2023九年级数学上册 第2章 一元二次方程2.5 一元二次方程的应用第2课时 利润问题教学实录 （新版）湘教版

2023九年级数学上册第2章一元二次方程2.5一元二次方程的应用第2课时利润问题教学实录（新版）湘教版课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析1.本节课的主要教学内容为：湘教版2023年九年级数学上册第2章一元二次方程2.5一元二次方程的应用第2课时，重点讲解利润问题。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课以一元二次方程的应用为载体，引导学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的数学思维能力和应用能力。与前章一元二次方程的解法及根与系数的关系等内容紧密相连，帮助学生巩固和深化对一元二次方程的理解。二、核心素养目标1.培养学生运用数学模型解决实际问题的能力。

2.增强学生的逻辑推理和抽象思维能力。

3.提升学生分析问题和解决问题的策略意识。

4.增强学生对数学与生活联系的认知，激发学习兴趣。三、学情分析九年级学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，对未知事物充满探索欲望。在数学学习方面，他们已经具备了一定的代数基础，能够解一元二次方程，对函数概念也有初步的认识。然而，由于个体差异，学生的数学学习层次存在一定差异。

知识方面，部分学生能够熟练掌握一元二次方程的解法，但对方程的应用理解不够深入，尤其是利润问题这类涉及实际情境的问题，往往难以将所学知识灵活运用。在能力上，学生的逻辑推理能力和抽象思维能力有待提高，这在解决复杂的一元二次方程应用问题时表现得尤为明显。

素质方面，学生的自主学习能力和合作学习能力参差不齐。部分学生能够独立完成学习任务，但缺乏与同伴交流合作的意识。在行为习惯上，部分学生存在依赖心理，遇到困难时容易放弃，缺乏坚持不懈的精神。

这些学情特点对课程学习产生了一定的影响。首先，教师在教学中需要关注学生的个体差异，因材施教，确保每个学生都能在原有基础上得到提高。其次，教师应注重培养学生的自主学习能力和合作学习能力，通过小组讨论、合作探究等方式，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效率。最后，教师应引导学生树立正确的学习态度，培养他们面对困难时不屈不挠的精神，为后续的数学学习打下坚实的基础。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有湘教版2023年九年级数学上册第2章相关教材。

2.辅助材料：准备与利润问题相关的图表、案例视频等多媒体资源，以辅助学生理解。

3.实验器材：无需实验器材。

4.教室布置：设置分组讨论区，提供白板和标记笔，方便学生小组合作和展示学习成果。五、教学流程一、导入新课（5分钟）

1.结合生活实例，提出问题：“一家工厂生产的产品，如果成本增加，销售价格如何调整才能保证利润不变？”

2.引导学生回顾一元二次方程的应用，提出本节课的学习目标：学习如何利用一元二次方程解决利润问题。

3.通过提问，激发学生的学习兴趣，明确本节课的学习内容。

二、新课讲授（15分钟）

1.讲解一元二次方程在利润问题中的应用：

a.介绍利润问题的基本概念，如成本、售价、利润等。

b.通过实例，展示如何建立一元二次方程模型来表示利润问题。

c.讲解如何求解一元二次方程，得出最优售价。

2.讲解利润问题的解法：

a.举例说明如何根据利润问题建立一元二次方程。

b.讲解求解一元二次方程的基本步骤，如配方、因式分解等。

c.通过实例，展示如何利用求根公式求解一元二次方程。

3.讲解利润问题的实际应用：

a.举例说明利润问题在实际生活中的应用，如商业活动、工程设计等。

b.分析利润问题在现实生活中的重要性，提高学生的认识。

c.引导学生思考如何将所学知识应用到实际生活中。

三、实践活动（20分钟）

1.学生独立完成练习题，巩固所学知识：

a.提供不同难度的练习题，让学生独立完成。

b.鼓励学生在遇到困难时，尝试运用所学知识解决问题。

c.鼓励学生互相讨论，共同提高。

2.学生分组讨论，分析实际问题：

a.将学生分成小组，每组选择一个实际问题进行讨论。

b.引导学生运用所学知识，建立一元二次方程模型。

c.鼓励学生提出不同的解题思路，培养学生的创新思维。

3.学生展示讨论成果，教师点评：

a.每组选派代表展示讨论成果，分享解题思路。

b.教师针对学生的展示，进行点评和总结。

c.鼓励学生提出疑问，共同解决。

四、学生小组讨论（10分钟）

1.举例回答：如何根据实际问题建立一元二次方程模型？

a.学生举例：一家工厂生产的产品，成本为100元，售价为150元，求利润。

b.学生讨论：成本、售价和利润之间的关系，如何用一元二次方程表示？

c.学生得出方程：利润=售价-成本，即P=150-100。

2.举例回答：如何求解一元二次方程？

a.学生举例：已知一元二次方程x^2-4x+3=0，求x的值。

b.学生讨论：因式分解、配方法、求根公式等求解方法。

c.学生得出答案：x=1或x=3。

3.举例回答：如何将所学知识应用到实际生活中？

a.学生举例：如何根据成本和售价，确定最优的折扣力度，以增加利润？

b.学生讨论：如何建立一元二次方程模型，求解最优折扣力度。

c.学生得出结论：通过调整折扣力度，可以实现利润最大化。

五、总结回顾（5分钟）

1.教师总结本节课的学习内容，强调一元二次方程在利润问题中的应用。

2.学生回顾所学知识，提出自己在学习过程中的疑问。

3.教师针对学生的疑问进行解答，巩固学生的知识。

教学时长：45分钟六、学生学习效果1.知识掌握情况：

-学生能够理解并掌握一元二次方程在利润问题中的应用，能够熟练地建立一元二次方程模型来表示利润问题。

-学生能够运用求根公式或因式分解等方法求解一元二次方程，并应用于解决实际问题。

-学生能够区分成本、售价和利润之间的关系，并能够根据这些关系建立正确的数学模型。

2.能力提升情况：

-学生在解决利润问题时，能够运用逻辑推理和抽象思维能力，分析问题、建立模型并找到解决方案。

-学生在小组讨论和实践活动中的合作能力得到提升，能够与同伴有效沟通和协作。

-学生通过实践活动，提高了自主学习和解决问题的能力，学会了如何将理论知识应用于实际情境。

3.思维发展情况：

-学生在解决问题的过程中，培养了数学思维，学会了如何从实际问题中抽象出数学模型，并运用数学方法进行分析。

-学生通过分析不同类型的利润问题，提高了思维的灵活性和创造性，能够从不同角度思考问题。

-学生在解决复杂问题时，学会了如何分解问题、逐步求解，培养了思维的条理性和系统性。

4.学习态度和习惯：

-学生在课程学习中，表现出积极的学习态度，对数学产生了更深的兴趣。

-学生通过实践活动，养成了良好的学习习惯，如认真听讲、积极参与讨论、独立思考等。

-学生在面对困难时，能够坚持不懈，勇于挑战自我，培养了克服困难的勇气和毅力。

5.实际应用能力：

-学生能够将所学知识应用于解决生活中的实际问题，如计算商品折扣、投资收益等。

-学生通过解决实际问题，提高了数学在生活中的实用性，增强了数学学习的价值感。

-学生在未来的学习和工作中，能够运用数学知识分析问题、做出决策，提高了自身的竞争力。

6.情感态度价值观：

-学生在课程学习中，体会到了数学的严谨性和逻辑性，培养了严谨求实的科学态度。

-学生在解决实际问题的过程中，学会了尊重他人、合作共赢的价值观。

-学生通过课程学习，认识到数学在人类社会发展中的重要作用，增强了民族自豪感和责任感。七、教学评价与反馈1.课堂表现：

-课堂参与度：观察学生在课堂上的发言次数和积极性，评估学生对知识的接受程度和参与讨论的主动性。

-问题回答：记录学生对问题的回答情况，分析其是否能够正确运用所学知识解答问题，以及解答的完整性和逻辑性。

-注意力集中度：通过学生的眼神交流、笔记记录和课堂互动来评估学生的注意力集中程度。

2.小组讨论成果展示：

-团队协作：评价学生在小组讨论中的合作能力，包括分工明确、沟通顺畅、共同解决问题的能力。

-创新思维：观察学生在讨论中提出的创新观点和解决问题的独特方法，评估其思维活跃度和创造性。

-展示技巧：评估学生在展示成果时的表达能力、逻辑性和对时间的控制能力。

3.随堂测试：

-理解程度：通过随堂测试检验学生对一元二次方程应用的理解程度，包括对概念、公式和模型的掌握。

-应用能力：测试学生是否能够将所学知识应用于解决新的利润问题，评估其实际应用能力。

-时间管理：观察学生在规定时间内完成测试的情况，评估其时间管理和应试技巧。

4.学生自评与互评：

-学生自评：鼓励学生在课后进行自我反思，评价自己在课堂上的表现，包括学习态度、参与程度和知识掌握情况。

-互评：组织学生进行互评，让学生相互评价在小组讨论和实践活动中的表现，促进学生的相互学习和成长。

5.教师评价与反馈：

-针对课堂表现：教师对学生的课堂表现给予具体反馈，包括优点和需要改进的地方，鼓励学生继续努力。

-针对小组讨论：教师对小组讨论的成果进行评价，指出讨论中的亮点和不足，提供改进建议。

-针对随堂测试：教师对学生的随堂测试成绩进行评价，分析错误原因，提供针对性的辅导。

-针对学生自评与互评：教师对学生的自评和互评给予指导，帮助学生正确认识自己的学习状况，并鼓励学生从同伴的评价中吸取经验。八、教学反思与总结今天这节课，我们通过一元二次方程的应用——利润问题，让学生们体验了一把数学与生活的紧密联系。总的来说，我觉得这节课还是有挺多收获的，但也发现了一些需要改进的地方。

首先，我在导入新课的时候，用了一个生活中的实例来激发学生的兴趣，感觉效果还不错。学生们对于这种贴近实际的问题比较感兴趣，能够积极地参与到课堂讨论中来。不过，我也注意到，有些学生对利润问题的背景知识掌握得不是很好，我在接下来的教学中可能需要更详细地解释一些相关概念。

在新课讲授环节，我尝试了三种不同的教学方法。首先，我通过实例展示了如何建立一元二次方程模型，让学生们看到了数学与实际问题的结合。然后，我讲解了求解一元二次方程的方法，这里我特别强调了因式分解和求根公式的重要性。最后，我让学生们自己动手解决一些练习题，以此来巩固所学知识。

在实践活动环节，我看到了学生们积极参与的态度。他们不仅能够独立完成练习，还能够和小组成员一起讨论，互相帮助。这种合作学习的方式，我觉得对学生的团队协作能力和解决问题的能力都有很大的帮助。不过，也有个别学生在讨论中显得比较被动，这可能需要我在今后的教学中更加关注到每个学生的参与度。

在小组讨论成果展示环节，学生们展示了自己解决问题的思路和方法，这让我很欣慰。他们能够将所学知识灵活运用到实际问题中，这证明了我们的教学是有效的。但是，我也发现有些学生在展示时，语言表达不够清晰，这可能是由于他们平时练习不够所致。

当然，这节课也存在一些不足。比如，个别学生对利润问题的背景知识掌握不足，我在今后的教学中需要加强这方面的教学；再比如，部分学生在小组讨论中参与度不高，我需要找到更好的方法来激发他们的积极性。重点题型整理1.**题型一：求最优售价**

-题目：某商品的成本为每件100元，售价为每件150元时，每月销售量为100件。为了扩大销售，商家决定降低售价，每降低1元，销售量增加10件。求商家为了实现每月利润达到20000元的最优售价。

-解答：

-设售价降低x元，则售价为150-x元，销售量为100+10x件。

-利润为（售价-成本）×销售量，即（150-x-100）×（100+10x）=20000。

-解得一元二次方程：10x^2-5x+1000=0。

-解得x=5或x=10。

-当x=5时，售价为145元；当x=10时，售价为140元。

-由于售价越低，销售量越大，因此最优售价为140元。

2.**题型二：求最低成本**

-题目：某工厂生产一批产品，每件产品的固定成本为10元，变动成本为每件5元。如果销售价格为每件20元，为了实现每月利润达到20000元，至少需要生产多少件产品？

-解答：

-设生产的产品数量为x件。

-利润为（售价-固定成本-变动成本）×销售量，即（20-10-5）×x=20000。

-解得一元二次方程：5x=20000。

-解得x=4000。

-因此，至少需要生产4000件产品。

3.**题型三：求最大利润**

-题目：某商家以每件50元的价格购进一批商品，为了促销，商家决定以每件60元的价格出售，但每降价1元，销售量增加10件。求商家为了实现每月利润达到30000元，最多可以降价多少元？

-解答：

-设降价x元，则售价为60-x元，销售量为10x+50件。

-利润为（售价-成本）×销售量，即（60-x-50）×（10x+50）=30000。

-解得一元二次方程：10x^2+100x-5000=0。

-解得x=10或x=-50（不合题意，舍去）。

-因此，最多可以降价10元。

4.**题型四：求最优定价策略**

-题目：某商品的成本为每件100元，售价为每件150元时，每月销售量为100件