《备考指南 理科数学》课件-第7章 第5讲

不等式、推理与证明第七章第5讲直接证明与间接证明【考纲导学】1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．2．了解反证法的思考过程和特点．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Qn⇒QQ⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件文字语言因为……所以……，或由……得……要证……只需证……即证……充分2．间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．(1)反证法的定义：假设原命题________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明__________的证明方法．(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．不成立原命题成立1．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则关于x的方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(

)A．关于x的方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．关于x的方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数C．关于x的方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．关于x的方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根【答案】A1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．××××√√课堂考点突破2分析法【规律方法】分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中需要用到的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．注意用分析法证题时，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．综合法【考向分析】综合法证明问题是历年高考的热点问题，也是必考问题之一．通常在解答题中出现．常见的考向：(1)立体几何证明题；(2)数列证明题；(3)与函数、方程、不等式结合的证明题．【规律方法】用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱．反证法【规律方法】(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．(2)用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的．课后感悟提升31种关系——综合法与分析法的关系分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明或两种方法交叉使用．2个注意点——利用分析法和反证法应注意的问题(1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等，分析到一个明显成立的结论．(2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3个关键点——反证法证明的关键点(1)准确反设．(2)从否定的结论正确推理．(3)得出矛盾．1．(2015年广东)若集合E＝{(p，q，r，s)|0≤p<s≤4，0≤q<s≤4,0≤r<s≤4且p，q，r，s∈N}，F＝{(t，u，v，w)|0≤t<u≤4,0≤v<w≤4且t，u，v，w∈N}，用card(X)表示集合X中的元素个数，则card(E)＋card(F)＝(

)A．50 B．100C．150 D．200【答案】D【解析】当s＝4时，p，q，r都是取0,1,2,3中的一个，有4×4×4＝64种；当s＝3时，p，q，r都是取0,1,2中的一个，有3×3×3＝27种；当s＝2时，p，q，r都是取0,1中的一个，有2×2×2＝8种；当s＝1时，p，q，r都取0，有1种．所以card(E)＝64＋27＋8＋1＝100.当t＝0时，u取1,2,3,4中的一个，有4种；当t＝1时，u取2,3,4中的一个，有3种；当t＝2时，u取3,4中的一个，有2种；当t＝3时，u取4，有1种．所以t，u的取值有1＋2＋3＋4＝10种．同理，v，w的取值也有10种，所以card(F)＝10×10＝100.所以card(E)＋card(F)＝100＋100＝200.故选D．2．(2017年北京)能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_______________．【答案】－1，－2，－3【解析】