河南省项城市第一初级中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试卷（原卷版+解析版）

2024-2025学年下学期阶段性评价卷一七年级数学（北师大版）注意事项：1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1.计算的值为（）A.3 B.6 C.9 D.102.下列算式中，可以用完全平方公式进行计算的是（）A. B.C. D.3.在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（）A. B. C. D.4.下面是小明同学计算的过程：解：①②．．．．．③则步骤①②③依据的运算性质分别是（）A.同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法B.同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方C.幂乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法D.幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法5.下列算式中，计算结果是的是（）A. B. C. D.6.已知，则的值为（）A.9 B.10 C.12 D.157.如图，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如：中各项的系数，正好对应第3行中的1，2，1，则的展开式中第3项的系数为（）A.5 B.6 C.10 D.158.若（其中为正整数），则的值分别为（）A.30，10 B.3，11 C.15，10 D.10，109.公园里有一个长为，宽为的长方形花坛，现要在花坛四周放置长椅，如图所示，已知长椅的宽度为，则长椅的面积为（）A. B.C. D.10.已知两个整式和，将这两个整式的和除以2，得到的结果放在这两个整式之间，可以产生第1个整式串：，，称为第1次操作．再将第1个整式串中任意相邻的两个整式，都按上述方式进行第2次操作，可以得到第2个整式串：，以此类推，下列说法：①第3个整式串中，从左往右数第2个整式与从右往左数第2个整式的积为；②第3个整式串中，所有整式的和为；③第2025个整式串中，共有个整式．其中正确的个数是（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二、填空题（每小题3分，共15分）11.计算：___________．12.已知，则的值为___________．13.已知，则的值为___________．14.如图所示的一个长方形被分成形状和大小不同的5个部分，已知①②③④都是正方形，⑤是一个长方形．若正方形②的边长是正方形①的边长的3倍，则长方形⑤的面积是正方形①的面积的___________倍．15.在学习整式除法之后，小婷通过延伸发现：两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母的降幂排列，然后仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．如图，计算时，可以仿照用竖式计算．请你仿照上面的例子计算的结果为___________．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16计算：（1）；（2）．17.数学课上，王老师给学生出了一道题：当时，求的值．小明说：“不用给出的值就可以计算出结果．”小军说：“没有的值不能计算出结果．”你认为他们谁的说法正确，请说明理由．18.我们知道：对于正整数，若，则；若，则．因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成次数相同的数，比较底数的大小．请运用此方法解决下列问题：（1）比较大小：___________；（填“”“”或“”）（2）已知，试比较的大小．19.已知，求值．20.定义新运算：，例如：．按照这种运算规定计算，并求出当等于多少时，该式的值为0．21.2025年2月10日，南水北调东线一期工程正式启动本年度调水工作，计划向黄河以北调水1.51亿立方米．如图，某段河道的横截面是梯形，已知上底的长度为，下底的长度为，河道的最大高度为．（1）求河道横截面的面积；（2）经测量得出，那么长的南水北调的河道最多可以蓄水多少立方米？（棱柱的体积棱柱的底面积高）22.某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，分别构造了以下四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”：（1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________；（填序号）（2）【应用】利用“平方差公式”计算；（3）【拓展】计算：．23.阅读下列材料：利用完全平方公式，把多项式变形为的形式，然后运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有广泛的应用．例如利用配方法求的最小值．解：，因为不论取何值，，所以当时，的值最小．所以的最小值为．根据上述材料，解答下列问题：【理解探究】（1）以上解答过程中，主要体现的数学思想是（）A．统计思想B．数形结合思想C．转化思想D．方程思想【类比应用】（2）仿照上述方法，将变形为的形式，并求出最小值；拓展升华】（3）王大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的长为，宽为，乙菜地的长为，宽为，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由．

2024-2025学年下学期阶段性评价卷一七年级数学（北师大版）注意事项：1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1.计算的值为（）A.3 B.6 C.9 D.10【答案】D【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，根据相关运算法则进行计算即可．【详解】解：，故选：D．2.下列算式中，可以用完全平方公式进行计算的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了完全平方公式的运用，根据完全平方公式逐项判断即可．【详解】解：A、，可以用平方差公式计算，故A选项不符合题意；B、，不能用完全平方公式计算，故B选项不符合题意；C、，可以用完全平方公式计算，故C选项符合题意；D、，可以用平方差公式计算，故D选项不符合题意；故选：C．3.在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．【详解】解：，，故选：C．4.下面是小明同学计算的过程：解：①②．．．．．③则步骤①②③依据的运算性质分别是（）A.同底数幂乘法，幂的乘方，同底数幂的除法B.同底数幂除法，同底数幂的乘法，幂的乘方C.幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法D.幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法【答案】D【解析】【分析】本题考查了幂的乘法方，同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据小明的解题步骤分析即可．【详解】解：解：①（幂的乘方）②（同底数幂的乘法）．．．．．③（同底数幂的除法）故选D．5.下列算式中，计算结果是的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，零指数幂，根据积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，零指数幂的定义逐项计算判断即可．【详解】解：A、，故本选项不符合题意；B、，本选项符合题意；C、与不是同类项，不可以合并，故本选项不符合题意；D、，故本选项不符合题意，故选：B．6.已知，则的值为（）A.9 B.10 C.12 D.15【答案】A【解析】【分析】本题主要考查平方差公式：，直接平方差公式求出即可．熟记公式结构是解题的关键．【详解】解：，，．故选：A．7.如图，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如：中各项的系数，正好对应第3行中的1，2，1，则的展开式中第3项的系数为（）A.5 B.6 C.10 D.15【答案】D【解析】【分析】本题考查了完全平方公式，能根据已知找出规律是解此题的关键，根据已知等式得出规律，再根据所得的规律得出答案即可．【详解】解：根据题意得：第7行的数分别为1，6，15，20，15，6，1，第8行的数分别为1，7，21，35，35，21，7，1，展开式中各项的系数正好对应第3行的数字，则的展开式中各项的系数正好对应第7行的数分别为1，6，15，20，15，6，1，的展开式中第3项的系数为15，故选：D．8.若（其中为正整数），则的值分别为（）A.30，10 B.3，11 C.15，10 D.10，10【答案】B【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法，科学记数法的计算，根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：，，故选：B．9.公园里有一个长为，宽为的长方形花坛，现要在花坛四周放置长椅，如图所示，已知长椅的宽度为，则长椅的面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘单项式的实际应用，正确记忆相关知识点是解题关键．用增加长椅后的面积减去改变前的面积即可．【详解】解：长方形花坛放置长椅后的长为，宽为，花坛放置长椅后的面积为，而花坛原来面积为所以长椅的面积为，故选：C．10.已知两个整式和，将这两个整式的和除以2，得到的结果放在这两个整式之间，可以产生第1个整式串：，，称为第1次操作．再将第1个整式串中任意相邻的两个整式，都按上述方式进行第2次操作，可以得到第2个整式串：，以此类推，下列说法：①第3个整式串中，从左往右数第2个整式与从右往左数第2个整式的积为；②第3个整式串中，所有整式的和为；③第2025个整式串中，共有个整式．其中正确的个数是（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】B【解析】【分析】本题考查了整式的混合运算，规律型数字的变化类，解题的关键是弄清题意．总结出规律根据题意，分别求得第3个整式串即可判断①②，根据题意，可得第1个整式串中有3个整式，第2个整式串中有5个整式，第3个整式串中有9个整式，即可判断③．【详解】解：根据题意，第3个整式串为：，第3个整式串中，从左往右数第2个整式与从右往左数第2个整式的积为，故①错误；第3个整式串中，所有整式的和为，故②错误；根据题意，可得第1个整式串中有3个整式，第2个整式串中有5个整式，第3个整式串中有9个整式，由此总结规律，可得第n个整式串中有个整式，第2025个整式串中有个整式，故③正确；故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11.计算：___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可．【详解】解：，故答案为：．12.已知，则的值为___________．【答案】16【解析】【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键，根据幂的乘方的逆运算，即可求得答案．【详解】解：，，故答案为：16．13.已知，则的值为___________．【答案】81【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据已知得到，进而得到，求出结果即可．【详解】解：，，，故答案：81．14.如图所示的一个长方形被分成形状和大小不同的5个部分，已知①②③④都是正方形，⑤是一个长方形．若正方形②的边长是正方形①的边长的3倍，则长方形⑤的面积是正方形①的面积的___________倍．【答案】【解析】【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算，单项式乘以单项式，单项式除以单项式等知识，理解图形中正方形边长与长方形边长之间的关系，列出代数式是解题的关键．根据各个正方形边长之间的关系，表示出长方形⑤的长、宽，即可得出答案．【详解】解：∵正方形②的边长是正方形①的边长的3倍，∴设正方形①的边长为，正方形②的边长为，∴正方形①的面积为∴正方形③的边长为，∴正方形④的边长为，∴长方形⑤的长为：，宽为：，∴长方形⑤的面积为则故答案为：12．15.在学习整式的除法之后，小婷通过延伸发现：两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母的降幂排列，然后仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．如图，计算时，可以仿照用竖式计算．请你仿照上面的例子计算的结果为___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了多项式与多项式的除法计算，根据所给例子计算即可．详解】解：用竖式计算，如图，∴．故答案为；：．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了整式的运算和实数的运算，熟练掌握相关的运算法则是解本题的关键．（1）先计算多项式乘以多项式，积的乘方，再合并同类项即可；（2）分别利用有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．17.数学课上，王老师给学生出了一道题：当时，求的值．小明说：“不用给出的值就可以计算出结果．”小军说：“没有的值不能计算出结果．”你认为他们谁的说法正确，请说明理由．【答案】小明说得对，理由见解析【解析】【分析】本题考查了单项式乘多项式化简求值，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．先合并同类项，再根据结果判断即可．【详解】解：小明说得对，理由如下：．因为化简结果中不含有，，所以结果跟，的值无关，故小明说得对．18.我们知道：对于正整数，若，则；若，则．因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成次数相同的数，比较底数的大小．请运用此方法解决下列问题：（1）比较大小：___________；（填“”“”或“”）（2）已知，试比较的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了幂的乘方以及幂的乘方的逆用，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．（1）根据幂的乘方运算法则解答即可；（2）根据幂的乘方的逆用解答即可．【小问1详解】解：，，，故答案为：；【小问2详解】解：，，，又∵9>8>4，∴9．19.已知，求的值．【答案】64【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法，利用了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得同类项，根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得关于a、b的方程，解方程，可得答案．【详解】解：，，，，，故答案为：64．20.定义新运算：，例如：．按照这种运算规定计算，并求出当等于多少时，该式的值为0．【答案】【解析】【分析】本题考查了新定义运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据定义的新运算可得，然后进行计算即可解答．【详解】解：∵，∴，，，．21.2025年2月10日，南水北调东线一期工程正式启动本年度调水工作，计划向黄河以北调水1.51亿立方米．如图，某段河道的横截面是梯形，已知上底的长度为，下底的长度为，河道的最大高度为．（1）求河道横截面的面积；（2）经测量得出，那么长的南水北调的河道最多可以蓄水多少立方米？（棱柱的体积棱柱的底面积高）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，掌握整式混合运算的法则是解题的关键．（1）根据梯形的面积公式列出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算即可；（2）先代入求出梯形面积，再根据棱柱的体积公式列出代数式，然后根据整式的混合运算法则进行计算即可．【小问1详解】解：河道横截面的面积为：；【小问2详解】当时，，，答：长的南水北调的河道最多可以蓄水．22.某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，分别构造了以下四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”：（1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________；（填序号）（2）【应用】利用“平方差公式”计算；（3）【拓展】计算：．【答案】（1）①③（2）1（3）【解析】【分析】本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的运用，有理数的混合运算，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．（1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可；（2）利用平方差公式进行计算即可；（3）利用平方差公式将原式化为计算即可．【小问1详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，