高三数学二轮复习第二篇数学思想三数形结合思想

三、数形结合思想第1页思想解读思想解读应用类型数形结合思想,就是依据数与形之间对应关系,经过数与形相互转化来处理数学问题思想.数形结合思想应用包含以下两个方面:(1)“以形助数”,把一些抽象数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题本质;(2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形愈加准确.利用数形结合思想处理方程根或函数零点问题;利用数形结合思想解不等式或参数范围;利用数形结合思想处了解析几何问题.第2页总纲目录应用一

利用数形结合思想处理方程根或函数零

点问题应用二利用数形结合思想求解不等式或参数范围应用三利用数形结合思想处理解析几何问题第3页应用一

利用数形结合思想处理方程根或函数零点

问题例1设函数f(x)=|2x-1|,函数g(x)=f(f(x))-loga(x+1)(a>0,a≠1)在[0,1]上有

3个不一样零点,则实数a取值范围为

()A.

B.(1,2)C.

D.(2,+∞)第4页答案

C解析因为f(x)=|2x-1|=

所以f(f(x))=|2|2x-1|-1|=

四个选项中都有a>1,分别画出y=f(f(x))与y=loga(x+1)图象,如图.第5页因为y=loga(x+1)图象是由y=logax图象向左平移一个单位得到,且

过点(0,0),当x=1时,y=f(f(1))=1,由loga(1+1)=1得a=2,此时,y=f(f(x))与y=loga(x+1)图象有4个交点,当x=

时,y=f

=1,由loga

=1得a=

,此时,y=f(f(x))与y=loga(x+1)图象有2个交点,总而言之,a取值范围为

.第6页【技法点评】用图象法讨论方程(尤其是含参数指数、对数、根

式、三角等复杂方程)解(或函数零点)个数是一个主要方法,其基

本思想是先把方程两边代数式看作是两个熟悉函数表示式(不熟

悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉函数),然后在同一坐标系中作

出这两个函数图象,图象交点个数即为方程解(或函数零点)个数.第7页跟踪集训1.已知直线(1-m)x+(3m+1)y-4=0所过定点恰好落在函数f(x)=

图象上,若函数h(x)=f(x)-mx+2有三个不一样零点,则实数m取值范围是

()A.

B.

C.

D.(1,+∞)第8页答案

B由(1-m)x+(3m+1)y-4=0得x+y-4-m(x-3y)=0,∴由

可得直线过定点(3,1),∴loga3=1,∴a=3.令f(x)-mx+2=0,得f(x)=mx-2,在同一

坐标系中作出y1=f(x)与y2=mx-2图象,易得当

<m<1时满足题意,故选B.

第9页2.函数f(x)=3-x+x2-4零点个数是

.答案2解析求函数f(x)=3-x+x2-4零点个数,即为求函数g(x)=x2-4与h(x)=-

图象交点个数,在同一直角坐标系中,函数g(x),h(x)图象如图所表示,

由图可知,h(x)与g(x)图象有2个交点,故函数f(x)零点个数为2.第10页应用二

利用数形结合思想求解不等式或参数范围例2设f(x),g(x)分别是定义在R上奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)

+f(x)g'(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0解集是

.答案(-∞,-3)∪(0,3)解析设F(x)=f(x)g(x),因为f(x),g(x)分别是定义在R上奇函数和偶函

数,所以F(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)在R上为奇函数.当x<0时,F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,所以当x<0时,F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上单调性相同,所以当x>0时,F(x)也是增函数,且F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3),则F(x)大致图象如图所表示,由图可知F(x)<0解集是(-∞,-3)∪(0,3).第11页【技法点评】求参数范围或解不等式问题经常联络函数图象,依据

不等式中量特点,选择适当两个(或多个)函数,把两个函数图象

上、下位置关系转化为数量关系来处理,往往能够防止烦琐运算,获

得简捷解答.第12页跟踪集训1.若不等式|x-2a|≥

x+a-1对x∈R恒成立,则a取值范围是

.答案

解析作出y=|x-2a|和y=

x+a-1简图.依题意可知2a≤2-2a,故a≤

.

第13页2.若不等式

≤k(x+2)-

解集为区间[a,b],且b-a=2,则k=

.答案

解析

y=k(x+2)-

过定点(-2,-

),显然当k<0时不符合题意,故k>0,分别作出直线y=k(x+2)-

与半圆y=

,如图.由题意知直线在半圆上方,由b-a=2,可知b=3,a=1,所以直线y=k(x+2)-

过点(1,2

),则k=

.

第14页应用三

利用数形结合思想处理解析几何问题例3设双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)左、右顶点分别为A1,A2,左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径圆与双曲线左支一个交点为P.若以

A1A2为直径圆与直线PF2相切,则双曲线C离心率为

()A.

B.

C.2

D.

答案

D解析如图所表示,设以A1A2为直径圆与直线PF2切点为Q,连接OQ,则

OQ⊥PF2,又PF1⊥PF2,O为F1F2中点,所以|PF1|=2|OQ|=2a,又|PF2|-|PF1|

=2a,所以|PF2|=4a,在Rt△F1PF2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2⇒4a2+16a2=20a2=4c

2⇒e=

=

.第15页【技法点评】依据几何意义利用数形结正当处理问题需要熟悉常见代数形式,主要有:①比值——可考虑直线斜率;②二元一次式——

可考虑直线截距;③含根式分式——可考虑点到直线距离;④根

式——可考虑两点间距离.第16页跟踪集训已知抛物线方程为x2=8y,F是其焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一

点P,使△APF周长最小,此时点P坐标为

.答案

解析因为(-2)2<8×4,所以点A(-2,4)在抛物线x2=8y内部,如图,设抛物

线准线为l,第17页过点P作PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B,连接AQ,则△APF周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PQ|+|PA|+|AF|≥|