结构力学：第十四章 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动

1§14-7多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动y1(t)y2(t)P1(t)P2(t)在平稳阶段，各质点也作简谐振动：Y1=D1/D0Y2=D2/D0如果荷载频率θ与任一个自振频率ω1、ω2重合，则D0=0,当D1、D2不全为零时，则出现共振现象....2m2m1k2k1例：质量集中在楼层上m1、m2

，层间侧移刚度为k1、k2解：荷载幅值：P1=P，P2=0，求刚度系数：k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2当m1=m2=m，k1=k2=k33.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.03.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0两个质点的位移动力系数不同。当

趋于无穷大。可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。也有例外情况

4l/3l/3l/3mmPsinθtPsinθt如图示对称结构在对称荷载作用下。与ω2相应的振型是12k2211mkw--2212YY==－1当θ=ω2

，D0=0，也有：不会趋于无穷大，不发生共振，共振区只有一个。

对称体系在对称荷载作用下时，只有当荷载频率与对称主振型的自振频率相等时才发生共振；当荷载频率与反对称主振型的自振频率相等时不会发生共振。同理可知：对称体系在反对称荷载作用下时，只有当荷载频率与反对称主振型的自振频率相等时才发生共振。

5kkPyst1yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力yst1=yst2=P/k层间剪力:

Qst1=P动荷载产生的位移幅值和内力幅值θ2mY2θ2mY1由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。层间动剪力:6例15-9：m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2

，层间侧移刚度为k1、k2k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2m1k1m2k2这说明在右图结构上，适当加以m2、k2系统可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。

吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。设计吸振器时，先根据m2的许可振幅Y2，选定，再确定7例：如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点产生的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN，问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm)Psinθt解：1）频率比在共振区之内应设置吸振器。2）由k2m2弹簧刚度系数为：N/m=102kg8§14-10计算频率的近似法1、能量法求第一频率——Rayleigh法

根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能T和应变能U

之和应等于常数。根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得：Umax=Tmax

ω求Umax

，Tmax

求频率

如梁上还有集中质量mi，位移幅值.Yi为集中质量mi处的位移幅值。9假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：1、必须满足运动边界条件：（铰支端：Y=0；固定端：Y=0，Y´=0）

尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第

n

主振型相似，则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形式。曲率小，拐点少。4、通常可取结构在某个静荷载q（x）（如自重）作用下的弹性曲线作为Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q（x）所作的功来代替，即102）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)例12试求等截面简支梁的第一频率。

1）假设位移形状函数为抛物线lyx满足边界条件且与第一振型相近3）假设第一振型的精确解。精确解11xh0l例13求楔形悬臂梁的自振频率。设梁截面宽度为1，高度为h=h0x/l。解：单位长度的质量：设位移形状函数：满足边界条件：

Rayleigh

法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。截面惯性矩：相比误差为3%与精确解12

1、假设多个近似振型都满足前述两个条件。2、将它们进行线性组合（a1、a2、·········、an是待定常数）nnaaaxY┉+++=2211)(jjj

3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的Y（x）代入频率计算公式中得到的ω2的值虽仍比精确解偏高，但对所有的a1，a2，…，an的可能组合，确实获得了最小的ω2值。所选的a1，a2，…，an使ω2获得最小值的条件是这是以a1，a2，…，an为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低n

阶频率来。阶次越低往往越准。

为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附加的约束，Ritz

提出了改进方法：132w2w2w2w2w14例14用Rayleigh—Ritz

法求等截面悬臂梁的最初几个频率。xl解：悬臂梁的位移边界条件为：（在左端）Y’=0Y=0只取第一项代入：代入频率方程：其精确解：与精确解相比，误差为27%。15例14用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。xl解：取两项代入：代入频率方程：求得kij，mij：求得最初两个频率近似值：（0.48%）（58%）说明说明：1)由于φ1、φ2均近似于第一振型，由它们组合的第二振型自然很差，故第二频率不准。

2)Rayleigh—Ritz法所得结果仍然偏高，其原因同瑞利法。162、集中质量法

在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效的集中质量法。该法既可求基本频率，也可求较高频率。且适用于各类结构。集中质量的数目越多结果越精确，但工作量也就越大。等效原则：使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者的合力相等。作法：将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。l例15试