八年级上册《最短路径问题》课件与练习

第十三章

轴对称13.4

最短路径问题

1.能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，培养从实际问题抽象出熟悉模型的方法，增强应用意识.2.体会图形的变换在解决最值问题中的作用，培养几何直观和模型观念.3.通过解决问题感悟转化思想,进一步获得数学活动的经验,增强数学的应用意识.学习重点：1.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”.2.利用轴对称和平移将造桥选址问题转化为“两点之间，线段最短”问题.学习难点：最短路径问题的解决思路及证明方法.1.如图，连接A，B两点的所有线中，哪条最短？为什么？AB①②③②最短，因为两点之间，线段最短.2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？PC最短，因为垂线段最短.PlABCD3.在以前学习过哪些有关线段大小的结论？三角形三边关系：两边之和大于第三边；斜边大于直角边.4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？AlA′“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.AB①②③PlABCD利用对称知识解决最短路径问题知识点1现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？C抽象成ABl数学问题作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.实际问题ABl

现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？

根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.解：连接AB,与直线l相交于一点C.问题1：AlBC学生活动一

【一起探究】如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决所走路径最短的问题？【思考】对于问题2，如何将点B“移”到l

的另一侧B′处，满足直线l

上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？ABl利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.问题2：作法：（1）作点B

关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l

相交于点C．则点C即为所求．ABlB′C你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C

不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC

最短．问题3：ABlB′CC′例1如图，已知点D,点E分别是等边三角形ABC中BC,AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5B．5C．4D．不能确定B最短路径问题的应用素养考点解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.而CE=AD.方法点拨此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，再根据已知条件求解.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）答案：DPQlA.MPQlB.MPQlC.MPQlD.M如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.解：如图，P点即为该点.例2如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）A解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．B′C′E方法点拨求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.

如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？BAABNM利用平移知识解决造桥选址问题知识点2

如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定桥的位置，才能使A到B的路径最短呢？BA●●学生活动二

【一起探究】BA●●

?NMNNMM【思考】我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？1.把A平移到岸边.2.把B平移到岸边.3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.BAＭＮBAＭＮA'B'1.把A平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了.2.把B平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了.BAＭＮ3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.AM+MN+BN长度有没有改变呢？BAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.BAA1MN理由:另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1.AM+MN+BN转化为AA1＋A1B，而AM1+M1N1+BN1转化为AA1＋A1N1+BN1.在△A1N1B中，因为A1N1+BN1＞A1B.因此AM1+M1N1+BN1

＞AM+MN+BN.A·BMNECD证明：由平移的性质，得BN∥EM

且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB

＞AM+MN+BN，故桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.解决最短路径问题的方法

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.方法点拨牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.A´B´PQ....如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD′,EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E′,D′.作DD′,EE′即为桥.理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′,同理，BE=GE′，由两点之间线段最短可知，GF最小.AD′CC′EE′BFGD原理线段公理和垂线段最短最短路径问题解题方法造桥选址问题关键是将固定线段“桥”和同侧点平移最短路径问题轴对称知识+线段公理解题方法思想化归思想

“两点的所有连线中，

最短”“连接直线外一点与直线上

⁠

的所有线段中，

最短”等的问题，我们称它们为最短路

径问题.线段各

点垂线段课后作业1.

如图，点

M

，

N

在直线

l

的同侧，小东同学想通过作图在直线

l

上确

定一点

Q

，使

MQ

与

QN

的和最小，那么下面的作图中，正确的是

(

C

)C

2.

如图，

A

和

B

两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥

MN

，使从

A

到

B

的路径

A

—

M

—

N

—

B

最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要

与河岸垂直)(

D

)

D3.

如图，△

ABC

是等边三角形，

AD

是

BC

边上的高，

E

是

AC

的中点，

P

是

AD

上的一个动点，当

PC

与

PE

的和最小时，∠

ACP

＝

⁠.30°

4.

作图(保留作图痕迹).(1)如图1，在直线

l

异侧有两点

A

，

B

，在直线上找一点

P

使点

P

到

A

，

B

两点的距离和最短；解：(1)如图1，连接

AB

交

l

于点

P

，则点

P

即为所求.(2)如图2，在直线

AB

同侧有两点

C

，

D

，在直线上找一点

P

使

PC

＋

PD

的长最短；解：(2)如图2，作点

C

关于直线

AB

的对称点C'，连接C'D，交

AB

于点

P

，则点

P

即为所求.(3)如图3，在∠

AOB

内部有一点

P

，在

OA

，

OB

上找出

E

，

F

两点，使

得以

E

，

F

，

P

三点为顶点的三角形的周长最短.解：(3)如图3，分别作点

P

关于

OA

的对称点

C

，点

P

关于

OB

的对称点

D

，连接

CD

，交

OA

于点

E

，交

OB

于点

F

，则点

E

，

F

即为所求.第十三章轴对称《13.4课题学习最短路径问题》同步练习

垂线段最短1.

已知在平面直角坐标系中点

M

(－4，2)，若点

N

是

y

轴上一动点，则

M

，

N

两点之间的距离最小值为(

C

)A.

－4B.

2C.

4D.

－2C

两点之间线段最短2.

A

，

B

是直线

l

上的两点，

P

是直线

l

上的任意一点，要使

PA

＋

PB

的

值最小，那么点

P

的位置应在(

A

)A.

线段

AB

上B.

线段

AB

的延长线上C.

线段

AB

的反向延长线上D.

直线

l

上A3.

如图，在平面直角坐标系中，有点

A

(－2，4)和

B

(4，2)，在

x

轴上取一点

P

，使点

P

到点

A

和点

B

的距离之和最小，则点

P

的坐标是(

B

)A.

(－2，0)B.

(2，0)C.

(0，－2)D.

(0，3)B【解析】如图，作点

A

关于

x

轴的对称点

C

，连接

BC

交

x

轴于点

P

，连

接

AP

，则此时

AP

＋

PB

的值最小，由图知

P

(2，0).4.

如图，在△

ABC

中，

AB

⊥

AC

，

AB

＝3，

BC

＝5，

AC

＝4，

EF

垂

直平分

BC

，

P

为直线

EF

上的任意一点，则△

ABP

周长的最小值是

(

C

)A.

12B.

6C.

7D.

8C【解析】∵

EF

垂直平分

BC

，

∴

B

，

C

关于

EF

对称，

设

AC

交

EF

于

点

D

，

∴当点

P

和点

D

重合时，

AP

＋

BP

的值最小，最小值等于

AC

的

长.∵

AB

＝3，

AC

＝4，∴△

ABP

周长的最小值是

AB

＋

AC

＝3＋4＝7.5.

如图，已知∠

AOB

的大小为α，

P

是∠

AOB

内部的一个定点，且

OP

＝5，点

E

，

F

分别是

OA

，

OB

上的动点，若△

PEF

周长的最小值等于

5，则α＝(

A

)A.

30°B.

45°C.

60°D.

90°A【解析】如图，分别作点

P

关于

OA

的对称点

C

，关于

OB

的对称点

D

，

连接

CD

，交

OA

于点

E

，

OB

于点

F

.

此时，△

PEF

的周长最小.连接

OC

，

OD

，

PE

，

PF

.

∵点

P

与点

C

关于

OA

对称，∴

OA

垂直平分

PC

.

∴∠

COA

＝∠

AOP

，

PE

＝

CE

，

OC

＝

OP

.

同理，可得∠

DOB

＝∠

BOP

，

PF

＝

DF

，

OD

＝

OP

.

∴∠

COA

＋∠

DOB

＝∠

AOP

＋∠

BOP

＝∠

AOB

＝α，

OC

＝

OD

＝

OP

＝5.∴∠

COD

＝2α.又∵△

PEF

的周长＝

PE

＋

EF

＋

FP

＝

CE

＋

EF

＋

FD

＝

CD

＝5，

∴

OC

＝

OD

＝

CD

＝5.∴△

COD

是等边三角形.∴2α＝60°.∴α＝30°.

垂线段最短和两点之间线段最短6.

如图，点

P

在锐角∠

AOB

的内部，在

OB

边上求作一点

D

，在

OA

边

上求作一点

C

.

(1)使

PD

＋

CD

最小，并说明依据的数学道理；解：(1)如图1所示，作点

P

关于直线

OB

的对称点

P

'，过点

P

'向直线

OA

作

垂线，垂足为

C

，与

OB

交于点

D

.

点

C

，

D

即为所求.原理：

PD

＋

CD

＝CP'，垂线段最短.(2)使

PD

＋

PC

＋

CD

最小，并说明依据的数学道理.解：(2)如图2所示，分别作点

P

关于直

线

OA

，

OB

的对称点P'，P''，连接

P'P''分别交

OA

，

OB

于点

C

，

D

，点

C

，

D

即为所求.原理：

PC

＋

PD

＋

CD

＝P'P''，两点之间，线段最短.

平移和轴对称解决最短问题7.

如图，已知

A

，

B

是两个定点，在定直线

l

上找两个动点

M

与

N

，且

MN

等于定长

d

(动点

M

位于动点

N

左侧)，使

AM

＋

MN

＋

NB

最小.解：如图，过点

A

作

l

的平行线l'，取

AA

'＝

d

，作点

B

关于

l

的对称点

B

'，连接

A

'

B

'交

l

于点

N

，连接

BN

，将

A

'

N

向左平移定长

d

得到

AM

，

点

M

，

N

即为所求.(根据平移和轴对称的性质可得

BN

＝

B

'

N

，

AM

＝

A

'

N

.

则

AM

＋

MN

＋

NB

＝

A

'

N

＋

B

'

N

＋

MN

＝

A

'

B

'＋

MN

，此时值

最小.)

8.

如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

BC

＝4，面积是16，

AC

的垂直平

分线

EF

分别交

AC

，

AB

于点

E

，

F

，若

D

为

BC

的中点，点

M

为线段

EF

上一动点，则△

CDM

的周长的最小值为(

C

)A.

6B.

8C.

10D.

12C【解析】如图，连接

AD

，

AM

.

∵

AB

＝

AC

，

D

是

BC

的中点，∴

AD

⊥

BC

.

9.

如图，在五边形

ABCDE

中，∠

AMN

＋∠

ANM

＝84°，∠

B

＝∠

E

＝90°，在

BC

，

DE

上分别找一点

M

，

N

，

当△

AMN

的周长最小时，∠

BAE

的度数为(

D

)A.

96°B.

106°C.

126°D.

138°D【解析】如图，分别作点

A

关于

BC

的对称点

P

，关于

DE

的对称点

Q

，

连接

PQ

与

BC

相交于点

M

，与

DE

相交于点

N

，∴

AM

＝

PM

，

AN

＝

QN

.

∴∠

P

＝∠

PAM

，∠

Q

＝∠

QAN

.

∴△

AMN

的周长＝

AM

＋

MN

＋

AN

＝

PM

＋

MN

＋

QN

＝

PQ

.

由轴对称确定最短路径，

PQ

的长度为△

AMN

的周长的最小值.∵∠

AMN

＝∠

P

＋∠

PAM

＝2∠

P

，∠

ANM

＝∠

Q

＋∠

QAN

＝2∠

Q

，∴∠

AMN

＋∠

ANM

＝2(∠

P

＋∠

Q

).∵∠

AMN

＋∠

ANM

＝84°，∴∠

P

＋∠

Q

＝42°，∴∠

BAE

＝180°－42°＝138°.10.

如图，∠

AOB

＝30°，∠

AOB

内有一定点

P

，且

OP

＝15，若在

OA

，

OB

上分别有动点

M

，

N

，则△

PMN

周长的最小值是

⁠.15

【解析】如图，作点

P

关于

OA

的对称点

D

，关于

OB

的对称点

E

，连接

DE

交

OA

于点

M

，交

OB

于点

N

，连接

PM

，

PN

，则此时△

PMN

的周

长最小，连接

OD

，

OE

，

OP

.

∵

P

，

D

关于

OA

对称，

∴

OD

＝

OP

，

PM

＝

DM

，

OA

⊥

PD

.

同理，

OE

＝

OP

，

PN

＝

EN

，∴

OD

＝

OE

＝

OP

＝15.∵

OD

＝

OP

，

OA

⊥

PD

，∴∠

DOA

＝∠

POA

.

同理，∠

POB

＝∠

EOB

，∴∠

DOE

＝2∠

AOB

＝2×30°＝60°.∵

OD

＝

OE

，∴△

DOE

是等边三角形.∴

DE

＝

OD

＝15.∴△

PMN

的周长是

PM

＋

MN

＋

PN

＝

DM

＋

MN

＋

EN

＝

DE

＝15.

11.

如图，已知∠

MON

内有一点

A

，

AB

⊥

OM

于点

B

，

AC

⊥

ON

于点

C

，点

E

，

F

分别为

OB

，

OC

上的动点，若∠

MON

＝50°，则当△

AEF

周长最小时，∠

EAF

的度数是多少.解：如图，分别作点

A