《高考备考指南 数学 》课件-第3讲 第1课时　导数在不等式中的应用

一元函数的导数及其应用第三章第3讲导数的综合应用(本讲对应系统复习P82)课标要求考情概览1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题.2.会利用导数解决某些简单的实际问题考点预测：函数与导数是高中数学的重要内容之一，常与其他知识相结合，形成难度不同的各类综合题型，常涉及的问题有：研究函数的性质(如函数的单调性、极值、最值)、研究函数的零点(或方程的根、曲线的交点)、求参数的取值范围、不等式的证明或恒成立问题、运用导数解决实际问题等.题型多变，属中、高档难度.学科素养：主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的能力1.导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来，方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究.2.导数在综合应用中使用转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题；(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题.1.(2023年西安模拟)已知函数f(x)＝ln2－x－x3，则不等式f(3－x2)＞f(2x－5)的解集为(

)A.(－4，2)B.(－∞，2)C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.(－∞，－4)∪(2，＋∞)D

D

C4.(2022年辽宁期末)(多选)已知函数f(x)＝4lnx－kx－k＋8，若关于x的不等式f(x)≤0恒成立，则k的取值可以为(

)A.1B.eC.4D.e25.已知函数f(x)＝kx－lnx(k＞0)，若函数f(x)有且只有一个零点，则实数k的值为

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第1课时导数在不等式中的应用(本课时对应系统复习P83)栏目导航0103素养微专直击高考02重难突破

能力提升配套训练重难突破能力提升1构造函数证明不等式

【解题技巧】一般地，要证f(x)＞g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式.若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可，若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可.

将不等式转化为两个函数的最值进行比较

【解题技巧】若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.本例中同时含ln

x与ex，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明.

不等式恒成立或能成立

解：(1)当a＝0时，f(x)＝(x－2)ex，f(0)＝－2，则f'(x)＝(x－1)ex，k＝f'(0)＝(0－1)e0＝－1.所以切线方程为y＋2＝－(x－0)，即x＋y＋2＝0.

【解题技巧】1.采用参数法来确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式.(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值.(3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围.2.将原不等式等价变形，通过巧妙构造函数，将不等式恒成立问题转化为最值问题.利用最值建立参数满足的不等式，解不等式即得参数范围.3.双变量的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换.

素养微专直击高考2

典例精析已知函数f(x)＝alnx－2x，若不等式f(x＋1)＞f(ex)在x∈(1，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是(

)A.a≤2B.a≥2C.a≤0D.0≤a≤2A

【点评】本题需要先证明1＜x＋1＜ex恒成立，不难