直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定

第一章三角形的证明2直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定目录CONTENTSA知识分点练B能力综合练C拓展探究练

知识点1

直角三角形的性质1.（2024·西安期中）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（

C

）C1234567891011121314152.（2024·榆林校级模拟）如图，一束光线MN先后经平面镜AC，

BC反射，反射光线PQ与MN平行，根据光的反射原理，∠1＝∠2，

∠3＝∠4.当∠1＝35°时，∠4的度数为（

B

）A.45°B.55°C.60°D.70°B1234567891011121314153.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，AB＝10，则△ABC的周

长为

⁠.24

[变式]

（易错）一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长

为

⁠.

1234567891011121314154.如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距

离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝

90°，AC＝2

km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB为

⁠.4

km

123456789101112131415知识点2

直角三角形的判定5.以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（

A

）A.1，

，2B.

，

，

C.5，6，7D.7，8，9A1234567891011121314156.（2024·西安校级月考）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别

记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（

B

）A.

∠A＋∠B＝∠CB.

∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5C.

a2＝c2－b2D.

a2∶b2∶c2＝5∶12∶17B1234567891011121314157.如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，D是

Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3.（1）求BC的长；

123456789101112131415（2）求证：△BCD是直角三角形.（2）证明：在△BCD中，∵CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2＋BD2＝BC2，∴△BCD是直角三角形.123456789101112131415知识点3

逆命题和逆定理8.下列说法错误的是（

B

）A.

任何命题都有逆命题B.

定理都有逆定理C.

命题的逆命题不一定正确D.

定理的逆定理一定正确B1234567891011121314159.命题“如果a＝b，那么｜a｜＝｜b｜”的逆命题是

⁠

，这个逆命题是

（填“真”或“假”）

命题.如果｜a｜

＝｜b｜，那么a＝b

假

123456789101112131415

10.（2024·渭南临渭区期末）有下列命题：①同旁内角互补，两直线平

行；②若a2＝b2，则a＝b；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对

顶角.它们的逆命题是真命题的个数是（

B

）A.4B.3C.2D.1B12345678910111213141511.如图，AB＝3，BC＝4，AC＝5，P是线段AC上一点，连接

PB，则PB的长不可能是（

C

）A.3.5B.2.5C.2D.3C12345678910111213141512.如图，在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格

点，点A，B，P均在格点上，则∠PAB＋∠PBA＝

.

45°

123456789101112131415变式题13.如图，将长方形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处.

若CE＝3，AB＝8，则BF＝

⁠.6

12345678910111213141514.如图，已知等腰三角形ABC的底边BC＝13，D是BA延长线上一

点，连接CD，且BD＝12，CD＝5.（1）判断△BDC的形状，并说明理由；解：（1）△BDC是直角三角形.理由如下：∵BD＝12，CD＝5，BC＝13，∴BD2＋CD2＝169＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴△BDC是直角三角形.123456789101112131415变式题（2）求△ABC的周长.（2）由（1），知∠BDC＝90°.∵△ABC是等腰三角形，BC为底边，∴AB＝AC.

设AB＝AC＝x，则AD＝BD－AB＝12－x.在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2，

123456789101112131415

15.

如图，四边形ABCD为某工厂的平面图，经测量AB＝BC＝AD

＝50

m，CD2＝7

500

m2，且∠ABC＝90°.（1）求∠DAB的度数.解：（1）如图，连接AC.

∵AB＝BC＝AD＝50

m，∠ABC＝90°，∴AC2＝AB2＋BC2＝5

000，△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°.∵AD2＝502＝2

500，CD2＝7

500

m2，∴AD2＋AC2＝CD2，∴∠DAC＝90°，∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝135°.123456789101112131415（2）若直线AB为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工

作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路AB的车辆通行情

况，且被监控的道路长度要超过68米，已知监控装置监控到AB所在直

线的最大范围为50米（包含50米），请问在点D处安装监控装置是否满

足需求？请说明理由.（2）满足需求.理由如下：如图，过点D作DE⊥BA于点E，作点A关于DE的对称点A'，连接DA'，∴∠DEA＝90°.∵∠DAB＝135°，∴∠DAE＝45°，∴DE＝AE，123456789101112131415∴在Rt△DEA中，DE2＋EA2＝AD2，

∵71

m＞68

m，∴在点D处安装监控装置满足需求.123456789101112131415谢谢观看第12题变式变式1如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶

点，则∠ABC的度数为（B

）A.30°B.45°C.60°D.90°变式1题图B变式2

（2024·西安校级月考）如图所示的网格是由9个相同的小正方

形拼成的，图形的各个顶点均在格点上，则∠2＋∠3的度数为（

B

）变式2题图A.30°B.45°C.55°D.60°B变式3在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E都是网格线

的交点，则∠ABC＋∠DAE的度数为（B

）变式3题图A.120°B.135°C.145°D.150°B第14题变式变式1如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积.

变式2如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4

米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，小区为美化

环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元.（1）连接AC，试说明△ABC是直角三角形；解：（1）∵∠ADC＝90°，∴AC2