2024-2025学年广西贺州市昭平县九年级（上）期末数学试卷含解析

第1页（共1页）2024-2025学年广西贺州市昭平县九年级（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）1．（3分）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图“说法正确的是（）A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形2．（3分）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（）A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁3．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（1，4） D．（1，﹣4）4．（3分）反比例函数y=-2A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cosA的值为（）A．34 B．45 C．356．（3分）平面坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为（）A．（4，6） B．（6，4） C．（﹣4，﹣6） D．（﹣6，﹣4）7．（3分）如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积是（）A．90cm2 B．135cm2 C．150cm2 D．375cm28．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y29．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB=45，则A．3 B．6 C．8 D．910．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为（）A．12 B．1 C．4311．（3分）如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢（）A．（24﹣123）m B．（24﹣83）m C．（24﹣63）m D．（24﹣43）m12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A．30﹣4π B．30﹣16π C．303-4π 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。）13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为．14．（3分）若0°＜α＜45°，且sin2α=32，则α＝15．（3分）某校学生开展综合实践活动，如图，要测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°．（AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物CD的高为米．16．（3分）如图，点A为反比例函数y=-1x(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例y=4x(x＞0)三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明或演算步骤。）17．（8分）计算：4cos30°-tan45°+π18．（10分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．（2）当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．19．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．（1）实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．求证：AB与⊙D相切．20．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．（1）求BC的长；（2）求sin∠DAE的值．21．（10分）如图，矩形ABCD中，E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在AB上，B的对称点为G，PG交BC于H．（1）求证：△EDP∽△PCH；（2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长．22．（12分）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下：测绘过程与数据信息①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米；③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°；④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：（1）求线段CE和BC的长度；（2）求底座的底面ABCD的面积．23．（12分）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．（1）当x＝60时，p＝；（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．

2024-2025学年广西贺州市昭平县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）题号1234567891011答案BDBDCBDABBD题号12答案A一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）1．（3分）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图“说法正确的是（）A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答即可．【解答】解：该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选：B．2．（3分）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（）A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．【解答】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同，故选：D．3．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（1，4） D．（1，﹣4）【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4）．故选：B．4．（3分）反比例函数y=-2A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限【分析】反比例函数y=kx（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限；【解答】解：依题意可知k＝﹣2＜0，图象位于第二、四象限．故选：D．5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cosA的值为（）A．34 B．45 C．35【分析】根据锐角三角函数求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，所以cosA=AC故选：C．6．（3分）平面坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为（）A．（4，6） B．（6，4） C．（﹣4，﹣6） D．（﹣6，﹣4）【分析】根据旋转的性质及全等三角形的性质求解．【解答】解：过A作AC⊥y轴于点C，过A′作A′B⊥x轴于点B，则：AC＝4，CO＝6，∠ACO＝∠A′BO＝90°，∴∠A+∠AOC＝∠AOC+∠CAA′＝90°，∴∠A＝∠COA′，∵AO＝A′O，∴△AOC≌△A′OB（AAS），∴A′B＝AC＝4，OB＝OC＝6，∴A′（6，4），故选：B．7．（3分）如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积是（）A．90cm2 B．135cm2 C．150cm2 D．375cm2【分析】由题意可知△A1B1C1与△ABC是位似图形，根据位似图形的面积比等于位似比的平方可得答案．【解答】解：由题意可知，△A1B1C1与△ABC是位似图形，且位似比为：22+3∴△A1B1C1的面积是60÷(25)2故选：D．8．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．【解答】解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如图，∴对称轴是直线x＝﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB=45，则A．3 B．6 C．8 D．9【分析】过点A作BC的垂线，构造出直角三角形，再结合正弦的定义及等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，在Rt△ABM中，sinB=AM∴AM=5×4∴BM=5又∵AB＝AC，∴BC＝2BM＝6．故选：B．10．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为（）A．12 B．1 C．43【分析】利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出CE=14AC，证明△CEF∽△【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=12∵点E为OC的中点，∴CE=12OC=∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴EFAB=CE∴EF＝1，故选：B．11．（3分）如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢（）A．（24﹣123）m B．（24﹣83）m C．（24﹣63）m D．（24﹣43）m【分析】根据特殊直角三角形求出DE，CD和BE的长，从而得出减少用钢的长度．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC＝12，BD＝6，∴CD=63∵∠BED＝60°，∴DE=23，BE＝AE=4∴减少用钢为（AB+AC+BC+CD）﹣（AE+BE+AB+DE）＝AC+BC+CD﹣AE﹣BE﹣DE＝24-43（cm故选：D．12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A．30﹣4π B．30﹣16π C．303-4π 【分析】首先过点O作OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB，设BD＝BF＝x，AE＝AF＝y，利用切线长定理可得：y+2＝5，从而解出y＝3，利用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，可得三角形另外两边的长，再根据S阴影＝S△ABC﹣S⊙O计算即可．【解答】解：如图，过点O作OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB，垂足分别为D，E，F，∴∠ODE＝∠OEC＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形ODCE是矩形，∵OD＝OE＝OF＝2，∴四边形ODCE是正方形，∴OD＝DC＝CE＝OE＝2，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴设BD＝BF＝x，AE＝AF＝y，∴BC＝BD+CD＝x+2，AB＝BF+AF＝x+y，AC＝AE+CE＝y+2，∵AC＝5，∴y+2＝5，解得y＝3，∴AB＝x+3，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，52+（x+2）2＝（3+x）2，解得x＝10，∴BC＝x+2＝12，AB＝10+3＝13，∴S△ABC=1∴S阴影＝S△ABC﹣S⊙O＝30﹣4π．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。）13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为40°．【分析】由切线的性质得到∠BAC＝90°，由直角三角形的性质求出∠B＝90°﹣50°＝40．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，∴BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝50°，∴∠B＝90°﹣50°＝40°．故答案为：40°．14．（3分）若0°＜α＜45°，且sin2α=32，则α＝【分析】先根据60°的正弦值得到2α＝60°，则α＝30°，然后利用30度的正切值求解．【解答】解：∵sin2α=32，0°＜∴2α＝60°，∴α＝30°．故答案为：30．15．（3分）某校学生开展综合实践活动，如图，要测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°．（AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物CD的高为15米．【分析】作AE⊥CD于点E，在Rt△BCD中，用CD表示BD，在Rt△ACE中，用CD表示AE，再利用AE＝BD列方程即可求出CD．【解答】解：如图，作AE⊥CD于点E，四边形ABDE是矩形DE＝AB＝10米，AE＝BD，在Rt△BCD中，BD=CD在Rt△ACE中，AE=CEtan30°=∴3（CD﹣10）=33解得CD＝15，故答案为：15．16．（3分）如图，点A为反比例函数y=-1x(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例y=4x(x＞0)的图象交于点B【分析】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于点D，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于点D，∴S△ACO=12×1=12，S△BDO=∵OA⊥OB，∴∠AOC＝∠OBD＝90°﹣∠BOD，∴△AOC∽△OBD，∴S△ACOS△BDO∴OAOB故答案为：12三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明或演算步骤。）17．（8分）计算：4cos30°-tan45°+π【分析】先代入特殊角的三角函数值，计算零次幂，化简绝对值，再计算即可．【解答】解：原式=4×=23=318．（10分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．（2）当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．【分析】（1）根据待定系数法求解；（2）把R＝3Ω代入（1）中的解析式求解．【解答】解：（1）设I=U由题意得：U＝RI＝9×4＝36，∴这个反比例函数的解析式为I=36（2）电阻R为3Ω时，I=363=19．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．（1）实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．求证：AB与⊙D相切．【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．（2）过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE＝CD，则DE为⊙D的半径，结合切线的判定可知，AB与⊙D相切．【解答】（1）解：如图，AD即为所求．（2）证明：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝CD，∴DE为⊙D的半径，∴AB与⊙D相切．20．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．（1）求BC的长；（2）求sin∠DAE的值．【分析】（1）由tan∠ACB＝1可得CD＝AD＝6，根据勾股定理可得BD的长，进而求得BC的长；（2）根据AE是BC边上的中线可得CE的长，由DE＝CE﹣CD可得DE的长，根据勾股定理可得AE的长，再根据三角函数的定义解答即可．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，∴BD=A∵tan∠ACB＝1，∴CD＝AD＝6，∴BC＝BD+CD＝8+6＝14；（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=1∴DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1，∵AD⊥BC，∴AE=A∴sin∠DAE=DE21．（10分）如图，矩形ABCD中，E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在AB上，B的对称点为G，PG交BC于H．（1）求证：△EDP∽△PCH；（2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长．【分析】（1）由矩形的性质得∠D＝∠C＝90°，由折叠得∠EPG＝∠A＝90°，则∠DEP＝∠CPH＝90°﹣∠DPE，所以△EDP∽△PCH；（2）由CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，得PD＝PC＝1，PE＝AE＝3﹣ED，则12+ED2＝（3﹣ED）2，求得ED=43，则PE=53，由相似三角形的性质得PEHP=EDPC=【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∵将四边形ABFE沿EF翻折，点A的对称点P落在CD上，∴∠EPG＝∠A＝90°，∴∠DEP＝∠CPH＝90°﹣∠DPE，∴△EDP∽△PCH；（2）解：∵CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，P为CD中点，∴PD=PC=12CD=1，PE＝AE∵PD2+ED2＝PE2，∴12+ED2＝（3﹣ED）2，∴解得ED=4∴PE=3-4∵△EDP∽△PCH，∴PEHP∴HP=3∵PG＝AB＝2，∴GH=PG-HP=2-5∴GH长为3422．（12分）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下：测绘过程与数据信息①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米；③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°；④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：（1）求线段CE和BC的长度；（2）求底座的底面ABCD的面积．【分析】（1）根据题意得tan∠CFE=tan60.3°=CEEF≈1.75，即可确定CE长度，再由∠BFG＝45°得出BE（2）过点A作AM⊥GH于点M，继续利用正切函数确定AB＝ME＝6米，即可求解面积．【解答】解：（1）∵GH⊥CE，EF的长为4米，∠CFG＝60.3°，∴tan∠CFE=tan60.3°=CE∴CE＝7（米）；∵∠BFG＝45°，∴BE＝EF＝4米，∴CB＝CE﹣BE＝3（米）；（2）过点A作AM⊥GH于点M，如图所示：∵∠AFG＝21.8°，∴tan∠AFG=tan21.8°=AM∵AM＝BE＝4米，∴MF＝10米，∴AB＝ME＝10﹣4＝6米，∴底座的底面ABCD的面积为：3×6＝18（平方米）．23．（12分）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于5