河南省确山县高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1 椭圆（1）教学实录 北师大版选修2-1

河南省确山县高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1椭圆（1）教学实录北师大版选修2-1主备人备课成员教材分析河南省确山县高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1椭圆（1）教学实录北师大版选修2-1。本节课以椭圆的定义和标准方程为核心，通过实例分析和几何作图，引导学生理解椭圆的性质和方程的推导过程，培养学生的几何思维和数学表达能力。教学内容与课本紧密相连，注重理论与实践相结合，旨在提高学生对圆锥曲线的理解和应用能力。核心素养目标培养学生运用几何直观和数学抽象能力，理解椭圆的定义和性质，掌握椭圆的标准方程及其几何意义。提升学生的逻辑推理和数学建模能力，通过解决实际问题，锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。同时，培养学生的数学运算能力和空间想象能力，提高学生合作交流与表达的能力。学情分析本节课面向的是高中一年级的学生，他们刚刚接触圆锥曲线这一章节的内容，对椭圆的概念和性质还处于初步理解阶段。在知识层面，学生已经具备了一定的平面几何知识，能够理解直线、圆等基本图形的性质和方程。然而，对于椭圆这一较为复杂的曲线，学生在理解其定义、性质以及方程的推导过程中可能会遇到困难。

在能力方面，学生的几何直观能力、逻辑推理能力和数学建模能力有待提高。他们需要通过直观的图形和具体的例子来理解椭圆的性质，并通过逻辑推理来掌握椭圆方程的推导过程。此外，学生在解决实际问题时，往往缺乏将数学知识应用于实际问题中的能力。

在素质方面，学生的合作交流能力和表达能力的培养也是本节课需要关注的重点。学生在课堂上需要积极参与讨论，能够清晰地表达自己的观点，同时也要学会倾听他人的意见，形成良好的合作学习氛围。

行为习惯方面，学生在课堂上普遍能够认真听讲，但在独立思考和解决问题时，部分学生可能存在依赖心理，缺乏主动探究的积极性。这可能会影响学生对椭圆性质和方程的深入理解。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、电脑）、几何画板软件、实物教具（椭圆模型）

-课程平台：学校内部网络教学平台、数学教学资源库

-信息化资源：椭圆性质及方程的相关教学视频、在线互动练习系统

-教学手段：PPT演示、几何画板动态演示、小组合作学习、课堂讨论教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对椭圆的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道什么是椭圆吗？它在生活中有哪些应用？”

展示一些关于椭圆的图片或视频片段，如地球的横截面、卫星的轨道、建筑设计等，让学生初步感受椭圆的魅力或特点。

简短介绍椭圆的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.椭圆基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解椭圆的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解椭圆的定义，包括中心、焦点、长轴、短轴等基本元素。

详细介绍椭圆的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.椭圆案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解椭圆的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的椭圆案例进行分析，如椭圆轨道、地球仪、建筑设计等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解椭圆的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用椭圆解决实际问题。

小组讨论：让学生分组讨论椭圆在科技、艺术、体育等领域的应用，并提出创新性的想法或建议。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与椭圆相关的主题进行深入讨论，如椭圆轨道设计、椭圆艺术作品分析等。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对椭圆的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调椭圆的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括椭圆的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调椭圆在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用椭圆。

布置课后作业：让学生完成一份关于椭圆性质和应用的小报告，包括自己设计的椭圆模型或对椭圆应用的思考。

教学过程中，教师应注重学生的主体地位，鼓励学生积极参与讨论和活动。同时，教师应适时提供反馈，帮助学生巩固知识点，提高学习效果。知识点梳理1.椭圆的定义与性质

-椭圆的定义：平面内到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹。

-椭圆的性质：椭圆的长轴和短轴长度关系，焦距与半长轴、半短轴的关系，离心率等。

2.椭圆的标准方程

-椭圆的标准方程：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（其中a是半长轴，b是半短轴）。

-特殊情况：当a=b时，椭圆退化为圆；当a>b时，焦点位于x轴上；当b>a时，焦点位于y轴上。

3.椭圆的几何作图

-利用椭圆的定义作图：通过两个定点和距离之和为常数的条件，找到椭圆上的点。

-利用椭圆的标准方程作图：通过已知半长轴和半短轴，画出椭圆的轨迹。

4.椭圆的简单应用

-椭圆在物理中的应用：卫星轨道、地球轨道等。

-椭圆在工程中的应用：建筑设计、光学设计等。

-椭圆在生活中的应用：汽车方向盘、门把手等的设计。

5.椭圆的方程推导

-利用椭圆的定义和距离公式推导椭圆的方程。

-利用椭圆的性质（如焦距与半长轴、半短轴的关系）推导椭圆的方程。

6.椭圆的参数方程

-椭圆的参数方程：\(x=a\cost\),\(y=b\sint\)（其中a是半长轴，b是半短轴，t是参数）。

-参数方程的意义：通过参数t的变化，描述椭圆上的所有点。

7.椭圆的对称性

-椭圆关于其主轴（长轴和短轴）的对称性。

-椭圆关于其通过焦点的直线的对称性。

8.椭圆的几何变换

-椭圆的平移变换：保持椭圆形状和大小不变，仅改变其位置。

-椭圆的旋转变换：保持椭圆形状和大小不变，仅改变其方向。

9.椭圆的几何性质应用

-利用椭圆的几何性质解决实际问题，如求椭圆上的点到焦点的距离、椭圆内接四边形的面积等。

10.椭圆与双曲线、抛物线的比较

-椭圆、双曲线和抛物线在定义、方程和几何性质上的异同。

-椭圆、双曲线和抛物线在实际应用中的区别。板书设计①椭圆定义与性质

-椭圆定义：平面内到两个定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。

-焦距：两个焦点之间的距离。

-长轴：椭圆上最长的线段，通过两个焦点。

-短轴：椭圆上最短的线段，垂直于长轴。

-离心率：\(e=\frac{c}{a}\)，其中c是焦距，a是半长轴。

②椭圆标准方程

-标准方程：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

-半长轴：a

-半短轴：b

-焦距与半长轴关系：\(c^2=a^2-b^2\)

③椭圆的几何作图

-利用定义作图：通过两个定点和距离之和为常数的条件找到椭圆上的点。

-利用标准方程作图：通过已知半长轴和半短轴画出椭圆的轨迹。

④椭圆的简单应用

-卫星轨道

-地球轨道

-建筑设计

-光学设计

-汽车方向盘

-门把手设计

⑤椭圆的方程推导

-利用椭圆定义和距离公式推导方程。

-利用椭圆的性质推导方程。

⑥椭圆的参数方程

-参数方程：\(x=a\cost\),\(y=b\sint\)

-参数t的意义：描述椭圆上的所有点。

⑦椭圆的对称性

-关于主轴对称

-关于通过焦点的直线对称

⑧椭圆的几何变换

-平移变换

-旋转变换

⑨椭圆的几何性质应用

-求点到焦点的距离

-椭圆内接四边形的面积

⑩椭圆与双曲线、抛物线的比较

-定义、方程、几何性质的异同

-实际应用的区别课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了椭圆的定义、性质、标准方程及其应用。通过实例分析和几何作图，我们理解了椭圆的几何特征，掌握了椭圆方程的推导过程，并探讨了椭圆在现实生活中的应用。

1.椭圆的定义：平面内到两个定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。

2.椭圆的性质：包括长轴、短轴、焦距、离心率等，以及它们之间的关系。

3.椭圆的标准方程：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a是半长轴，b是半短轴。

4.椭圆的几何作图：利用定义和标准方程进行椭圆的作图。

5.椭圆的应用：在物理、工程、生活等领域中的应用。

6.椭圆的方程推导：利用定义和几何性质推导椭圆的方程。

7.椭圆的参数方程：\(x=a\cost\),\(y=b\sint\)，参数t描述椭圆上的所有点。

8.椭圆的对称性：关于主轴和焦点的对称性。

9.椭圆的几何变换：平移和旋转变换。

10.椭圆的几何性质应用：解决实际问题，如求点到焦点的距离、椭圆内接四边形的面积等。

当堂检测：

1.请写出椭圆的标准方程，并说明其中的参数a和b分别代表什么。

2.画出椭圆的图形，并标出其长轴、短轴、焦点和离心率。

3.解释为什么椭圆的离心率总是小于1。

4.给出一个实际生活中的例子，说明椭圆的应用。

5.简述如何利用椭圆的定义和性质推导椭圆的标准方程。

6.请给出椭圆的参数方程，并解释参数t的几何意义。

7.解释椭圆关于其长轴和短轴的对称性。

8.如何通过旋转变换得到椭圆？

9.计算一个椭圆上任意点到两个焦点的距离之和。

10.一个椭圆的长轴长度为10，短轴长度为6，求椭圆的面积。典型例题讲解例题1：已知椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)，求椭圆的焦距。

解答：由椭圆的标准方程可知，\(a^2=16\)，\(b^2=9\)，所以\(a=4\)，\(b=3\)。由椭圆的性质，焦距\(c\)满足\(c^2=a^2-b^2\)，代入得\(c^2=16-9=7\)，因此\(c=\sqrt{7}\)。焦距\(2c=2\sqrt{7}\)。

例题2：在椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)中，若\(a=5\)，\(b=3\)，且椭圆的离心率为\(\frac{3}{5}\)，求椭圆的方程。

解答：由离心率的定义，\(e=\frac{c}{a}\)，已知\(e=\frac{3}{5}\)，\(a=5\)，所以\(c=3\)。由\(c^2=a^2-b^2\)，代入得\(b^2=a^2-c^2=25-9=16\)，因此\(b=4\)。椭圆的方程为\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)。

例题3：已知椭圆的一个焦点为\(F(0,1)\)，经过焦点且垂直于y轴的直线与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点为\(M(0,0)\)，求椭圆的方程。

解答：设椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(b^2=a^2-c^2\)，且焦点\(F(0,1)\)在y轴上，所以\(c=1\)。由于AB的中点为\(M(0,0)\)，直线AB的方程为\(x=0\)。将\(x=0\)代入椭圆方程得\(y^2=b^2\)，所以\(y=\pmb\)。因为\(F\)是AB的一个焦点，所以\(b=1\)。代入\(b^2=a^2-c^2\)得\(a^2=2\)，椭圆的方程为\(\frac{x^2}{2}+y^2=1\)。

例题4：已知椭圆的方程为\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，求椭圆上一点P到两个焦点的距离之和。

解答：由椭圆的性质，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即\(2a\)。由椭圆方程可知，\(a^2=9\)，所以\(a=3\)。因此，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为\(2\times3=6\)。

例题5：若椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的一个焦点为\(F(0,c)\)，且\(c^2=a^2-b^2\)，求椭圆上到直线\(y=-c\)的距离为\(b\)的点的坐标。

解答：设椭圆上到直线\(y=-c\)的距离为\(b\)的点为\(P(x,y)\)，则\(y=-c+b\)。将\(y\)代入椭圆方程得\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{(-c+b)^2}{b^2}=1\)。化简得\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{c^2-2bc+b^2}{b^2}=1\)。由\(c^2=a^2-b^2\)，代入得\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{2bc-b^2}{b^2}=1\)。进一步化简得\(\frac{x^2}{a^2}+2-1=1\)，即\(\frac{x^2}{a^2}=0\)。因此，\(x=0\)。所以点的坐标为\(P(0,-c+b)\)。教学反思与改进教学反思：

今天这节课，我们学习了椭圆的定义、性质、方程及其应用。在课堂上，我注意到学生们对椭圆的定义和性质的理解相对较好，但在推导椭圆方程和解决实际问题时，部分学生显得有些吃力。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注重以下几个方面：

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