江西省南昌市二十八中教育集团联盟2023-2024学年八年级下学期数学期中试题（含答案）

江西省南昌市二十八中教育集团联盟2023-2024学年八年级下学期数学期中试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共6小题共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列计算结果正确的是（）A．3+6=3 B．43−32．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．1，3，7 D．5，12，133．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（）A．AB=25 B．C．S△ABC=10 D．点A到直线4．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．−137 B．12 C．15 5．如图，在矩形ABCD中，AB<BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB=2∠ACB；③AC⋅EF=CF⋅CD；④若AF平分∠BAC，则A．4 B．3 C．2 D．16．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM,GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则A．5−22 B．2−1 C．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．7．如图，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE平分∠ADC，BC=4，则DE的长是．8．使用手机支付宝付款时，常常需要用到密码．嘉淇学完二次根式后，突发奇想，决定用“二次根式法”来产生密码．如，对于二次根式169，计算结果为13，中间加一个大写字母X，就得到一个六位密码“169X13”．按照这种产生密码的方法，则利用二次根式121产生的六位密码是．9．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在Rt△ABC中，若直角边AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是．10．已知11−1的整数部分为a，小数部分为b，则(11+a)(b+1)11．将1，2，3，6按下列方式排列．若规定(m,n)表示第m排从左向右第n个数，则(15，7)与(100，9)表示的两数之积是12．已知在平面直角坐标系中A（﹣23，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为．三、解答题：（本大题共5小题，共30分）13．计算：（1）|−3|+12−313； 14．在数学活动课上，老师带领学生去测量校园旗杆高度．如图，某学生在点A处观测到旗杆顶部C，并测得∠CAD=45°，在距离A点30米的B处测得∠CBD=30°，求旗杆CD的高度（结果可带根号）．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D在AB边上一点．过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．16．如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（1）在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形；（2）在图2中，画出一个以AF为边的菱形．17．阅读下列解题过程，按要求回答问题．化简：x解：原式=xy−x=x(=x⋅1=xy④.（1）上面的解答过程是否正确？若不正确，指出是哪一步出现错误；（2）请写出你认为正确的解答过程．四、解答题：本题共6小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，（1）求高台A比矮台B高多少米？（2）求旗杆的高度OM；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．19．【定义】若一个直角三角形中两边的平方差等于另一个直角三角形两边的平方差，则称这两个直角三角形为“勾股三角形”．在正方形ABCD中，G为AB上一点．（1）如图1，连接DG，CG，CH⊥DG于点H，图中有▲对“勾股三角形”；分别是哪几对？（2）如图2，以CG为边作矩形CGFE，若点D在BF上，CG=5，CB=4，求DE的长．（提示：连接DG）20．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动；点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t秒）.（1）当t=2时，求△BPQ的面积；（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t.（3）当t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？21．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作BA⊥BD，DE⊥BD，连接AC，CE．已知AB=5，DE=9，BD=8，设BC=x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长．（2）当点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？（3）根据（2）中的结论，请构图求出代数式x222．已知，▱AOBC的一边OB在平面直角坐标系的x轴上，点B（8，0）．（1）如图1，点A（2，23），则OA的长为；（2）如图2，当OA在y轴上时，AB的中垂线EF分别交AC，AB，OB于点E，D，F．①求证：四边形AFBE是平行四边形；②若点A（0，4），动点P，Q分别从点A，B以每秒1个单位长度和每秒0.8个单位长度的速度同时出发匀速运动，动点P自A→F→O→A停止，Q自B→C→E→B停止．请问是否存在▱APBQ，若存在，直接写出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．23．某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB<BC）的对角线的交点O旋转（①⇒②⇒③），图中的M，N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD，BC的交点．（1）解决问题：该学习小组成员意外的发现图①（三角板一直角边与OD重合）中，此时发现BN，CD，CN这三条线段之间满足以下的数量关系：BN2=CD2+CN2；在图③中(三角板一边与（2）类比探究：在图③中（三角板一边与OC重合），直接写出BN，CD，CN这三条线段之间所满足的数量关系▲．在图②中，试探究BN，CN，CM，DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．（3）拓展延伸：将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB，BC分别交于M，N，直接写出BN，CN，CM，DM这四条线段之间所满足的数量关系．（不需要证明）

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】A、∵3和6不是同类二次根式，∴A不正确；

B、∵43−3=33，∴B不正确；

C、∵3×6=32，∴C正确；2．【答案】C【解析】【解答】解：A32+42=52，故A项不符合题意；

B62+82=102，故B项不符合题意；

C12+(7)2≠32，故C项符合题意；

D52+122＝132，故D项不符合题意；

故答案为：C.

【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断，即可求得.3．【答案】C【解析】【解答】解：根据勾股定理得，AB=25，AC=5，BC=5，

∵AB2+AC2=BC2，

∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，

∴△ABC的面积为AB·AC÷2=5，

设BC边上的高长为h，

∴5=BC·H÷2，

∴H=2，即点A到直线BC的距离为2.

故ABD项不符合题意；C项符合题意.

故答案为：C.

4．【答案】A【解析】【解答】解：A−137是最简二次根式，故A项符合题意；

B12=23，即12不是最简二次根式，故B项不符合题意；

C15=55，即15不是最简二次根式，故C项不符合题意；

D1445．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意得，MN垂直平分AC，设AC与MN相交于点O，

∴OA=OC，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AEO=∠CFO，

∵∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴四边形AECF为平行四边形，

∴AC⊥EF，

∴四边形AECF为菱形，故①符合题意；

∴AF=CF，

∴∠FAC=∠ACB，

∵∠AFB=∠ACB+∠FAC=2∠ACB，故②符合题意；

∵菱形AECF的面积=AC·EF÷2，菱形AECF的面积=CF·CD，

∴AC·EF÷2=CF·CD，故③不符合题意；

∵四边形AECF为菱形，

∴∠DAC=∠FAC，

∵AF平分∠BAC，

∴∠BAF=∠CAF，

∵∠DAB=90°，

∴∠BAF=30°，

∴BF=12AF，

∴AB=32AF，

∵CF=AF，

∴CF=233AB，故④不符合题意.

综上，正确的结论的个数为2个.

故答案为：C.

【分析】根据垂直平分线的作图可知MN垂直平分AC，根据矩形的性质和平行线的性质可得∠AEO=∠CFO，依据AAS判定△AOE≌△COF，进而判定四边形AECF为菱形，即可判断①；根据菱形的性质和外角的性质即可判断②；根据菱形的面积的两种算法，即可判断③；根据30°的直角三角形的性质和勾股定理可得AB=326．【答案】A【解析】【解答】解：连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH＝MF，设正方形ABCD的边长为2a，则正方形ABCD的面积为4a2，∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等∴由折叠可知正方形EFGH的面积＝15×正方形ABCD的面积＝4∴正方形EFGH的边长GF＝45∴HF＝2GF＝210∴MF＝PH＝2a−2∴FMGF故选A．

【分析】设正方形ABCD的边长为2a，先求出其面积，再求出正方形EFGH的面积推出正方形EFGH的边长GF，再求出对角线HF，进而得到FM，即可求得FMGF7．【答案】2【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，

∴AD=CD，

∵DE平分∠ADC，

∴AE=CE，

∴DE=12BC=2.

故答案为：2.

【分析】根据直角三角形的斜边的性质可得AD=CD，根据等腰三角形的三线合一可得AE=CE，再根据三角形的中位线定理即可求得DE=18．【答案】121X11【解析】【解答】解：∵121=11，

∴121产生的六位密码为121X11.

故答案为：121X11.

9．【答案】76【解析】【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2解得：x=13，∴“数学风车”的外围周长(13+6)×4=76．故答案为：76.【分析】设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，由勾股定理可得x的值，然后结合周长的定义进行计算.10．【答案】7【解析】【解答】解：∵3＜11＜4，

∴2＜11-1＜3，

∴整数部分为a=2，小数部分为b=11-3，

∴(11+a)(b+1)=11+2(11-2)=11-4=711．【答案】3【解析】【解答】解：（15，7）是第15排第7个数，而前14排的数共105个，则（15，7）是第112个数，

而112÷4=28，故（15，7）是6；

（100，9）是第100排第9个数，而前99排的数共4950个，则（100，9）是第4959个数，而4959÷4=1239……3，故（100，9）是3；

∴6×3=32.

故答案为：32.

12．【答案】（0，0），（23【解析】【解答】解：∵点P、A、B在x轴上，∴P、A、B三点不能构成三角形．设点P的坐标为（m，0）．当△PAC为直角三角形时，①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；②∠ACP＝90°时，如图，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，∴(解得，m＝23∴点P的坐标为（23当△PBC为直角三角形时，①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；②∠BCP＝90°时，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴点P的坐标为（﹣2，0）．综上所述点P的坐标为（0，0），（23

【分析】分情况：当△PAC为直角三角形时，①∠APC=90°；②∠ACP=90°；当△PBC为直角三角形时，①∠BPC＝90°；②∠BCP＝90°；根据勾股定理计算即可求得P的坐标.13．【答案】（1）解：|−===23（2）解：(=5−2=11．【解析】【分析】（1）先求绝对值和化简二次根式，再合并二次根式，即可求得；

（2）根据完全平方公式，单项式乘多项式法则计算后，合并二次根式，合并同类项后即可求得.14．【答案】解：设CD为x米，∵∠CAD=45°，∠CDA=90°，即△ACD为等腰直角三角形，∴AD=CD=x，∵∠CBD=30°，∠CDA=90°，∴BC=2x，根据勾股定理可得：BD=3∵DB−AD=AB，∴3解得x=153答：旗杆CD的高度为(153【解析】【分析】设CD为x米，根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD=x米，再根据30°的直角三角形的性质可得BC=2x，再根据勾股定理求出BD=315．【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形．【解析】【分析】（1）先证明四边形ADEC是平行四边形，从而得出CE=AD；

（2）首先证明四边形BECD是平行四边形，然后根据直角三角形斜边上的中线的性质得出CD=BD，从而得出四边形BECD是菱形。16．【答案】（1）解：连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N．四边形ABNM是平行四边形．（2）解：连接AF、DF，延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．【解析】【分析】（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N．四边形ABNM是平行四边形．（2）连接AF、DF，延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．17．【答案】（1）解：不正确，∵y＜x＜0，

∴y-x<0，x∴(y−x)2∴②③出现错误；（2）解：原式=xy−xy(y−x)2x

=x(x−y)y−xyx

=-x【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质可知x2=−x（x＜0），即可求得；18．【答案】（1）解：10-3=7(米）（2）解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM与F，∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°，∴∠AOE=∠OBF，在△AOE和△OBF中，∠OEA=∠BFO∠AOE=∠OBF∴△AOE≌△OBF（AAS），∴OE=BF，AE=OF，即OE+OF=AE+BF=CD=17（m）∵EF=EM﹣FM=AC﹣BD=10﹣3=7（m），∴2EO+EF=17，则2EO=10，所以OE=5m，OF=12m，所以OM=OF+FM=15m（3）解：由勾股定理得ON=OA=13，所以MN=15﹣13=2（m）．答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．【解析】【分析】（1）根据题意得到高台A比矮台B高（10-3）米；（2）根据题意和全等三角形的判定方法AAS，得到△AOE≌△OBF，得到对应边相等，求出旗杆的高度OM的值；（3）根据勾股定理求出ON=OA的值，得到玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．19．【答案】（1）解：图中由2对“勾股三角形”，分别是△ADG和△BCG，△CDH和△CGH，理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠B=90°，AD=BC，在Rt△ADG中，由勾股定理得，AD在Rt△BCG中，由勾股定理得，BC∵AD=BC，即AD∴DG根据“勾股三角形”的定义得△ADG和△BCG是一对“勾股三角形”；∵CH⊥DG于点H，∴在Rt△CDH中，由勾股定理得，CH在Rt△CGH中，由勾股定理得，CH∴CD根据“勾股三角形”的定义得△CDH和△CGH是一对“勾股三角形”；故答案为：2；（2）解：如图，连接DG，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠B=90°，AD=CB=AB=4，在Rt△BCG中，CB=4，CG=5，由勾股定理得，BG=C∴AG=AB−BG=4−3=1，在Rt△ADG中，由勾股定理得，DG=A设DE=x，∵四边形CGFE为矩形，∴EF=CG=5，CE=GF，∴DF=EF−DE=5−x，∵Rt△CDE和Rt△GDF是一对“勾股三角形”，∴CD即42解得x=2.∴DE=2.【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得∠A=∠B=90°，AD=BC，根据勾股定理可得即可判断出DG2−AG2=CG2−BG2，再根据勾股三角形定义即可求得；同理根据勾股定理分别在Rt△CDH和Rt△CGH，可得CD220．【答案】（1）解：过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形.∴PM=DC=12，∵QB=16−t，当t=2时，则BQ=14，则S=12QB×PM（2）解：当四边形ABQP是平行四边形时，AP=BQ，即：21−2t=16−t解得：t=5∴当t=5时，四边形ABQP是平行四边形.（3）解：由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=(16−2t)2+122此时，△=(−32)所以此方程无解，所以BP≠BQ；③若PB=PQ，由PB2=PQ得t1=16综上所述，当t=72或【解析】【分析】（1）过点P作PM⊥BC于M，则PM=DC，当t=2时，算出BQ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP是平行四边形时，AP=BQ，即21−2t=16−t，解出即可；（3）以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ=BQ，②BP=BQ，③PB=PQ分别求出t即可.21．【答案】（1）解：∵BC=x，BD=8，∴CD=BD−BC=8−x，∵BA⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC=∠CDE=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=B在Rt△CDE中，由勾股定理得CD∴AC+CE=x（2）解：∵两点之间，线段最短，∴当C在AE上时，AC+CE值最小；（3）解：构图如下，其中AB=2，BD=12，DE=3，设BC=x，∴CD=BD−BC=12−x同理得AC+CE=x由两点之间，线段最短可知，当C在AE上时，AC+CE值最小，即x2+4+过点E作EF⊥AB交AB延长线于F，则四边形BFED是矩形，∴BF=DE=3，BD=EF=12，∴AF=AB+BF=5，∴AE=A∴x2【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AC=x2+25，CD为8-x，再根据勾股定理可得CE=x2-16x+145，即可求得；22．【答案】（1）4（2）解：①证明：∵四边形AOBC是平行四边形，∴AC∥BO，∵EF是AB的中垂线，∴AD=BD，∵AC∥OB，∴∠AEF=∠EFB，∠EAB=∠FBA，∴△ADE≌△BDF(AAS)，∴AE=BF，又∵BO∥AC，∴四边形AFBE是平行四边形；②点P（43，0），点Q（20【解析】【解答】解：（1）OA=22+232=4；

（2）∴AE=BE，∴平行四边形AFBE是菱形，∴AF=BF=AE=BE，∵点A(0，4)，点B(8，0)，∴OA=4=CD，OB=8=AC，∴B∴BF=5，∴AF=BF=AE=BE=5，∴OF=CE=3，当点P在OF上时，点Q在CE上时，四边形APBQ为平行四边形，∴BP=AQ，设运动时间为t秒，∴5+t-5=8-（0.8t-4），∴t=203∴BP=AQ=203∴OP=43∴点P（43，0），点Q（203，4）

【分析】（1）利用A点坐标根据勾股定理可求出OA的长；

（2）①根据平行四边形的性质可得AC∥BO，根据平行线的性质可得∠AEF=∠EFB，∠EAB=∠FBA，依据AAS判定△ADE≌△BDF可得AE=BF，根据平行四边形的判定即可求得；

②根据菱形的判定与