内蒙古自治区通辽市2024年中考数学试卷含真题解析

内蒙古自治区通辽市2024年中考数学试卷一、单选题1．某地区某日最高气温是零上，记作，最低气温是零下，应该记作（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：∵零上，记作，

∴最低气温是零下，应该记作，故答案为：A【分析】根据正数和负数表示相反意义的量结合题意即可求解。2．如图，这个几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【答案】D3．在学校文艺汇演中，7名参加舞蹈表演的女生身高（单位：）如下：170175169171172170173，这组数据的中位数是（）A．175 B．172 C．171 D．170【答案】C【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列为169、170、170、171、172、173、175，∴这组数据的中位数为171．故答案为：C【分析】先根据题意将数据从小到大排列，进而根据中位数的定义即可求解。4．下列运算结果正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：A.，A不符合题意；B.，B符合题意；C.，C不符合题意；D.，D不符合题意；故答案为：B【分析】根据合并同类项、积的乘方、算术平方根、二次根式的加法结合题意对选项逐一进行计算即可求解。5．剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合.则点关于对称轴对称的点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得该图形的对称轴为y轴，

∴点关于对称轴对称的点的坐标为，故答案为：C【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征（横坐标互为相反数，纵坐标一致）结合点A的坐标即可求解。6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，.下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，

∴，，，，

∴只有A选项符合题意，故答案为：A【分析】根据一次函数的图象得到，进而对选项逐一判断即可求解。7．不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得一次摸出白球的概率为，

∴两次都摸出白球的概率是，故答案为：C【分析】根据简单事件的概率结合题意进行计算即可求解（注意本题为放回的情况）。8．将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示：∵∴，∴．故答案为：B【分析】先根据平行线的性质得到，进而根据三角形内角和定理结合题意即可求解。9．如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴是菱形，A不符合题意；B、∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴∴，∴是菱形，B不符合题意；C、∵，∴，即，∵四边形是平行四边形，∴是菱形，C不符合题意；D、∵，∴，无法得到是菱形，D符合题意；故答案为：D【分析】根据等腰三角形的性质得到，进而根据菱形的判定即可判断A；根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，进而等量代换根据等腰三角形的性质得到，再根据菱形的判定即可判断B；根据勾股定理的逆定理得到，即，进而根据菱形的判定即可判断C；根据勾股定理的逆定理得到，进而根据菱形的判定即可判断D.10．如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（）A．或 B．或C． D．【答案】C【解析】【解答】解：设矩形场地垂直于墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，由题意得，解得，，当时，平行于墙的一边的长为；当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意；∴该矩形场地长为米，故答案为：C【分析】设矩形场地垂直于墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，进而结合图片根据矩形的面积即可列出一元二次方程，从而即可求出x的值，再分类讨论其合理性即可求解。11．如图，圆形拱门最下端在地面上，D为的中点，C为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：连接，如图所示：∵线段经过拱门所在圆的圆心，，为的中点，为拱门最高点，∴，，设拱门所在圆的半径为，则，∴，解得，∴拱门所在圆的半径为；故答案为：B【分析】连接，先根据垂径定理得到，，设拱门所在圆的半径为，则，进而根据勾股定理即可求出r.12．如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形的中心，轴，点E在双曲线（k为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】【解答】解：过点E作轴于H，连接，如图所示：∵原点为正六边形的中心，∴∴是等边三角形，∴，∵，∴，由勾股定理得，设，则，∴，，∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，∴点在双曲线上，又∵点E也在双曲线上，∴，解得或（舍去），∴，故答案为：A【分析】过点E作轴于H，连接，先根据正多边形的性质得到进而根据等边三角形的性质得到，从而结合题意运用勾股定理表示出EH，设，则，从而得到，，根据平移的性质得到点在双曲线上，从而根据点E的坐标即可得到，解出m即可求解。二、填空题13．因式分解．【答案】【解析】【解答】解：由题意得，故答案为：.【分析】先根据题意提取公因式3a，进而运用完全平方公式结合题意因式分解即可求解。14．如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度L的合格尺寸（L的取值范围).【答案】【解析】【解答】解：由题意得40-0.01≤L≤40+0.01，

即，故答案为：【分析】根据题意解一元一次不等式组，进而即可求解。15．分式方程的解为．【答案】【解析】【解答】解：解得：经检验是原方程的解，故答案为：．【分析】根据题意方程两边同时乘x(x-2)，进而去括号，从而即可解方程，再检验即可求解。16．如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是（结果用含π的式子表示）.【答案】【解析】【解答】解：由题意得底面圆的周长为，即扇形纸片的弧长为，∵母线长为，∴圆锥的侧面积．故答案为：【分析】先根据题意求出圆锥底面圆的周长，进而即可得到扇形的弧长，再根据母线长结合圆锥侧面积公式即可求解。17．关于抛物线（m是常数），下列结论正确的是（填写所有正确结论的序号）.①当时，抛物线的对称轴是y轴；②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则；③若点，在抛物线上，则；④无论m为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于.【答案】①④【解析】【解答】解：当时，，

∴抛物线的对称轴是轴，

①正确；∵此抛物线与轴只有一个公共点，∴，解得，

②错误；∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵，∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大，∵，∴，

③错误；∵，∴抛物线的顶点坐标为，∴抛物线的顶点坐标在直线上，过点A作直线于点B，则点，，，如图所示：∴是等腰直角三角形，∴，即抛物线的顶点到直线的距离都等于，

④正确．故答案为：①④【分析】根据二次函数的对称轴结合题意即可判断①；根据二次函数与坐标轴的交点结合一元二次方程根的判别式即可判断②；根据二次函数的对称轴结合二次函数的图象得到离对称轴距离越远的点的纵坐标越大，从而比较即可判断③；先根据题意得到抛物线的顶点坐标在直线上，过点A作直线于点B，则点，，，从而解直角三角形即可判定④.三、解答题18．计算：.【答案】.【解析】【分析】根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值即可求解。19．先化简，再求值：，其中，.【答案】，当，时，原式.【解析】【分析】先根据整式的混合运算进行化简，进而代入数值即可求解。20．在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度.如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上.参考数据：）.【答案】过点B作于点E，，在中，，米，米，米，米，米在中，，米，米，，米.答：杨树的高度约6.2米.【解析】【分析】过点B作于点E，进而根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可得到BE和CE，从而得到DE，再根据等腰直角三角形的性质结合题意即可得到AB。21．为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试.七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机抽取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本.【收集数据】调查研究小组收集到50名学生的测试成绩：6061629473738585877263647066746567757671949384917682838392848080829291867786887270719390819074788175【整理描述数据】通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图：组别成绩分组频数AaB16C16Db（1）频数分布表中▲，▲，并补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中，D所对应的扇形的圆心角度数是.（3）【应用数据】若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数.【答案】（1）整理数据可得：有：60、61、62、63、64、66、65、67；；的有：94、94、93、91、92、92、91、93、90、90、；补全图形如下：；（2）20；72°（3）若成绩不低于90分为优秀，估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的有（人）.【解析】【解答】解：（2）∵，∴；所对应的扇形的圆心角度数是；故答案为：20；72°【分析】（1）根据题意整理数据，进而即可得到a和b，进而补全直方图即可求解；

（2）根据扇形统计图即可得到m，进而根据圆心角的计算公式即可求解；

（3）根据样本估计总体的知识结合题意进行计算即可求解。22．如图，中，∠ACB=90°，点O为边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与相切于点D，连接CD.（1）求证：；（2）若，BC=6，求的半径.【答案】（1）证明：连接，如图所示：为切线，，，，，，，.（2）在中，，，在和中，，，，，，设的半径为r，则，，在中，，解得，半径的长为3.【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，进而结合题意即可得到，再根据等量代换即可求解；

（2）根据勾股定理求出AB，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而得到AD，设的半径为r，则，，根据勾股定理求出r即可求解。23．某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地.在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机.经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元.（1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；（2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案.【答案】（1）设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元.由题意得：，解得：，答：煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台；（2）设煎蛋器采购a台，则三明治机采购台，由题意得：，解得：，a只能取正整数，∴a的最大值为33，设总的购买费用为w元，，，当时，费用最低，此时的购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台；答：购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台.【解析】【分析】（1）设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元，根据“购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元”即可列出二元一次方程组，从而解方程组即可求解；

（2）设煎蛋器采购a台，则三明治机采购台，根据题意求出a的取值范围，从而即可得到a的最大值，再根据题意表示出w与a的一次函数关系式，再根据一次函数的性质结合a的取值即可求解。24．【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞.（1）【模型建立】如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”.，.求证：.（2）【模型应用】如图2，中，的平分线交于点D.请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程.（注：只需选择一种情况作答）（3）【拓展提升】如图3，为的直径，，的平分线交于点E，交于点D，连接.求证：.【答案】（1）在和中，，，，，；（2）选择②为条件，①为结论如图，在取点N，使，连接，平分，，在和中，，，，，，，，，，，，；选择①为条件，②为结论如图，在取点N，使，连接，平分，，在和中，，，，，，，，，，，，，；（3）如图，连接，取的中点F，连接，的平分线，，，，为的直径，，，，，，，，，，.25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点C，D，抛物线为常数）经过点D且交x轴于A，B两点.（1）求抛物线表示的函数解析式；（2）若点P为抛物线的顶点，连接，，.求四边形的面积.【答案】（1）把代入函数中，得，解得，，把代入函数中，得，，抛物线为常数）经过点D，，解得，抛物线表示的函数解析式为；（2）抛物线的函数解析式为，顶点P的坐标为，，轴，，过点D作于点E，则，；把代入函数中，得，解得，，，，，，，，.【解析】【分析】（1）先根据二次函数与坐标轴的交点问题得到点C和点D的坐标，进而根据题意将点D代入即可求出k，从而即可得到二次函数的表达式；

（2）先根据题意得到二次函数的顶点坐标，进而得到PC，过点D作于点E，则，求出，根据二次函数与坐标轴的交点问题即可得到，，进而得到AC和DO，从而根据三角形的面积得到，最后根据即可求解。26．数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF和一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α（0°≤α≤90°）角，观察图形的变化，完成探究活动．

（1）【初步探究】

如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G