人教版七年级数学下册第2课时三元一次方程组的应用教学设计

第2课时三元一次方程组的应用教学目标课题第2课时三元一次方程组的应用授课人素养目标会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高分析问题、通过建立方程组模型解决问题的能力．教学重点三元一次方程组的应用．教学难点由问题情境构建三元一次方程组，解三元一次方程组的方法选择.教学活动教学步骤师生活动活动一：悬疑设置，新课导入【设计意图】以学生熟悉的三角形进行举例为新课做铺垫.【问题引入】上节课我们学习了三元一次方程组的解法，现在我们来看下面这道题目：已知某个三角形的周长为18cm，其中两条边的长度之和等于第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的eq\f(1,3)，求这个三角形三边的长．这道题要用方程的知识来解决，题目中有3个相等关系，故需列出三元一次方程组．同学们，上面这个问题你会解答了吗？还想了解更多方程组的应用问题吗？让我们开始新课的学习吧！【教学建议】学生自主交流探索，不需解答，有解题思路即可．三角形的三条边长均未知，可顺其自然想到需设三个未知数，从而列三元一次方程组解决问题．活动二：交流合作，探究新知【设计意图】由问题条件抽象出三元一次方程组，从而应用其解决问题．探究点三元一次方程组的应用例1(教材P109例2)在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60.求a，b，c的值．问题1要想求a，b，c三个未知数的值，一般要列一个三元一次方程组，根据题意，你能否列出此方程组．根据题中给出的三组x，y的对应值，把它们代入等式y＝ax2＋bx＋c中，即可得到三个关于a，b，c的三元一次方程a－b＋c＝0，4a＋2b＋c＝3和25a＋5b＋c＝60，从而组成一个三元一次方程组问题2怎样消元解方程组最简便？观察方程组中三个未知数系数的特点，发现c的系数都是1，故先消去c最容易．问题3请写出解答过程．解：根据题意，得三元一次方程组②－①，得a＋b＝1.④③－①，得4a＋b＝10.⑤④与⑤组成二元一次方程组解这个方程组，得把a＝3，b＝－2代入①，得c＝－5.因此a，b，c的值分别为3，－2，－5.例2(教材P110例3)一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的eq\f(1,3).如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数．问题1如何设元可以正确地反映题目中的数量关系？直接设一个未知数表示这个三位数可以解题吗？把这个三位数各数位上的数看成三个未知数，可以正确地反映题目中的数量关系．直接设一个未知数表示这个三位数无法解题．问题2题目中有几个相等关系？请根据你在问题1中的设元方法将它们表示出来，并列出方程组．题目中有三个相等关系．设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.相等关系1：各数位上的数的和为14→x＋y＋z＝14；相等关系2：百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的eq\f(1,3)→2x－y＝eq\f(1,3)z；相等关系3：如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99→100z＋10y＋x＋99＝100x＋10y＋z.列得三元一次方程组问题3请根据你在问题2中列出的方程组继续完成本题的解答．【对应训练】1．尝试解决活动一中的问题．2．教材P111练习第1，2题．【教学建议】教师引导学生观察未知数系数的关系，考虑解此类由三个一次方程组成的方程组时，怎么消元，先消哪个元，可使过程更简便．【教学建议】通过设问逐步引导学生列出三元一次方程组，从而解决实际问题．数字问题是方程学习中的经典问题，通过三位数的三个数位，学生容易想到可设三个元，并发掘题目中隐含的三个相等关系，从而列出方程组．活动三：变式训练，灵活运用【设计意图】考查根据题意构造三元一次方程组解题，巩固本节课所学.例3若(a＋2c－2)2＋|4b－3c－4|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－4b－1))＝0，其中a，b，c是有理数，试求a，b，c的值．【教学建议】学生自主完成解题，教师根据学生的完成情况进行有针对性的点评．解此类题时要注意审题，明确题意是隐含列三元一次方程组，并能够正确地计算出结果．活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子(或“随堂作业”册子)相应课时【随堂训练】．【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：你能根据实际问题中的相等关系构建三元一次方程组吗？能解决实际问题吗？【知识结构】【作业布置】1．教材P111习题10.4第3，4，5题．2．《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计第2课时三元一次方程组的应用1．构造三元一次方程组求待定系数的值．2．构建三元一次方程组模型解决实际问题．教学反思本节课是上节课的运用，在之前学过了三元一次方程组的解法之后，代入到实际背景中进行体现，既巩固了之前所学，也使学生感受到数学在实际生活中是无处不在的．本节课是对本章学习的一个收尾，教学中要引导学生在练习中体会贯穿本章的“消元”思想，主动思考，自己做学习的主人.解题大招三元一次方程组的应用在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个相等关系列几个方程．例果园里共种有苹果、梨、桃三种果树100棵，苹果树棵数、梨树棵数、桃树棵数的比为7∶8∶10.丰收后苹果的总产量和梨的总产量的比是7∶6，已知平均每棵桃树的产量是60kg，比平均每棵苹果树的产量少eq\f(1,7).(1)果园里苹果树、梨树与桃树各有多少棵？(2)丰收后果园里苹果的总产量和梨的总产量分别是多少千克？解：(1)设果园里苹果树有x棵，梨树有y棵，桃树有z棵．根据题意，得解这个方程组，得答：果园里