'=。，且乙14，则/+6的最小值为（）

A.-B.|C.—D.鸟

42216

【答案】A

【分析】由两直线垂直得到。=1-同,再代入消元利用二次函数的性质求解.

【详解】解：IJk，则向+4—1=0，，4=1一折，

所以。2十人2=0一屏了+〃=4/一2屏+1,

二次函数的抛物线的对称轴为〃=-2叵=立，

2x44

当力=正时，/+/取最小值9

44

故选：A.

5.(2022•江苏•高二课时练习)数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直

线上，这条直线称为欧拉线已知AA8C的顶点A(2,0),8(0,4),若其欧拉线的方程为x-y+2=0,则顶点C

的坐标为

A.(-4,0)B.(-3,-1)C.(-5,0)D.(-4,—2)

【答案】A

【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧

拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标

【详解】设C(m,n),由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为(空，号)代入欧拉线方程得：

中-牛+2=0整理得：m-n+4=0①

wJ

AB的中点为(1,2),砥"二工二-2AB的中垂线方程为y-2=4(x-1),

0—22

,[x-2y+3=0,[x=-l

即:<-2y+3=0.联立<.二八解得《1

x-y+2=0[y=1

/.△ABC的外心为(-1,1).

贝U(m+1)2+(n-1)2=32+12=10,整理得：m2+n2+2m-2n=8②

联立①②得：m=-4,n=0或m=0»n=4.

当m=0,n=4时B,C重合，舍去.，顶点C的坐标是(-4,0).故选A

【点睛】本题考查了百线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程

形式，直接求出直线方程.②待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入

直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等.

二、多选题

6.(2022・山东聊城•高二期末)已知直线4：3.i+2y-〃?=O,/2:xsina-y+1=0,则()

A.当〃?变化时，乙的倾斜角不变B.当。变化时，4过定点

C.4与6可能平行D.乙与不可能垂直

【答案】AB

【分析】对四个选项一一验证:

对「A：由直线4的斜率为A=-g即可判断；

2

对于B：由直线，2恒过定点（0，1）即可判断；

对于C：用反证法证明；

2

对于D：当sina=§,4与4垂直，即可判断.

3

【详解】对于A：当机变化时,直线h3x+2.v-m=0的斜率为左=-5.所以4的倾斜角不变.故AFF确：

对于B：直线，2：xsina-y+l=。恒过定点（0,1）.故B正确；

对于C：假设4与，2平行，贝Ij-3=2sina,即sina=",这与sinae[T,l]相矛盾，所以4与《不可能平行.

故C不正确：

2

对于D：假设4与4垂直，则3sina-2=0,即sina=1,所以4与4可能垂直.故D不正确.

故选：AB

7.（2022・重庆•高二期末）下列说法中，正确的是（）

A.直线2x+y+3=0在），轴上的截距是3

B.直线x+y+l=0的倾斜角为135。

C.41,4）㈤2,7）,C（-3,-8）三点共线

D.直线3x+4y+l=0与4x+3y+2=0垂直

【答案】BC

【分析】根据宜线方程求得纵截距，倾斜角判断AB,由斜率关系判断C,由直线的位置关系判断D,

【详解】A.直线2x+），+3=0在y轴上的械距是一3,A错；

B.直线x+y+l=0的斜率为-1,倾斜角为135。，B正确；

7-4-8-4

C.由A（1,4）,B（2,7）.C（-3.-8）得阳——=3,k=——=3=原「所以A8,C三点共线，C正确；

2—1AC—3—1

34

D.直线3x+4y+l=0与4x+3y+2=O的斜率分别为一丁，乘积为1,不垂直，D错误.

43

故选：BC.

8.（2022.全国•高二期末）下列说法正确的是（）

A

A.直线Ar+8），+C=0的斜率为-

B.若直线的倾斜角为a,贝UsinaNO

C.若两条直线的斜率之积等于一1,则这两条直线垂直

D.若直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为x+y-。=。

【答案】BC

【分析】特殊值3=0判断A；由倾斜角。€。力判断B；由直线垂直的判定判断C；选项D中注意要加awR

的条件.

【详解】A：当8=0时，直线斜率不存在，错误；

B：由题意，ae[0,乃），故sinaNO,正确；

C：由直线垂直的判定知：两条直线的斜率之积等于一1,则两条直线垂直，正确；

D：直线在两坐标轴上的截距都为0,且斜率不低于-1,直线的方程不可写为x+y-〃=0,错误.

故选：BC

9.（2022.全国•高二课时练习）已知等腰直角三角形A8C的直角顶点为。（3,3）,点A的坐标为（0,4）,则

点8的坐标可能为（）

A.（2,0）B.（6,4）C.（4,6）D.（0,2）

【答案】AC

【分析】根据三角形A8C为等腰直角三角形列方程组，即可求解.

【详解】设8(x,y),由题意可得

]?3x--6=0?

A-30-3,可化为

(彳-3)2十(y-3y=10

J(x-3)2+(y-3)2=J(O-3『+(4-31

t=2JV=4

解得:「二八或一“即8(2,0)或8(4,6).

=Uy=6

故选：AC

三、解答题

10.（2021・全国•高二课前预习）已知A（-4,3）,4（2,5）,C（6,3）,。（一3,0）四点，若顺次连接ABC。四点,

试判断图形A8CQ的形状.

【答案】直角梯形

【分析】计算四条边所在吏线的斜率，判断边之间的位置关系，即可判断图形ABCO的形状.

【详解】由斜率公式，得若0鼬=许1=一3,"=口=—5，

所以腐8=&6，又因为＞C=二（）£》，说明AB与C力不重合，

6」-（「-4）

所以AB//8.

因为&AD*原C，所以AD与3C不平行.

又因为&A84£)=gx(-3)=-l,所以

故四边形ABC。为直角梯形.

II.(2022•全国•高二专题练习)分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线与CO是否平行：

(1)4(3,-1),5(-1,1),C(-3,5),0(5,1)；

⑵A(2,T),川-g,-4),C(0,l),D(4,l)；

(3)4(2,3),8(2,T),C(-l,4),Z)(-I,I)；

(4)A(-L-2),8(2,1),C(3,4),/)(-1,-1).

【答案】(1)平行

⑵平行

⑶平行

(4)不平行

【分析】(1)求出48,CD,斜率，再判断两直线不重合得平行；

(2)由斜率相等，及不重合得结论；

(3)由两直线斜率都不存在，且不重合得平行：

(4)由斜率不相等得不平行.

-1-]15-115-1

(I)^B=T-kCD=——=--=kAR,kBC==-2,A,8,C不共线，因此A6与CD平行.

Z-3-527-1-1)

(2)以8=。，k=o,又两直线不重合，直线AB与CO平行，

(3)直线A8，CO的斜率都不存在，且不重合，因此平行；

-2-1-1-45

(4)Bs=—=1/8=—=百线AA与C。不平行，

12.(2022•江苏•高二课时练习)直线乙和6的方程分另IJ是&v+稣y+G=。和4x+^y+G=0,其中^不

全为()，4,星也不全为0.

⑴当/,///2时，直线方程中的系数应满足什么关系？

(2)当4^/2时，直线方程中的系数应满足什么关系？

【答案】(1)4心一44=0且(402-4(；工0或4G—4Gwo)；

(2)44+54=0

【分析】(1)由两直线平行的条件求解；

(2)由两直线垂直的条件求解.

GC,

(1)两直线斜率都不存在，则用=与=(),此时，A&W(),才■工？，

因此有a鸟—4片=o且AG-&G工0,

斜率都存在时，一+二一/且一争工一会，

因此有A星一=o且4c2-82c产0,

所以“4的条件是：4与-4耳=0且(AQ-AC,^()n£B1c2-fi2cl^o)；

(2)两直线一个斜率不存在，一条斜率为o,如A=o,生=0,A4+B用2=()

两直线斜率都存在，则一gx(4)=T,所以A4+B出2=。，

所以4J./2的条件是44+8避2=().

13.(2022・全国•高二专题练习)证明：如果两条直线斜率的乘积等于-1,那么它们互相垂直.

【分析】设两直线斜率分别为K=tana,^2=tan/?,结合"-I及倾斜角的范围、诱导公式即可证明结

论.

【详解】令两直线斜率分别为K=tana,&=tan/?(a,〃为对应倾斜角)，

由二tanatan/?=-l,不妨假设Ova<g,则/</<用，

所以lana=--!—=--!—=tan[-^-(^-/?)]=tan(/?-<—,

tanptan(万一/7)2222

故a=0-g,即£-a=J,则两条直线互相垂直，得证.

乙4

14.(2022.全国.高二专题练习)已知41,3)1(5,1)4(3,7),A,B,C,。四点构成的四边形是平行四边形,

求点。的坐标.

【答案】(7,5)或(一1,9)或(3,-3).

【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点。的坐标.

【详解】由题,",3),8(5,1),C(3,7),

所以乂C=2,砥8=-；，kBC=-3,

设。的坐标为a,y),分以下三种情况:

①当为对角线时，有kCD=kAB,kBD=kAC,

所以，研=言=2'％

x-32

得尸7,)=5,即0(7,5)

②当AC为对角线时，有kCD=kAB,kAD=kBC,

所以，L=W=-3,初=芸