2024-2025学年湖南省衡阳市耒阳市正源学校高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省衡阳市耒阳市正源学校高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|1≤x≤2}，N={x|x<1}，则M∪N=(

)A.{x|0<x<2} B.⌀ C.{x|x≤2} D.{x|x≤3}2.已知z1=a−i，z2=1+bi(a,b∈R,i为虚数单位)，若zA.ab−1=0 B.ab+1=0 C.a−b=0 D.a+b=03.设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题正确的是(

)A.若m//n，n⊂α，则m//αB.若m//α，n//β，m//n，则α//β

C.若m⊥β，n//β，则m⊥nD.若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α4.已知cos(α+β)=m，tanαtanβ=2，则cos(α−β)=(

)A.−3m B.−m3 C.m35.函数y=2x|log0.5x|−1A.1 B.2 C.3 D.46.已知向量a，b满足(a−b)⋅b=2，且b=(−1,1)，则向量A.(2,2) B.(−2,2) C.(1,1) D.(−1,1)7.在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若B=π3，b2=9A.32 B.2 C.78.一个五面体ABC−DEF.已知AD//BE//CF，且两两之间距离为1.并已知AD=1，BE=2，CF=3.则该五面体的体积为(

)A.36

B.334+二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，设事件A={1,2,7,8}，事件B=“得到的点数为偶数”，事件C=“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是(

)A.事件B与C互斥 B.P(A∪B)=34

C.事件A与CD.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)10.已知函数f(x)=2sin(x+π3)cosx，则A.f(x)的最小正周期为π

B.不等式f(x)≥0的解集为{x|kπ−π3≤x≤kπ+π2,k∈Z}

C.f(x)在区间(π4,3π4)11.如图，在正四面体ABCD中，已知AB=2，O为棱AB的中点.现将等腰直角三角形EAB绕其斜边AB旋转一周(假设△EAB可以穿过正四面体内部)，则在旋转过程中，下列结论正确的是(

)

A.三角形EAB绕斜边AB旋转一周形成的旋转体体积为π3

B.O，C，D，E四点共面

C.点E到CD的最近距离为3−1

D.异面直线CD与三、填空题：本题共3小题，共20分。12.一组数据15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78的第75百分位数是______．13.将一个底面边长为2cm，高为3cm的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为______cm14.在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=12DE，BE=λBA+μBC，则λ+μ=______；若F为线段BE上的动点，G四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

某中学的学生在劳动实践项目中培育一种植物，现在这批植物中随机抽测了部分植株的高度(单位：cm)，所得数据统计如图．

(1)求a的值，并估计这批植株高度的平均数和众数；

(2)若从高度在[15,17)和[23,25)的植株中采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取6株样本再从该样本中采用不放回简单随机抽样抽取2株，求抽取的2株植株高度均在[23,25)内的概率．16.(本小题12分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，所有棱长均为4，D是AB的中点．

(1)求证：BC1//平面A17.(本小题12分)

如图，在等边△ABC中，AB=3，点O在边BC上，且OC=2BO.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N．

(1)设AB=a，AC=b，试用a，b表示AO；

(2)求cos〈OA,OC〉18.(本小题12分)

已知函数f(x)=12−sin2ωx+32sin2ωx，(ω>0)的最小正周期为4π．

(1)求ω的值，并写出f(x)的对称轴方程；

(2)在△ABC中角A，B，C的对边分别是a，19.(本小题12分)

设函数y=f(x)的定义域为M，且区间I⊆M，对任意x1，x2∈I且x1<x2，记Δx=x2−x1，Δy=f(x2)−f(x1).若Δy+Δx>0，则称f(x)在I上具有性质A；若Δy−Δx>0，则称f(x)在I上具有性质B；若Δy⋅Δx>0，则称f(x)在I上具有性质C；若ΔyΔx>0，则称f(x)在I上具有性质D．

(Ⅰ)记：①充分而不必要条件；②必要而不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件，则f(x)在I上具有性质A是f(x)在I上单调递增的______(填正确选项的序号)；f(x)在I上具有性质B是f(x)在I上单调递增的______(填正确选项的序号)；f(x)在I上具有性质C是f(x)在I上单调递增的______(填正确选项的序号)；

(Ⅱ)若f(x)=ax2+1在[1,+∞)满足性质B，求实数a参考答案1.C

2.A

3.C

4.A

5.B

6.B

7.C

8.C

9.BCD

10.AB

11.BD

12.50

13.4π314.43

−15.解：(1)根据题意可得2(0.05+0.75+a+0.15+0.1)=1，解得a=0.125；

高度的平均数x−=16×0.1+18×0.15+20×0.25+22×0.3+24×0.1=18.3；

众数估计为22；

(2)因为[15,17)和[23,25)的频率之比为0.1：0.2=2：4，

所以[15,17)内抽2株，记为a，b，在[23,25)内抽4株，记为1，2，3，4，

所以从6株样本中任取2株的样本空间为：

Ω={ab,a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,12,13,14,23,24,34}，共15个样本点，

设事件A为：抽取的2株植株高度均在[23,25)内，

则A={12,13,14,23,24,34}，共6个样本点，

所以抽取的2株植株高度均在[23,25)内的概率P(A)=16.(1)证明：连接AC1交A1C于O，

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，所有棱长均为4，

因此四边形AA1C1C是正方形，所以O是AC1的中点，而D是AB的中点，

因此有OD/​/BC1，而OD⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，

所以BC1/​/平面A1DC；

(2)解：由(1)可知：OD/​/BC1，

因此异面直线A1D与BC1所成角为∠A117.解：(1)由AB=a，AC=b，OC=2BO，

可得AC−AO=2(AO−AB)，

所以AO=23AB+13AC=23a+13b；

(2)在等边△ABC中，AB=3，

则a⋅b=3×3×cos60°=92，

由(1)得|AO|=13(2a+b)2=134×9+9+4×92=7，

OC=23BC=23(AC−AB)=18.解：(1)f(x)=12−sin2ωx+32sin2ωx

=12+32sin2ωx−sin2ωx

=12+32sin2ωx−1−cos2ωx2

=32sin2ωx+12cos2ωx

=sin(2ωx+π6)，

∵T=2π2ω=4π，

∴ω=14，

故f(x)=sin(1219.解：(Ⅰ)由于x1<x2，所以Δx=x2−x1>0，

对于性质A，当Δy+Δx>0时，无法判断Δy的符号，故无法判断单调性；

当f(x)在I上单调递增时，Δy>0⇒Δy+Δx>0，

所以f(x)在I上具有性质A是f(x)在I上单调递增的必要而不充分条件；故答案为②

对于性质B，当Δy−Δx>0时，Δy>Δx>0，所以f(x)在I上单调递增；

当f(x)在I上单调递增时，Δy>0，Δy−Δx的符合无法判断，

所以f(x)在I上具有性质B是f(x)在I上单调递增的充分而不必要条件；故答案为①

对于性质C，若Δy⋅Δx>0，则Δy>0，所以f(x)在I上单调递增；

当f(x)在I上单调递增时，Δy>0，Δy⋅Δx>0，

所以f(x)在I上具有性质C是f(x)在I上单调递增的充要条件；故答案为③．

(Ⅱ)对于任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1<x2，

有Δx=x2−x1>0,Δy=f(x2)−f(x1)=ax22−ax12，

由于f(x)在[1,+∞)满足性质B，即Δy−Δx>0，