2024-2025学年天津市经开一中强基班高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市经开一中强基班高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知两点F1(−2,0)、F2(2,0)，且|F1F2|是A.x24+y23=1 B.2.已知圆(x−1)2+(y−1)2=r2A.x+y−4=0 B.x+y=0 C.x−y=0 D.x−y−4=03.下列导数运算正确的是(

)A.(sinx)′=−cosx B.(3x)′=3x

4.如图，已知三棱锥A−BCD的每条棱的长度都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则EF⋅EG=(

)A.14

B.12

C.25.已知在等差数列{an}中，a4+a8A.8 B.10 C.14 D.166.如图是函数f(x)的导函数y=f′(x)的图象，则下列说法一定正确的是(

)

A.x=x3是函数f(x)的极小值点

B.当x=x2或x=x4时，函数f(x)的值为0

C.函数f(x)的图象关于点(0,c)对称

7.已知数列{an}的前n项之和Sn=nA.61 B.65 C.67 D.688.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,A.43 B.53 C.2 9.已知函数f(x)=x(lnx−ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(

)A.(−∞,0) B.(0,12) C.(0,1)10.某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算(复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息)，则每年应该存入约(    )万元.(参考数据：1.027≈1.149，A.5.3 B.4.6 C.7.8 D.6二、多选题：本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。11.设等差数列{an}的前n项的和为Sn，公差为d，已知a3=12，SA.S5=60 B.−4<d<−72

C.a6>0 12.对于函数f(x)=lnxx，下列说法正确的是(

)A.f(x)在x=e取得极小值1e

B.f(x)有一个零点

C.f(1)<f(3)<f(π)

D.若f(x)<x−k在(0,+∞)上恒成立，则三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。13.设函数f(x)=x+lnx，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______．14.已知直线l1：x+ay=1，l2：ax+y=1，若l1//l2，则l115.23，415，635，863，109916.已知直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，D为坐标原点，且OA⊥OB，OD⊥AB于点D，点D的坐标为(1,2)，则p=______．17.已知等比数列{an}满足：a1+a2=20，a2+a3=80.数列{18.已知函数f(x)=1+lnx,x≥112x+12,x<1，若x四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题12分)

如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点，解答以下问题：

(1)证明：直线MN//平面OCD；

(2)求直线AC与平面OCD所成角的余弦值．

(3)求点N到平面OCD的距离．20.(本小题12分)

如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,−1)，且离心率为22．

(I)求椭圆E的方程；

(II)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点21.(本小题12分)

已知数列{an}的前n项和Sn=12n2+12n(n∈N∗)，{bn}是公比大于n的等比数列，且满足b1=a3，b2+b3=36．

(Ⅰ)求{a22.(本小题12分)

已知函数f(x)=lnx−ax+1(a∈R)．

(1)当a=1时，求函数f(x)的极大值；

(2)若对任意的x∈(0,+∞)，都有f(x)≤2x成立，求a的取值范围；

(3)设ℎ(x)=f(x)+ax，对任意的x1，x2∈(0,+∞)，且x1>参考答案1.D

2.A

3.C

4.A

5.D

6.D

7.C

8.B

9.B

10.A

11.AC

12.BD

13.2x−y−1=0

14.215.2n(2n−1)(2n+1)16.5217.31018.[3−2ln2,+∞)

19.(1)证明：在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，则AB，AD，AO两两垂直，

以A为坐标原点，AB，AD，AO所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

由OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点，

得A(0,0,0)，M(0,0,1)，N(2,1,0)，O(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，

即MN=(2,1,−1)，OC=(2,2,−2)，OD=(0,2,−2)，

设平面OCD的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅OC=2x+2y−2z=0n⋅OD=2y−2z=0，

取z=1，得n=(0,1,1)，则n⋅MN=1−1=0，MN⊄平面OCD，所以直线MN/​/平面OCD．

(2)解：由(1)知，AC=(2,2,0)，且平面OCD的一个法向量为n=(0,1,1)，

设直线AC与平面OCD所成角为θ，则sinθ=|cos〈n,AC〉|=|n⋅AC||n||AC20.解：(Ⅰ)由题意知ca=22，b=1，结合a2=b2+c2，解得a=2，

∴椭圆的方程为x22+y2=1；

(Ⅱ)由题设知，直线PQ的方程为y=k(x−1)+1(k≠2)，代入x22+y2=1，得

(1+2k2)x221.解：(Ⅰ)当n≥2时，Sn−1=12(n−1)2+12(n−1)=12n2−12n，

∴an=Sn−Sn−1=n，又a1=S1=1，

∴当n∈N∗时，an=n，

设数列{bn}的公比为q，

∴q>0,b1=a3=3,3q+3q2=36，

解得q=3，

∴bn=3n；

证明：(Ⅱ)∵1a2n−122.(1)解：a=1时，f(x)=lnx−x+1，(x>0)，f′(x)=1x−1=−x−1x，

∴0<x<1时，函数f(x)单调递增；1<x时，函数f(x)单调递减．

因此x=1时函数f(x)取得极大值，f(1)=0．

(2)解：f(x)≤2x化为：a≥lnx+1x−2=g(x)，

g′(x)=−lnxx2，可知：x∈(0,1)时，g′(x)>0，函数g(