2025年中考数学总复习《分式方程》专项检测卷附答案

第第页2025年中考数学总复习《分式方程》专项检测卷附答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．（2024秋•碧江区期末）某物流公司运送一批货物，若用普通列车送到800千米的某城市，所需时间比规定时间多用2小时；若改为高速列车派送，则所需时间比规定时间少用3小时，已知高速列车的速度是普通列车的52倍，则规定送达时间是多少？设规定时间为xA．800x+2=52C．800x−2=22．（2024秋•三台县期末）关于x的不等式组3x−3≤2x+4x−a≤2x−3a的解中至少包含三个整数，且关于y的分式方程2y−2ay−1=A．﹣18 B．18 C．﹣9 D．93．（2024秋•海港区期末）习近平总书记强调“搞好城市内绿化，使城市适宜绿化的地方都绿起来”，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标．我省继续推进塞罕坝造林工程，工程队计划种植75000棵树苗，已知“…”．设计划每天植树x棵，则可得到方程75000xA．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了25%，实际绿化工程比计划提前五天完成 B．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了25%，实际绿化工程比计划延期五天完成 C．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了25%，实际绿化工程比计划提前五天完成 D．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了25%，实际绿化工程比计划延期五天完成4．（2024秋•巩义市期末）中老铁路项目的建设是“一带一路”的标志性体现，该铁路磨丁站与万象站相距约422千米，且较公路缩短了148千米，铁路出行较驾车出行用时缩短了约4.5小时，若该铁路上动车的平均速度是汽车的2倍．设汽车的速度为x千米/时，可列方程为（）A．422−148x+4222xC．4222x−422+1485．（2024秋•三台县期末）关于x的分式方程ax+2x−a=2的解为x＝2，则A．0.5 B．1 C．1.5 D．2.56．（2025•长沙一模）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（）A．6210x−1=3(x−1) B．C．6210x−1=3x 7．（2024秋•张店区期末）如果两个实数a，b使得关于x的分式方程ax+1=b的解是x=1a+b成立，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程ax+1=b的一个“关联数对”，如：a＝2，b＝﹣5使得关于x的分式方程2x+1=−5的解是x=1A．[﹣4，﹣6] B．[﹣2，4] C．[2，2] D．[3，﹣5]8．（2024秋•福山区期末）关于x的分式方程mx−1+3A．m＞2且m≠3 B．m＞2 C．m≥2且m≠3 D．m≥29．（2024秋•曲阜市期末）若关于x的分式方程x−1x−2−2=mA．2 B．0 C．1 D．﹣110．（2024秋•福山区期末）分式方程1x−2A．1﹣（1﹣x）＝1 B．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 C．1+（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（l﹣x）＝1二．填空题（共5小题）11．（2024秋•海港区期末）某船往返于某段河流，顺流航行66千米与逆流航行60千米用时相同，已知水流速度为每小时1千米．设船的静水速度是每小时x千米，根据题意，可得方程为．12．（2024秋•三台县期末）使得2（x﹣1）﹣1和3（x+2）﹣1相等的x的值为．13．（2025•鹿城区校级一模）分式方程1x+1=2的解是14．（2024秋•绥化期末）已知关于x的分式方程kx−2−32−x=115．（2024秋•玉环市期末）如果关于x的分式方程2x−mx+1=1的解是负数，那么实数m的取值范围是三．解答题（共5小题）16．（2024秋•徐水区期末）解分式方程：（1）3x+1（2）32(x−2)17．（2024秋•邗江区校级期末）已知关于x的分式方程1−mx−1−1=218．（2024秋•徐水区期末）列分式方程解应用题在杭州第19届亚运会上，中国女篮第七次获得亚运会冠军，女篮运动员的拼搏精神激励了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，需要购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价．19．（2024秋•老河口市期末）随着电子技术的快速发展，小型无人机越来越受到孩子们的青睐，“元旦”前夕，某玩具商店用2400元购进一批小型无人机，销售时发现供不应求，销售完后又用6400元购进一批同型号的小型无人机，已知第二批小型无人机的数量是第一批的2倍，且单价比第一批贵10元．（1）第一批小型无人机的单价是多少元？（2）若两次购进的小型无人机按同一价格销售，要使小型无人机全部售完后利润不少于3200元，那么销售单价至少为多少元？20．（2024秋•微山县期末）春节来临，某工厂计划购买A，B两种工艺品共200件用以奖励优秀员工．已知A种工艺品的单价比B种工艺品的单价高50元，用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同．（1）求A，B两种工艺品的单价各为多少元？（2）若该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，请你帮助工厂计算出共有几种购买方案？参考答案与试题解析题号12345678910答案AAABABDACC一．选择题（共10小题）1．（2024秋•碧江区期末）某物流公司运送一批货物，若用普通列车送到800千米的某城市，所需时间比规定时间多用2小时；若改为高速列车派送，则所需时间比规定时间少用3小时，已知高速列车的速度是普通列车的52倍，则规定送达时间是多少？设规定时间为xA．800x+2=52C．800x−2=2【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】根据普通列车、高速列车运送所需时间与规定时间之间的关系，可得出用普通列车运送所需时间为（x+2）天，高速列车运送所需时间为（x﹣3）天，利用速度＝路程÷时间，结合高速列车的速度是普通列车的倍，即可列出关于x的分式方程．【解答】解：根据普通列车、高速列车运送所需时间与规定时间之间的关系，可得出用普通列车运送所需时间为（x+2）天，高速列车运送所需时间为（x﹣3）天，利用速度＝路程÷时间可得：800x+2故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，理解题意是关键．2．（2024秋•三台县期末）关于x的不等式组3x−3≤2x+4x−a≤2x−3a的解中至少包含三个整数，且关于y的分式方程2y−2ay−1=A．﹣18 B．18 C．﹣9 D．9【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】A【分析】依据题意，先解两个不等式，再根据不等式组至少有3个整数解得到a≤52，再解分式方程确定【解答】解：解不等式3x﹣3≤2x+4，∴x≤7．解不等式x﹣a≤2x﹣3a，∴x≥2a．∵关于x的不等式组至少有三个整数解，∴2a≤5．∴a≤5由题意得，分式方程2y−2ay−1=3y−51−y∵关于y的分式方程2y−2ay−1∴2a+33=1+23a≥﹣6，且∴a≥−212，且又∵a≤5∴﹣10.5≤a≤2.5，且a为3的倍数，且a≠0，∴所有满足条件的整数a有：a＝﹣9，﹣6，﹣3．∴所有满足条件的整数a的值之和为﹣9﹣6﹣3＝﹣18，故选：A．【点评】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．3．（2024秋•海港区期末）习近平总书记强调“搞好城市内绿化，使城市适宜绿化的地方都绿起来”，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标．我省继续推进塞罕坝造林工程，工程队计划种植75000棵树苗，已知“…”．设计划每天植树x棵，则可得到方程75000xA．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了25%，实际绿化工程比计划提前五天完成 B．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了25%，实际绿化工程比计划延期五天完成 C．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了25%，实际绿化工程比计划提前五天完成 D．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了25%，实际绿化工程比计划延期五天完成【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】根据所列方程中各部分的含义推断出所欠缺的条件，即可解答．【解答】解：题中“…”表示的缺失的条件应该是：实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了25%，实际绿化工程比计划提前五天完成，故A正确．故选：A．【点评】本题主要考查列方程解决实际问题，理解方程的意义是解题的关键．4．（2024秋•巩义市期末）中老铁路项目的建设是“一带一路”的标志性体现，该铁路磨丁站与万象站相距约422千米，且较公路缩短了148千米，铁路出行较驾车出行用时缩短了约4.5小时，若该铁路上动车的平均速度是汽车的2倍．设汽车的速度为x千米/时，可列方程为（）A．422−148x+4222xC．4222x−422+148【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】B【分析】设公路上汽车的速度为x千米/时，则该铁路上动车的平均速度是2x千米/时，根据铁路出行较驾车出行用时缩短了约4.5小时，列出分式方程即可．【解答】解：设公路上汽车的速度为x千米/时，则该铁路上动车的平均速度是2x千米/时，由题意得：422+148x故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．5．（2024秋•三台县期末）关于x的分式方程ax+2x−a=2的解为x＝2，则A．0.5 B．1 C．1.5 D．2.5【考点】分式方程的解．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】依据题意，把分式方程转化为整式方程，再将x＝2代入求解可得．【解答】解：方程两边都乘以（x﹣a），得：ax+2＝2（x﹣a），将x＝2代入，得：2a+2＝2（2﹣a），∴a＝0.5．故选：A．【点评】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念．6．（2025•长沙一模）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（）A．6210x−1=3(x−1) B．C．6210x−1=3x 【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】B【分析】由“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可得出一株椽的价格为3（x﹣1）文，结合单价＝总价÷数量，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵这批椽有x株，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价格为3（x﹣1）文，根据题意得：6210x=3（故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．7．（2024秋•张店区期末）如果两个实数a，b使得关于x的分式方程ax+1=b的解是x=1a+b成立，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程ax+1=b的一个“关联数对”，如：a＝2，b＝﹣5使得关于x的分式方程2x+1=−5的解是x=1A．[﹣4，﹣6] B．[﹣2，4] C．[2，2] D．[3，﹣5]【考点】分式方程的解；分式方程的定义．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】D【分析】先解分式方程，求出a，b的关系，再根据“关联数对”定义逐项判断即可．【解答】解：axa+x＝bx，（b﹣1）x＝a，解得：x=aA、x=1B、x=1C、x=1D、x=1故选：D．【点评】本题考查了分式方程的解，分式方程的定义，掌握“关联数对”的定义是解题的关键．8．（2024秋•福山区期末）关于x的分式方程mx−1+3A．m＞2且m≠3 B．m＞2 C．m≥2且m≠3 D．m≥2【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程得到x＝m﹣2，再利用解为正数且x﹣1≠0得到m﹣2＞0且m﹣2≠1，然后解不等式确定m的范围．【解答】解：去分母得m﹣3＝x﹣1，解得x＝m﹣2，∵x＞0且x≠1，即m﹣2＞0且m﹣2≠1，∴m＞2且m≠3．故选：A．【点评】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．也考查了解一元一次不等式．9．（2024秋•曲阜市期末）若关于x的分式方程x−1x−2−2=mA．2 B．0 C．1 D．﹣1【考点】分式方程的解．【专题】计算题；分式方程及应用．【答案】C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：去分母得：x﹣1﹣2x+4＝m，由分式方程无解，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：m＝1，故选：C．【点评】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．10．（2024秋•福山区期末）分式方程1x−2A．1﹣（1﹣x）＝1 B．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 C．1+（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（l﹣x）＝1【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】C【分析】根据解分式方程的方法，方程两边同时乘（x﹣2），即可得出答案．【解答】解：1x−2方程两边同时乘（x﹣2），得1+（1﹣x）＝x﹣2．故选：C．【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2024秋•海港区期末）某船往返于某段河流，顺流航行66千米与逆流航行60千米用时相同，已知水流速度为每小时1千米．设船的静水速度是每小时x千米，根据题意，可得方程为66x+1=【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】66x+1【分析】设船在静水中的速度是x千米/时，根据顺流航行66千米与逆流航行60千米用时相同，列出分式方程，即可求解．【解答】解：由题意得：66x+1故答案为：66x+1【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键．12．（2024秋•三台县期末）使得2（x﹣1）﹣1和3（x+2）﹣1相等的x的值为7．【考点】解分式方程；负整数指数幂．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】7．【分析】根据题意，可得出2x−1=3【解答】解：∵2（x﹣1）﹣1和3（x+2）﹣1的x值相等，∴2x−1方程两边同时乘（x﹣1）（x+2），得2（x+2）＝3（x﹣1），解得：x＝7，检验：把x＝7代入（x﹣1）（x+2）≠0，∴x＝7是分式方程的解．故答案为：7．【点评】本题考查了解分式方程，负整数指数幂，掌握解分式方程的方法，负整数指数幂的运算法则是解题的关键．13．（2025•鹿城区校级一模）分式方程1x+1=2的解是x=−【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】x=−1【分析】方程两边都乘（x+1），得出1＝2（x+1），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：方程两边都乘（x+1），得出1＝2（x+1），解得：x=−1检验：当x=−12时，所以x=−1故答案为：x=−1【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．14．（2024秋•绥化期末）已知关于x的分式方程kx−2−32−x=1【考点】分式方程的增根．【专题】分式；运算能力．【答案】﹣3．【分析】先去分母得到k+3＝x﹣2，再根据分式方程有增根，得到x＝2，代入即可求出k＝﹣3．【解答】解：去分母得，k+3＝x﹣2，∵分式方程有增根，∴x﹣2＝0，即x＝2，∴k+3＝0，∴k＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】此题考查了已知分式方程的根的情况求参数，正确理解分式方程增根的意义是解题的关键．15．（2024秋•玉环市期末）如果关于x的分式方程2x−mx+1=1的解是负数，那么实数m的取值范围是m＜﹣1且m【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】先根据解分式方程的一般步骤解分式方程，然后根据分式方程的解是负数和分式的分母不为0，列出关于m的不等式，解不等式即可．【解答】解：2x−mx+1方程两边同时乘x+1得：2x﹣m＝x+1，2x﹣x＝1+m，x＝1+m，∵关于x的分式方程2x−mx+1∴1+m＜0，解得m＜﹣1，∵分式方程中的分母x+1≠0，即x≠﹣1，∴1+m≠﹣1，解得：m≠﹣2，综上可知m的取值范围是：m＜﹣1且m≠﹣2，故答案为：m＜﹣1且m≠﹣2．【点评】本题主要考查了分式方程的解和解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式的一般步骤．三．解答题（共5小题）16．（2024秋•徐水区期末）解分式方程：（1）3x+1（2）32(x−2)【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】（1）x＝2；（2）x=5【分析】（1）去分母，将方程转化为整式方程，求解后进行检验即可；（2）去分母，将方程转化为整式方程，求解后进行检验即可．【解答】解：（1）原方程两边同乘（x+1）（x﹣1）得：3（x﹣1）＝x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1），解得x＝2．检验：把x＝2代入（x+1）（x﹣1）≠0，所以x＝2是原方程的解．∴原方程的解为x＝2．（2）等号两边同时乘2（x﹣2），可得3﹣2x＝x﹣2，移项，合并同类项，可得﹣3x＝﹣5，系数化为1，可得x=5检验：把x=53代入2（∴该分式方程的解为x=5【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握该知识点是关键．17．（2024秋•邗江区校级期末）已知关于x的分式方程1−mx−1−1=2【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】m＜4且m≠3．【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，1﹣m﹣（x﹣1）＝﹣2，解得x＝4﹣m．∵x为正数，∴4﹣m＞0，解得m＜4，∵x≠1，∴4﹣m≠1，即m≠3，∴m的取值范围是m＜4且m≠3．【点评】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．18．（2024秋•徐水区期末）列分式方程解应用题在杭州第19届亚运会上，中国女篮第七次获得亚运会冠军，女篮运动员的拼搏精神激励了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，需要购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价．【考点】分式方程的应用．【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识．【答案】A品牌篮球的单价为96元，B品牌篮球的单价为72元．【分析】设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为（2x﹣48）元，根据采购相同数量的A，B两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设B品牌篮球的单价为x元，则A品牌篮球的单价为（2x﹣48）元，由题意得：96002x−48解得：x＝72，经检验，x＝72是原方程的解，且符合题意，∴2x﹣48＝2×72﹣48＝96，答：A品牌篮球的单价为96元，B品牌篮球的单价为72元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19．（2024秋•老河口市期末）随着电子技术的快速发展，小型无人机越来越受到孩子们的青睐，“元旦”前夕，某玩具商店用2400元购进一批小型无人机，销售时发现供不应求，销售完后又用6400元购进一批同型号的小型无人机，已知第二批小型无人机的数量是第一批的2倍，且单价比第一批贵10元．（1）第一批小型无人机的单价是多少元？（2）若两次购进的小型无人机按同一价格销售，要使小型无人机全部售完后利润不少于3200元，那么销售单价至少为多少元？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）第一批小型无人机的单价是30元；（2）销售单价至少为50元．【分析】（1）设第一批小型无人机的单价是x元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；（2）设小型无人机销售价格为y元，根据题意“小型无人机全部售完后利润不少于3200元，”列出不等式，解不等式即可求解．【解答】解：（1）设第一批小型无人机的单价是x元．根据题意，得2×2400整理得，1600x＝48000，解得x＝30，经检验x＝30是原分式方程的解．答：第一批小型无人机的单价是30元；（2）第一批小型无人机的数量是240030设小型无人机销售价格为y元．根据题意，得80y+2×80y﹣2400﹣6400≥3200．解得，y≥50．答：销售单价至少为50元．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式．20．（2024秋•微山县期末）春节来临，某工厂计划购买A，B两种工艺品共200件用以奖励优秀员工．已知A种工艺品的单价比B种工艺品的单价高50元，用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同．（1）求A，B两种工艺品的单价各为多少元？（2）若该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，请你帮助工厂计算出共有几种购买方案？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元；（2）工厂共有6种购买方案．【分析】（1）设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为（x﹣50）元，根据用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同，列出分式方程，解方程即可；（2）设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品（200﹣m）件，根据该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．【解答】解：（1）设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为（x﹣50）元，根据题意得：600x解得：x＝200，经检验x＝200是分式方程的解，且符合题意，∴x﹣50＝150．答：A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元；（2）设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品（200﹣m）件，根据题意得：200m+150(200−m)≤30500m≥5解得：5≤m≤10，∵m为正整数，∴m＝5，6，7，8，9，10，∴工厂共有6种购买方案．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．

考点卡片1．数学常识数学常识此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．平时要注意多观察，留意身边的小知识．2．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p=1ap（a注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．3．分式方程的定义分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．4．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．5．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．6．分式方程的增根（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．7．由实际问题抽象出分式方程由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关