理想流体动力学

第4章理想流体动力学

选择题

[4.1][4.1]如图等直径水管，4—A为过流断面，B—B为水平面，1、2、

3、4为面上各点，各点的运动参数有以下关系：（。）四=〃2；（b）

Z[4-

〃3=P4；(C)Pg

解：对于恒定渐变流过流断面上的动压强接静压强的分布规律，即

Z+—=CZ（+—=z2+—

y,故在同一过流断面上满足PS-pg（，）

[4.2]伯努利方程中pg2g表示（。）单位重量流体具有的机械能；

（/?）单位质量流体具有的机械能；（c）单位体积流体具有的机械能；

（d）通过过流断面流体的总机械能.

Pav2

z+—+----

解：伯努利方程Pg2g表示单位重量流体所具有的位置势能、压强势

能和动能之和或者是总机械能。故（。）

[4.3]水平放置的渐扩管，如忽略水头损失，断面形心的压强，有以下关系：

（。）Pi>P2；（b）P\=Pl.（c）Pl<P2；（d）不定。

解：水平放理的渐犷管由于断面1和2形心高度不变，但匕〈乂因此Pl<〃2

（C）

[4.4]粘性流体总水头线沿程的变化是：（。）沿程下降；（匕）沿程上升；

（。）保持水平；（〃）前三种情况都有可能。

解：粘性流体由于沿程有能量损失，因此息水头线沿程总是下降的（。）

[4.5]粘性流体测压管水头线沿程的变化是：（。）沿程下降：（〃）沿程上

升；（C）保持水平：（〃）前三种情况都有可能。

解：粘性流体测压管水头线表示单位重量流体所具有的势能，因此沿程的变化

是不一定的，

（d）

计算题

[4.6]如图，设一虹吸管a=2m,h=6m,d=\5cm<,试求：（1）管内的流量；（2）

管内最高点S的压强；（3）若〃不变，点S继续升高（即。增大，而

上端管口始终浸入水内），间使吸虹管内

的水不能连续流动的。值为多大。

解：（1）以水箱底面为基准，对自由液面上的点

1和虹吸管下端出口处2建立1-2流线伯努利

习^4.6图

方程，则

VV

Z7.d.--PHl---.---1-__Z7，+,-----1,----2--

y2g〜72g

其中Zj=z2+h

Pl=〃2=0,

匕二0

v2=y/2gh=J2x9.81x6=10.85%

则

Q=匕巳/=]085x±xO.152=0.192m/

管内体积流量-44/s

（2）以管口2处为基准，对自由液面1处及管内最高点S列1-S流

4+且+日一+区+且

线伯努利方程。则丫2gy2g

其中z}=hzx=h+y

pI=0v,=0

vs=v2=10.85m/s

10X52

Ps=r（-y一丁）=x（-2———）=-78.46kPa

即2g98072x9.81

即S点的真空压强P、=78.46kPa

（3）当才不变，S点y增大时，当S点的压强Ps等于水的汽化压强时，

此时s点发生水的汽化，管内的流动即中止。查表，在常温下（15

℃）水的汽化压强为1697Pa（绝对压强）以管口2为基准，列5—2点的伯

努利方程，

]入Vp.v}

z+—+—=z9+-4-^

y2gy2g

其中Zs=/?+），，Z2=0,

匕=.

亿=1697Pa,p2=101325Pa（大气绝对压强）

〃，一凡101325-1697A\r

y=--------h=----------------------6=10.16-6=4.16m

即y9807

本题要注意的是伯努利方程中两边的压强计示方式要相同，由于Ps为绝对压

强，因此出口处也要绝对压强。

[4.7]如图，两个紧靠的水箱逐级放水，放水孔的板面积分别为4与A2,

试问与加成什么关系时流动处于恒定状态，这时需在左边水箱补

充多大的流量。

解：以右箱出口处4为基准，对右箱自由液面3到出口处4列流线伯努利方程

二二小心+二

2gY2g

其中

z3=h2z4=0

P3=〃4=°

v3=0

则匕=场工

以左箱出口处2为基准，对左箱自由液面

1到出口处2列流线伯努利方程

其中Z]=z+4

Pi=(),1%=PNz=yz

V)=0

“2二网^

故

当流动处于恒定流动时，应有右箱出口处的流量和左水箱流入右

水箱的流量及补充入左水量的流量均相等，即匕A=匕42

即低逊:

A=（&）2

或者月A

且左水箱需补充的流量为Q=A1'2=AJ荻

本题要注意的是左水箱的水仅是流入右水箱，而不能从14直接列一条流线。

[4.8]如图，水从密闭容器中恒定出流，经一变截面管而流入大气中，已知

H=7m,〃=0.3al,A[=43=50cm2,A2=100cm2,^4=25cm2,若不计洗动

损失，试求：（1）各横而上的流速、流经管路的体积流量；（2）各截

面上的总水头。

解：（1）以管口4为基准，从密闭容器自由液面上0点到变板面管出口处4

列0—4流线伯努利方程，

其中z0=H,z4=0

Pc=P，〃4=0

%=0

匕=」2抵"+2)=,2x981x(7+3)=14

即V/

i_l£_

2g=2x9.81=10m

由连续性原理，由于A=4故匕=匕

又由于4匕=4/4

故

A.25....

v,=-V,=—X14=7m/s

3&50

习题4.8图由于A2y2=41’4

V-,=—v4=^-x14=3.5/

-A4100人

故

4m

.——.2=Av4=25xl0-xl4=0.035y

流经管路的体积流量44/s

(2)以管口为基准，该处总水头等于l°m,由于不计粘性损失，因此各截而

上总水头均等于10m。

[4.9]如图，在水箱侧壁同一铅垂线上开了上下两个小孔，若两股射流在O

点相交,试证明几4=3。

解：列容器自由液面0至小孔1及2流线的伯努利方程，可得到小孔处出流

速度u=J荻。此公式称托里拆利公式(Toricelli),它在形式上与初始速度

为零的自由落体运动一样，这是不考虑流沐粘性的结果。

1o

y=-g厂

由.2公式，分别算出流体下落)'距离所需的时间，其中

’2=

经过4及‘2时间后,两孔射流在某处相交，它们的水平距离相等,

|0即也”2,

h

\J其中匕二或瀛，匕二潟瀛，

因此腐肾烦榨

即心=〃2)’2

习题49国

[4.10]如图，Venluri管A处的直径Ji=20cm,B

处的直径-2=2cm。当阀门O关闭，问门C开启时测得U型压力计中

水银柱的差Zz=8mm，求此时Venturi管内的流量。又若将阀门C关闭，

阀门Q开启，利用管中的射流将真空容器内的压强减至10()mm(水

银柱)时，管内的流量应为多大。

解：由于本题流体是空气，因此忽略其重力。

从A至8两过流断面列总流伯努利方程

P±+YL^PJL+YL

y«2gya2g

PA-PR=

因此(〃)

若A,3处的板面面积各为4及As,由连续方程

4M=4%

A()72

匕二上匕二一万匕二100匕

得40.022AA

将上式代入(〃)式

*2g皿-PB)

(V丫

v1y4

九1一V

\vliJ

2x9.81x13.6x1(X)()x9.81x0.008

1.2x9.81

=1779

得Vl{=42.1m/s

Q=AnVI{=—xO.O2"x42.1=O.O132mz

则文丘里管中的流量4/s

倘若阀门C关闭，阀门D开启时，真空容器内的压强减至100mm水

银柱时，

2x9.81x13.6x1000x9.81x0.1”〜

V；=2g八二*-----------------------=22236

则Ya1.2x9.81

匕=149.1%

即

Q=4匕=-x0.022X149.1=0.0468m7

此时流量^

[4.11]如图，一呈上大下小的圆锥形状的储水池，底部有一泄流管，直径

4=0.6m,流量因数4=0.8,容器内初始水深〃=3m,水面直径Z)=60m,

当水位降落1.2m后，水而直径为48m,求此过程所需时间。

解：本题按小孔出流，设某时刻/时，水面已降至z处，

则由托里拆利公式，泄流管处的出流速度为

-=)2g(〃-z)=J2g(3-z)

60-48=

-5

储水池维度为2x1.2,因此当水面降至z处时，水面的直径为

。一2x5z=60—10z

由连续方程在山时间内流出的水量等于液面下降的水量

jnv—d2dt=—x(60-10z)2dz

44

(60-lOz)23

故虱3-反产

.(60-10z)2

J。"屈

________100「2(6-z)2比

-0.8X0.62X^X9.81G-z工

由于(6-Z)2=[3+(3-Z)]2=9+6(3—Z)+(3—Z)2

/=78.39x9(3-zp+6(3-z)24-(3-z)2dz

故

二1780秒=29.67分

本题从总的过程是非恒定流，若应用非恒定流的伯努利方程很复杂，为此将整

个过程微分,每个微分时间内作为恒定流来处理，然后应用积分的方法来求解。

如图，水箱通过宽8=0.9m,高H=1.2m的闸门往外泄流，闭门开口

的顶端距水面〃=0.6m。试计算(1)闭门开口的理论流量；(2)将开

口作为小孔处理时所引起的百分误差。

LI12

H()=h-\---=0.64-=1.2m

解：(1)由图22

H＞员

由于10,故本题应按大孔出流来处理，将大孔口，沿水平

方向分割成许多小孔，然后对于每一小孔按Torricelli定理

出流速度旷二’荻，小孔面积血=肉/[

理论出流量为dQ=WL4=B血赢h

\_

总出流量。邛*中师人八初：h^dh

2碟22I------32

=-B^h2\=-xO.9xV2x9.8lx(1.82-0.62)

3\ih3

=2.66x(2.41-0.46)=5.19以

(2)当按小孔出流处理时,

Q=Ay]2gH=0.9xl.2x,2x9.81x1.2=5.24吆

出流量Q

5.24-5.19

xl00%=l%

两者引起的相对误差为5.19

习:4.12图

[4,13]今想利用水箱4中水的流动来吸出水槽8中的水。水箱及管道各部

分的截面积及速度如图所示。试求（I）使最小截面处压强低于大气

压的条件：（2）从水槽8中把水吸出的条件。（在此假定

A«4）,A

以及与水箱A中流出的流量相比，从8中吸出的流量

为小量：）

解：（1）在4<<4及的假定下，本题可看作小孔出流

由Torricelli定理匕=J丽

以4处为基准，对水箱A自由液面及最小戒而A,建立总流伯努利方程

+%一心十匕2

2g/2g其中匕二°,P（/=0

h节嗓

故

v-

要使最小截面处压强P，低于大气压即为负值必须使2g

V,=^-V

由连续方程4%=4匕得'Ae

V2AVA2gh

h«<q=

故2g(AJ2g

=(3力

A,

得此时的条件应为

卜乙i

（2）若从水槽中吸出水时，需具备的条件为％<一丁4,或者/

将/2g代入

V2V2

即也法i或者…丞,V；板所

一二匕二匕

由于4匕J茄将上述不等式代入

&〉、兄

得A'h

[4.14]如图，一消防水枪，向上倾角0=30°水管直径。=i50mm,压力表读

数〃=3m水柱高，喷嘴直径d=75mm,求喷出流速，喷至最高点的高

程及在最高点的射流直径。

解：不计重力，对压力表截面1处至喷咀出口2处列伯努利方程

邑+止=乙+或

y2gy2g

旦=3m

其中y

*0

匕2-V；=2gx3=6g

y得⑷

22

-DVi=-dV.

另外，由连续方程44

得v=（a=（舒v

/、V,2-^-=6X9.81

上式代入（4）式得■16

因此匕=7.92m/s

设最高点位•置为Xnax,则根据质点的上抛运动有

（匕sina）2=2g%ax

射流至最高点时，仅有水平速度匕=%cos30；列喷咀出口处2至

最高点处3的伯努利方程（在大气中压强均为零）。

V2

­=0.8+

2g2g

匕=4V；-0.8x2g=V7.922-0.8x2x9.81=6.86m/s

得

或者水平速度始终是不变的匕=%cos30=7.92x0.866=6.86m/s

由连续方程，最高点射流直径〃为

变=萍

习题1.14图习3

[4,15]如图，水以V=10m/s的速度从内径为50mm的喷管中喷出，喷管的

一端则用螺栓固定在内径为100nlm水管的法兰上，如不计损失，试

求作用在连接螺栓上的拉力。

解：由连续方♦/="4

(50Y

=10x---=2.5m/s

1100；

对喷管的入口及出口列总流伯努利方程

P.邛_p

y2gy2g

其中/?=o

22222

px=-(V-V；)=O.5xlOOOX(1O-2.5)=46875N/m

得

取控制面，并建立坐标如图，设喷管对流体的作用力为Fo

动量定理为

z工打双匕凶

八

一尸+Pi工d：=]0G0x（一、）匕工d：+]000VV-6/；

即444

产=46875X-XO.12+1000x2.52x-xO.l2-1OOOxlO2x-x0.052

故444

=220.8N

则作用在连接螺栓上的拉力大小为220.8N方向同F方向相反.

[4.16]将一平板伸到水柱内，板面垂直于水柱的

轴线，水柱被截后的流动如图所示。已知水柱的流量

C=0.036m3/s,水柱的来流速度V=30m/s,若被截取的

流量Q=0.012m3/s,试确定水柱作用在板上的合力R

和水流的偏转角a（略去水的重量及粘性）。

解：设水柱的周围均为大气压。由于不计重力，因此由伯努

利方程可知V=M=匕=30m/s

由连续方程

2=0+Q2

3

Q2=Q-Q}=0.036-0.012=0.024m/s

习题4.16图取封闭的控制而如图，并建立工。）‘坐标，设平

板对射流柱的作用力为F（由于不考虑粘性，仅为压力）。由动量定

理

上方向：_尸二0（—。»+2。2匕850

即F=10X)x0.036x30-1000x0.024x30xcos3)

)'方向：0=pg2VSin674-/70(-1/)

Q,0.0121

sina=-L=-------=—

即Q?0.0242

故a=30

代入（〃）式斤二456.5N

即作用在板上合力大小为456.5N,方向与尸方向相反

一水射流对弯曲对称

叶片的冲击如图所示，试就下

而两种情况求射流对叶片的作

用力：（1）喷嘴和叶片都固定；

（2）喷嘴固定，叶片以速度u后

退。

解：（1）射流四周均为大气压，且不

计重力，由伯努利方程，各断面上

的流速均相同。取封闭控制面加图，

并建立坐标，

当叶片喷咀均固定时，设流体

受到叶片的作用力为产

由动量定理

YF^=\pvnvdA

R方向：A

-F=p(-C)v+2p—v(-cos(^--a)]

即2

=pGv(cosa-l)

F=p—t/2v2(l-cosez)

得4

兀

p—J2v2(l-cosa)

叶片受到射流对其作用力大小为4,方向与尸方向相反。

(2)当控制体在作匀速运动时，由于固结于控制体上的坐标系仍是惯性

系，在动量定理中只要将相对速度代替绝对速度即可。

现当叶片以〃速度后退，此时射流相对于团结于叶片上的控制面的相

对速度为匕="一"，因此叶片受到的力大小为

F'=p—i/2(v-u)2(l-cosa)

4

…,v=19.8iy,w=12n/,J=100mm,a=135o=

例如，当/s'/s时，

JT

F=1000X-X0.12X(19.8-12)2X(1-COS135S)

则4

=815.3N

[4.18]如图，锅炉省煤气的进口处测得烟气负压

/i/=10.5mmH2O,出口负压//2=20mmH2Oo如炉外空

\p=\.2kg/m3,烟气的密度//=0.6kg/nr‘，两测压断

面高度差〃=5m,试求烟气通过省煤气的压强损失。

解：本题要应用非空气流以相对压强表示的伯努利方程形

式。由进口断面1至出口断面2列伯努利方程

?+J+zz+2

/i^(n-/)(2-1)=P2yK+Ap

式中pi=-0,0105x9807=-102.97Pa

p2=-0.02x9807=-196.14Pa

匕=匕

故—102.97+9.81x(1.2—0.6)x(0-5)=-196.14+如

得△/?=63.74Pa

[4.19]如图，直径为d\=700mm的管道在支承水平面上分支为6/2=500mm的

两支管，A—A断曲的压强为7()kN/m2,管道流量Q=().6m3/s,两支管

流量相等。（1）不计水头损失，求支圾受的水平推力；（2）若水头损

失为支管流速水头的5倍，求支墩受的水平推力。（不考虑螺栓连接

的作用）

V=-^—=°6=1.56m/s

—d；—x0.7*

解：（1）在总管上过流断面上平均流速为44

在两支管上过流断面上平均流速为

Q

2"一=1.53m/s

兀1,71八-9

—d；—x0.5-

4-4

列理思流体的AfB断面的伯努利方程

Pi+守：=

式中p}=70kPa