工程数学“概率论与数理统计”测试题参考答案

工程数学“概率论与数理统计”测试题参考答案一、选择题1.设\(A\)、\(B\)为两个随机事件，且\(P(A)>0\)，\(P(B)>0\)，则\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)成立的充分必要条件是（）A.\(A\)与\(B\)互不相容B.\(A\)与\(B\)相互独立C.\(AB=\varnothing\)D.\(P(AB)=P(A)\)

答案：C

解析：根据概率的加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)P(AB)\)，当\(AB=\varnothing\)时，\(P(AB)=0\)，此时\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。

2.设随机变量\(X\)服从正态分布\(N(1,4)\)，已知\(\varPhi(1)=0.8413\)，则\(P\{1<X\leq3\}=\)（）A.\(0.6826\)B.\(0.8413\)C.\(0.9544\)D.\(0.9974\)

答案：A

解析：已知\(X\simN(1,4)\)，则\(\mu=1\)，\(\sigma=2\)。\(P\{1<X\leq3\}=P\{\frac{11}{2}<\frac{X1}{2}\leq\frac{31}{2}\}=P\{1<\frac{X1}{2}\leq1\}\)。

由正态分布的性质，\(P\{1<\frac{X1}{2}\leq1\}=\varPhi(1)\varPhi(1)\)，又因为\(\varPhi(x)=1\varPhi(x)\)，所以\(\varPhi(1)=1\varPhi(1)=10.8413=0.1587\)，则\(P\{1<X\leq3\}=0.84130.1587=0.6826\)。

3.设二维随机变量\((X,Y)\)的概率密度为\(f(x,y)=\begin{cases}kxy,&0\leqx\leq1,0\leqy\leq1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，则常数\(k=\)（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(4\)D.\(8\)

答案：C

解析：由概率密度的性质\(\int_{\infty}^{\infty}\int_{\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=1\)，可得：

\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}kxy\dxdy=1\)

\(k\int_{0}^{1}x\dx\int_{0}^{1}y\dy=1\)

\(k\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=1\)

解得\(k=4\)。

4.设随机变量\(X\)的分布函数为\(F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\frac{x}{2},&0\leqx<1\\\frac{3}{4},&1\leqx<2\\1,&x\geq2\end{cases}\)，则\(P\{X=1\}=\)（）A.\(0\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(1\)

答案：C

解析：\(P\{X=1\}=F(1)F(10)=\frac{3}{4}\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)。

5.设随机变量\(X\)和\(Y\)相互独立，且\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(1,1)\)，则（）A.\(P\{X+Y\leq0\}=\frac{1}{2}\)B.\(P\{X+Y\leq1\}=\frac{1}{2}\)C.\(P\{XY\leq0\}=\frac{1}{2}\)D.\(P\{XY\leq1\}=\frac{1}{2}\)

答案：B

解析：因为\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(1,1)\)且相互独立，所以\(X+Y\simN(1,2)\)。

\(P\{X+Y\leq1\}=\varPhi(\frac{11}{\sqrt{2}})=\varPhi(0)=\frac{1}{2}\)。

二、填空题1.已知\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(A\cupB)=0.6\)，则\(P(AB)=\)______。

答案：\(0.1\)

解析：根据概率的加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)P(AB)\)，可得\(P(AB)=P(A)+P(B)P(A\cupB)=0.4+0.30.6=0.1\)。

2.设随机变量\(X\)的概率分布为\(P\{X=k\}=\frac{C}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)，则常数\(C=\)______。

答案：\(e^{1}\)

解析：由概率分布的性质\(\sum_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=1\)，即\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C}{k!}=1\)。

因为\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=e\)，所以\(C=e^{1}\)。

3.设随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，且已知\(P\{X=1\}=P\{X=2\}\)，则\(\lambda=\)______。

答案：\(2\)

解析：泊松分布\(P\{X=k\}=\frac{e^{\lambda}\lambda^{k}}{k!}\)，已知\(P\{X=1\}=P\{X=2\}\)，则\(\frac{e^{\lambda}\lambda^{1}}{1!}=\frac{e^{\lambda}\lambda^{2}}{2!}\)，解得\(\lambda=2\)。

4.设随机变量\(X\)的期望\(E(X)=1\)，方差\(D(X)=4\)，则\(E(X^2)=\)______。

答案：\(5\)

解析：根据方差的计算公式\(D(X)=E(X^2)[E(X)]^2\)，可得\(E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=4+1^2=5\)。

5.设总体\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)为来自总体\(X\)的样本，样本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，则\(\overline{X}\sim\)______。

答案：\(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)

解析：这是正态总体样本均值的性质，若总体\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，则样本均值\(\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)。

三、计算题1.已知\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.6\)，\(P(B|A)=0.8\)，求\(P(A\cupB)\)和\(P(A|B)\)。

解：根据条件概率公式\(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\)，可得\(P(AB)=P(B|A)P(A)=0.8\times0.5=0.4\)。

再根据概率的加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.5+0.60.4=0.7\)。

又根据条件概率公式\(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{0.4}{0.6}=\frac{2}{3}\)。

2.设随机变量\(X\)的概率密度为\(f(x)=\begin{cases}ax+b,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，且\(E(X)=\frac{1}{3}\)，求\(a\)和\(b\)的值。

解：由概率密度的性质\(\int_{\infty}^{\infty}f(x)dx=1\)，可得：

\(\int_{0}^{1}(ax+b)dx=1\)

\([\frac{1}{2}ax^2+bx]_0^1=1\)

\(\frac{1}{2}a+b=1\)①

又因为\(E(X)=\int_{\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x(ax+b)dx=\frac{1}{3}\)，则：

\(\int_{0}^{1}(ax^2+bx)dx=\frac{1}{3}\)

\([\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2]_0^1=\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b=\frac{1}{3}\)②

联立①②可得方程组\(\begin{cases}\frac{1}{2}a+b=1\\\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b=\frac{1}{3}\end{cases}\)

由①式可得\(b=1\frac{1}{2}a\)，代入②式得：

\(\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}(1\frac{1}{2}a)=\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}\frac{1}{4}a=\frac{1}{3}\)

\(\frac{4a+63a}{12}=\frac{1}{3}\)

\(a+6=4\)

解得\(a=2\)

将\(a=2\)代入\(b=1\frac{1}{2}a\)得\(b=1\frac{1}{2}\times(2)=2\)。

3.设二维随机变量\((X,Y)\)的概率密度为\(f(x,y)=\begin{cases}e^{y},&0<x<y\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，求：（1）\(X\)的边缘概率密度\(f_X(x)\)；（2）\(P\{X+Y\leq1\}\)。

解：（1）求\(X\)的边缘概率密度\(f_X(x)\)：\(f_X(x)=\int_{\infty}^{\infty}f(x,y)dy\)当\(x\geq0\)时，\(f_X(x)=\int_{x}^{\infty}e^{y}dy=[e^{y}]_x^{\infty}=e^{x}\)；当\(x<0\)时，\(f_X(x)=0\)。所以\(f_X(x)=\begin{cases}e^{x},&x\geq0\\0,&x<0\end{cases}\)。

（2）求\(P\{X+Y\leq1\}\)：\(P\{X+Y\leq1\}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{x}^{1x}e^{y}dy\dx\)\(=\int_{0}^{\frac{1}{2}}[e^{y}]_x^{1x}dx\)\(=\int_{0}^{\frac{1}{2}}(e^{x}e^{(1x)})dx\)\(=[e^{x}e^{(1x)}]_0^{\frac{1}{2}}\)\(=(e^{\frac{1}{2}}e^{1})(e^{\frac{1}{2}}1)\)\(=1+e^{1}2e^{\frac{1}{2}}\)。

4.设总体\(X\)的概率密度为\(f(x)=\begin{cases}\thetax^{\theta1},&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，其中\(\theta>0\)为未知参数，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)为来自总体\(X\)的样本，求\(\theta\)的矩估计量和极大似然估计量。

解：（1）求矩估计量：先求总体\(X\)的期望\(E(X)\)：\(E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot\thetax^{\theta1}dx=\int_{0}^{1}\thetax^{\theta}dx=[\frac{\theta}{\theta+1}x^{\theta+1}]_0^1=\frac{\theta}{\theta+1}\)。令\(E(X)=\overline{X}\)，即\(\frac{\theta}{\theta+1}=\overline{X}\)，解得\(\theta=\frac{\overline{X}}{1\overline{X}}\)，所以\(\theta\)的矩估计量为\(\hat{\theta}=\frac{\overline{X}}{1\overline{X}}\)。

（2）求极大似然估计量：似然函数\(L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}\thetax_i^{\theta1}=\theta^n(\prod_{i=1}^{n}x_i)^{\theta1}\)，\(0<x_i<1\)，\(i=1,2,\cdots,n\)。取对数得\(\lnL(\theta)=n\ln\theta+(\theta1)\sum_{i=1}^{n}\lnx_i\)。对\(\lnL(\theta)\)求关于\(\theta\)的导数并令其为\(0\)：\(\frac{d\lnL(\theta)}{d\theta}=\frac{n}{\theta}+\sum_{i=1}^{n}\lnx_i=0\)解得\(\theta=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\lnx_i}\)，所以\(\theta\)的极大似然估计量为\(\hat{\theta}=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\lnX_i}\)。

四、证明题设随机变量\(X\)与\(Y\)相互独立，且都服从正态分布\(N(0,1)\)，证明\(Z=X^2+Y^2\)服从自由度为\(2\)的\(\chi^2\)分布。

证明：已知\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(0,1)\)，且\(X\)与\(Y\)相互独立。则\(X^2\)的概率密度