热点八 方案设计题

热点八方案设计题一、方案设计题概述

方案设计题是近年来各类考试中常见的一种题型，它要求考生根据给定的条件和目标，设计出合理的方案。这类题目通常涉及到实际生活中的各种场景，如工程建设、资源分配、经济决策等，旨在考查考生运用数学知识、逻辑思维和实际操作能力解决问题的能力。

方案设计题的特点在于其开放性和灵活性。考生需要在给定的框架内，充分发挥自己的创造力和想象力，提出多种可行的方案，并对这些方案进行分析、比较和优化，最终选择出最优方案。因此，方案设计题不仅考查了考生的知识掌握程度，还考查了考生的综合素质和创新能力。

二、常见类型及解题思路

（一）工程方案设计1.问题描述通常给出一项工程的任务要求，如建造一座桥梁、修建一条道路、完成一项建筑工程等，同时给出工程的一些限制条件，如预算、工期、材料供应等。要求考生设计出满足工程要求的施工方案，包括施工流程、人员安排、资源调配等。2.解题思路明确工程目标和限制条件：仔细阅读题目，确定工程要达到的具体目标，如桥梁的承载能力、道路的长度和宽度等，以及各种限制条件，如预算金额、可使用的施工时间等。分析工程任务：将工程任务分解为若干个具体的子任务，例如桥梁工程可能包括基础施工、桥墩建设、桥面铺设等子任务。考虑施工流程：根据工程任务的先后顺序，设计合理的施工流程。例如，在建筑工程中，一般先进行基础施工，再进行主体结构施工，最后进行装饰装修施工。人员和资源调配：根据施工流程，确定每个阶段所需的人员数量和类型，以及所需的材料、设备等资源。同时，要考虑资源的供应和调配，确保施工过程的顺利进行。优化方案：对设计出的方案进行分析和评估，考虑方案的可行性、成本效益、工期等因素，对方案进行优化，以得到最优方案。

例如，某建筑公司要建造一栋10层的写字楼，预算为5000万元，工期为18个月。已知建筑材料供应商的供应能力有限，每月最多供应价值300万元的材料。首先明确工程目标是建造一栋10层写字楼，限制条件是预算5000万元，工期18个月，每月材料供应上限300万元。工程任务可分解为基础工程、主体结构工程、装饰装修工程等。施工流程：先进行基础工程，预计2个月完成，投入500万元；接着进行主体结构工程，每层预计1.5个月，共15个月，每月投入约250万元；最后进行装饰装修工程，预计1个月，投入500万元。人员和资源调配：基础工程需要专业的基础施工队伍，主体结构工程需要大量的建筑工人和建筑材料，装饰装修工程需要相应的装修工人和装修材料。根据每月材料供应上限，合理安排材料的采购时间。优化方案：考虑到工期和预算，可适当调整主体结构工程的施工进度，避免在材料供应紧张时过度集中施工，确保整个工程顺利进行且不超预算。

（二）资源分配方案设计1.问题描述给出一定数量的资源，如资金、人力、物资等，以及多个需求项目，要求考生设计资源分配方案，使资源能够合理地满足各项目的需求，并达到某种最优目标，如效益最大化、成本最小化等。2.解题思路确定资源总量和需求项目：清楚题目中给出的资源种类和数量，以及各个需求项目对资源的需求量。建立目标函数：根据题目要求确定目标，如效益最大化时，建立效益与资源分配之间的函数关系；成本最小化时，建立成本与资源分配之间的函数关系。确定约束条件：资源分配不能超过总量，同时要满足各需求项目的基本需求。例如，资金分配不能超过总预算，人力分配要满足各工作岗位的最低人员要求等。求解方案：利用数学方法（如线性规划等）求解满足目标函数和约束条件的资源分配方案。验证和调整方案：对得到的方案进行验证，看是否符合实际情况。如果不符合，进行适当调整，直到得到合理的方案。

例如，某企业有100万元资金用于投资三个项目A、B、C。项目A预计投资30万元，收益为50万元；项目B预计投资40万元，收益为60万元；项目C预计投资20万元，收益为30万元。同时，要求每个项目至少投资10万元。资源总量是100万元资金，需求项目是A、B、C三个项目。设投资项目A的资金为x万元，投资项目B的资金为y万元，投资项目C的资金为z万元。目标是收益最大化，目标函数为：$S=50x+60y+30z$。约束条件为：$x+y+z=100$，$x\geq10$，$y\geq10$，$z\geq10$。通过线性规划求解可得：当$x=30$，$y=40$，$z=30$时，收益最大，$S=50×30+60×40+30×30=4800$（万元）。验证方案：投资总额$30+40+30=100$万元，满足条件，且每个项目投资都不少于10万元，符合要求。

（三）经济决策方案设计1.问题描述给出一些经济活动的相关信息，如成本、售价、销售量、市场需求等，要求考生设计经济决策方案，如产品定价策略、生产规模决策、营销策略等，以实现利润最大化或成本最小化等目标。2.解题思路分析经济因素：明确成本结构，包括固定成本和可变成本；了解产品的售价与销售量之间的关系，以及市场需求情况。建立利润函数：根据成本和售价、销售量的关系，建立利润与决策变量（如价格、产量等）之间的函数关系。考虑市场需求和竞争：分析市场需求对销售量的影响，以及竞争对手的情况，确定决策的可行范围。求解最优决策：通过求导、分析函数单调性等方法，找到使利润最大化或成本最小化的决策方案。风险评估与调整：考虑经济活动中的风险因素，如市场波动、原材料价格变化等，对决策方案进行风险评估，并根据风险情况进行适当调整。

例如，某企业生产一种产品，固定成本为50000元，每件产品的可变成本为20元，市场需求函数为$Q=10000100P$（其中Q为销售量，P为产品价格）。成本分析：总成本$C=50000+20Q$。销售收入$R=PQ=P(10000100P)$。利润函数$L=RC=P(10000100P)(50000+20(10000100P))$，化简得$L=100P^2+12000P250000$。对利润函数求导：$L^\prime=200P+12000$，令$L^\prime=0$，解得$P=60$。当$P=60$时，$Q=10000100×60=4000$，此时利润最大，$L=100×60^2+12000×60250000=110000$元。风险评估：如果市场需求发生变化，如需求函数变为$Q=8000100P$，则需要重新计算利润函数和最优价格，以应对市场变化带来的风险。

三、例题解析

（一）工程方案设计例题某城市计划修建一条长10公里的城市快速路，预算为5亿元。工程要求在2年内完成，并且要保证道路的质量和安全性。已知施工过程中，每公里的基础建设成本为2000万元，路面铺设成本为1500万元，其他附属设施建设成本为500万元。同时，由于交通流量的考虑，需要在道路上设置多个出入口，每个出入口的建设成本为100万元，且出入口的数量不能超过20个。1.分析题目工程目标是修建一条10公里的城市快速路，预算5亿元，工期2年。成本信息：每公里基础建设成本2000万元，路面铺设成本1500万元，其他附属设施建设成本500万元，每个出入口建设成本100万元，出入口数量不超20个。2.设计方案施工流程：先进行基础建设，然后进行路面铺设，最后进行附属设施建设和出入口设置。资源调配：基础建设：10公里共需资金$10×2000=20000$万元。路面铺设：10公里共需资金$10×1500=15000$万元。附属设施建设：10公里共需资金$10×500=5000$万元。出入口设置：假设设置x个出入口（$0\leqx\leq20$），则出入口建设资金为100x万元。总预算为50000万元，可列出方程：$20000+15000+5000+100x=50000$，解得$x=100$，但$x$不能超过20，所以需要调整方案。优化方案：减少出入口数量，如设置10个出入口，此时总投资为$20000+15000+5000+10×100=41000$万元，在预算范围内，且满足工程要求。

（二）资源分配方案设计例题某学校有100名教师，现要将他们分配到语文、数学、英语三个学科组进行教学工作。已知语文组需要30名教师，数学组需要40名教师，英语组需要30名教师。学校规定，每个教师只能分配到一个学科组，且每个学科组的教师人数不能少于规定人数的80%。1.分析题目资源总量是100名教师，需求项目是语文、数学、英语三个学科组。语文组需求30名教师，数学组需求40名教师，英语组需求30名教师，且各学科组人数不少于规定人数的80%，即语文组不少于$30×80\%=24$名，数学组不少于$40×80\%=32$名，英语组不少于$30×80\%=24$名。2.设计方案设分配到语文组的教师人数为x名，分配到数学组的教师人数为y名，分配到英语组的教师人数为z名。目标函数：由于没有明确的最优目标，可先考虑满足各学科组人数要求的分配方式。约束条件：$x+y+z=100$，$x\geq24$，$y\geq32$，$z\geq24$。方案设计：可以先分配语文组24名教师，数学组32名教师，那么英语组就分配$1002432=44$名教师，满足各学科组人数要求。也可以调整为语文组25名教师，数学组33名教师，英语组$1002533=42$名教师等多种方案，只要符合约束条件即可。

（三）经济决策方案设计例题某工厂生产一种电子产品，每件产品的成本为50元，售价为80元。据市场调查，该产品的销售量与售价之间的关系为$Q=200010P$（其中Q为销售量，P为售价）。工厂计划在一定时期内生产并销售该产品，要实现利润最大化，应如何定价？1.分析题目成本每件50元，售价P元，销售量$Q=200010P$。2.建立利润函数利润$L=(P50)Q=(P50)(200010P)$，展开得$L=10P^2+2500P100000$。3.求解最优定价对利润函数求导：$L^\prime=20P+2500$，令$L^\prime=0$，解得$P=125$。当$P=125$时，$Q=200010×125=750$，此时利润最大。最大利润$L=(12550)×750=56250$元。

四、练习题

（一）工程方案设计练习题1.某建筑公司要建造一座5层的住宅楼，预算为300万元，工期为12个月。已知每层楼的建筑成本包括基础、主体结构和装修三部分，基础成本每层20万元，主体结构成本每层30万元，装修成本每层10万元。同时，由于施工场地有限，每月最多能投入30万元用于施工。请设计一个合理的施工方案。2.某城市要修建一个污水处理厂，预计处理污水量为每天5000立方米。有两种污水处理工艺可供选择，工艺A的建设成本为800万元，运行成本为每立方米0.5元；工艺B的建设成本为1200万元，运行成本为每立方米0.3元。该污水处理厂计划使用10年，若要使总费用最低，应选择哪种工艺？（不考虑设备折旧等其他因素）

（二）资源分配方案设计练习题1.某公司有80名员工，要分配到三个部门：研发部、市场部和生产部。研发部需要20名员工，市场部需要30名员工，生产部需要30名员工。公司规定，每个员工只能分配到一个部门，且每个部门的员工人数不能少于规定人数的70%。请设计几种合理的人员分配方案。2.某农场有1000亩土地，计划种植三种农作物：小麦、玉米和大豆。已知种植小麦每亩需要成本500元，预计收益每亩1000元；种植玉米每亩需要成本400元，预计收益每亩800元；种植大豆每亩需要成本300元，预计收益每亩600元。农场有资金40万元用于种植，要使总收益最大，应如何