四川省宜宾市第二中学校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页四川省宜宾市第二中学校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．2．下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（

）A．1，2，3，4 B．2，3，5，8C．2，，3， D．1，2，3，63．已知是方程的一个解，则的值是（

）A．4 B．3 C．2 D．14．如图，四边形四边形，，，，则∠D的度数为（

）A．100° B．110° C．120° D．130°5．关于以下说法：①买一张彩票一定中奖；②从一副普通扑克牌中任意抽取一张，一定是红桃；判断正确的是（

）A．①②都正确 B．只有①正确 C．只有②正确 D．①②都错误6．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（

）A． B．C． D．7．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为（

）A． B． C．2 D．38．关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（

）A．开口方向向上 B．对称轴是直线x=lC．顶点坐标为（1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小9．如图，在中，、分别为、的中点，点在上，且，若，，则的长为（

）A．1.5 B．1 C．0.5 D．210．如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍，则点A对应点的坐标为（

）

A． B．或C． D．或11．直角三角形纸片的两直角边与之比为．（1）将如图1那样折叠，使点落在上，折痕为；（2）将如图2那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的值为（

）A． B． C． D．12．对于代数式、，定义新运算♣，则下列说法正确的个数为（

）①若♣，则或1；②若♣，则的值为3或；③若方程的解为、，则♣的值为；④若关于的方程♣有两个不相等的实数解，则．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13．在函数中，自变量的取值范围是．14．在一个暗箱里放有个除颜色以外完全相同的球，其中红球有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色后，再放回暗箱，通过大量的重复实验后发现，摸到红球的频率稳定在．那么估计．15．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为

16．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式是．17．已知双曲线经过中斜边的中点C，与直角边相交于点E，过点C作轴于点D，且与交于点F．若面积为3，则．18．如图，是等腰直角三角形，，以BC为边向外作等边三角形BCD，，连接AD交CE于点F，交BC于点G，过点C作交AB于点下列结论：；∽；；则正确的结论是填序号三、解答题19．计算，解方程：(1)；(2)；(3)．20．近年来，校园安全受到全社会的广泛关注，为了了解学生对安全知识的掌握程度，学校采用随机抽样的调查方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图，请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：(1)接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为_____．(2)请补全条形统计图．(3)若该中学共有学生3000人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．(4)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3名女生和2名男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用画树状图法或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．21．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？22．某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，部分），在起点处测得大楼部分楼体的顶端点的仰角为，底端点的仰角为，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达处，测得顶端的仰角为（如图②所示），求大楼部分楼体的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：，，，，）23．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．24．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向A点运动．设运动时间为x（s）．(1)当x为何值时，PQ∥BC；(2)当△APQ与△CQB相似时，AP的长为；(3)当S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△APQ：S△ABQ的值．25．如图，抛物线与x轴交于，交y轴于．（1）求抛物线的解析式；（2）P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《四川省宜宾市第二中学校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题》参考答案题号12345678910答案BDCCDABDAD题号1112答案AB1．B【分析】根据二次根式的加减运算可判断A，根据二次根式的除法运算可判断B，根据二次根式的性质化简可判断C，根据二次根式的乘法运算可判断D，从而可得答案．【详解】解：，不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；，故B符合题意；，故C不符合题意；，故D不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，乘法与除法运算，二次根式的化简，熟记运算法则是解本题的关键．2．D【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．【详解】解：A.1：2≠3：4，故四条线段不成比例，不合题意；B.2：3≠5：8，故四条线段不成比例，不符合题意；C.2：≠3：，故四条线段不成比例，不合题意；D.1：2=3：6，故四条线段成比例，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了比例线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．3．C【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，将代入一元二次方程得出关于a的一元一次方程，求出a，即可求解．【详解】解：∵是方程的一个解，∴，解得：，∴，故选：C．4．C【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形，，∴．∵四边形ABCD的内角和为，，，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等．5．D【分析】根据必然事件和随机事件的定义逐一判断即可．【详解】解：①买一张彩票不一定中奖，故本选项错误；②从一副普通扑克牌中任意抽取一张，不一定是红桃，故本选项错误．①②都错误，故选D．【点睛】此题考查的是必然事件和随机事件的判断，掌握必然事件和随机事件的定义是解决此题的关键．6．A【分析】根据配方法步骤解题即可．本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】解：，移项得，配方得，即，故选：A．7．B【分析】先求出的边长，判断出为直角三角形，再根据正切的概念求出tan∠BAC的值．【详解】如图，根据网格可得，，，，则有，故为直角三角形；在中，．故选B．【点睛】本题考查解直角三角形，解决本题的关键是利用勾股定理得到直角三角形．8．D【分析】开口方向由a决定，看a是否大于0，由于抛物线为顶点式，可直接确定对称轴与顶点对照即可，由于抛物线开口向上，在对称轴左侧函数值随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大即可．【详解】关于抛物线y=3（x－1）2＋2，a=3>0，抛物线开口向上，A正确，x=1是对称轴，B正确，抛物线的顶点坐标是（1，2），C正确，由于抛物线开口向上，x<1，函数值随x的增大而减小，x>1时，y随x的增大而增大，D不正确．故选：D．【点睛】本题考查抛物线的性质问题，由具体抛物线的顶点式抓住有用信息，会用二次项系数确定开口方向与大小，会求对称轴，会写顶点坐标，会利用对称轴把函数的增减性一分为二，还要结合a确定增减问题．9．A【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．【详解】解：、分别为、的中点，，，，，为的中点，，，，故选：．【点睛】本题考查了三角形中位线定理和直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线长度等于斜边的一半．10．D【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，计算即可．【详解】解：∵等边的顶点，，∴，过A作轴于C，

∵是等边三角形，∴，∴，∴，∵与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍，∴与的位似比为，∴点A的对应点的坐标是或，即或，故选：D．11．A【分析】本题考查了翻折变换、解直角三角形等相关知识点，证明是解决本题的关键．设，，由勾股定理可求，由折叠的性质结合三角形的外角可得，即可求的值．【详解】解：∵与之比为，∴设，，∴，∵将如图1所示折叠，使点C落在上，∴，∵将如图2所示折叠，使点B与点D重合，∴∴∴故选：A．12．B【分析】根据新定义的运算法则，将♣1化为一个关于x的一元二次方程求解，即可判断①；根据新定义得♣，则得出或，代入，即可判断②；根据一元二次方程根与系数的关系得出，则，求出，即可判断③；根据新定义和绝对值可得，根据一元二次方程的判别式，即可判断④．【详解】解：①♣，解得：或1；故①正确，符合题意；②♣，整理得：，∴，∴或，∴或，故②正确，符合题意；③♣，∵方程的解为、，∴，∴，则当时，♣，当时，♣，∴♣的值为或，故③不正确，不符合题意；④∵♣，∴，当时，整理得：，∴，解得：；当时，整理得：，∴，解得：；∴，故④不正确，不符合题意；综上：正确的有①②，共2个；故选：B．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根于系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是正确理解题意，明确新定义的运算顺序和运算法则，掌握一元二次方程根与系数关系：；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．13．x≠2【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x−2≠0，解可得自变量x的取值范围．【详解】根据题意，有x−2≠0，解可得x≠2；故自变量x的取值范围是x≠2．故答案为：x≠2．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件：分母不等于0．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．14．20【分析】本题考查用频率估计概率，利用概率公式求数量等知识，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解即可，掌握概率公式和频率与概率的关系是解题的关键．【详解】解：由题意得：，解得：，经检验：是方程的解，故答案为：20．15．【分析】利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程．【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示，

设小路宽为x米，根据题意得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．16．【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移法则是关键．根据抛物线图象的平移法则“左加右减，上加下减”解答即可．【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度可得：，再向下平移2个单位长度得到故答案为：17．2【分析】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用及相似三角形的性质的应用是解题关键．证明，设，由面积比列方程即可．【详解】解：，，，，点为中点，，设，面积为3，，，，，．故答案为：2．18．②③④【分析】根据题意证明∠CAE=∠ACE=45°,∠BCD=60°,AC=CD=BD=BC即可证明②正确,①错误,在△AEF中利用特殊三角函数即可证明③正确,在Rt△AOC中,利用即可证明④正确.【详解】解：由题可知,∠CAE=∠ACE=45°,∠BCD=60°,AC=CD=BD=BC,∴∠ACD=150°,∴∠CDA=∠CAD=15°,∴∠FCG=∠BDG=45°,∴,②正确,①错误,∵易证∠FAE=30°,设EF=x,则AE=CE=,∴,③正确,设CH与AD交点为O,易证∠FCO=30°,设OF=y,则CF=2y,由③可知,EF=（）y,∴AF=（）y,在Rt△AOC中,.故②③④正确.【点睛】本题考查了相似三角形的判定,特殊的直角三角形,三角函数的简单应用,难度较大,熟知特殊三角函数值是解题关键.19．(1)(2)(3)，【分析】本题主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数，解一元二次方程，掌握实数的混合运算法则，解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）根据平方差公式，实数的乘法运算法则即可求解；（2）根据特殊角的三角形函数值，绝对值的性质，非零数的零次幂，负指数幂的运算法则即可求解；（3）用配方法即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：∴，∴原方程的解是，．20．(1)60，90°(2)见解析(3)1000人(4)【分析】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角；（2）求得了解的人数，继而补全条形统计图；（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到1个男生和1个女生的结果，再利用概率公式求得答案．【详解】（1）∵了解很少的有30人，占50%，∴接受问卷调查的学生共有：（人）；∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：；故答案为：60，90°；（2）；补全条形统计图：（3）根据题意得：（人），则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为1000人；（4）画树状图得：由树状图可知，共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的结果有12种，∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为；(2)该品牌头盔的实际售价应定为50元．【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可；（2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案．【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，由题意得，，解得或（舍去），∴该品牌头盔销售量的月增长率为；（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元，由题意得，整理得，解得或，∵尽可能让顾客得到实惠，∴，∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．22．大楼部分楼体的高度约为17米.【分析】设楼高CE为x米，于是得到BE=x-20，解直角三角形即可得到结论．【详解】设楼高为米.∵在中，，∴.∵，∴，在中，，∴.解得（米）.在中，，∴（米）.答：大楼部分楼体的高度约为17米.【点睛】此题是解直角三角形的应用仰角和俯角，解本题的关键是利用三角函数解答．23．（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣，x1x2=，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣是是负整数，即可得是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为1、2、3或6，∴a的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．24．(1)cm(2)cm或20cm(3)2．【分析】（1）当PQBC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值；（2）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值；（3）当S△BCQ：S△ABC=1：3时，，于是得到，通过相似三角形的性质得到，即可得到结论．【详解】（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x∴∴x=；（2）假设两三角形可以相似，情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，解得经检验，x=是原分式方程的解．此时AP=情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，解得5经检验，x=5是原分式方程的解．此时AP=20cm．故答案为：cm或20cm（3）解：当S△BCQ：S△ABC=1：3时，，∴，由（1）知，PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，∴S△APQ：S△ABQ=2．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．25．（1）；（2），h有最大值；（3）点N的坐标为（0，-3），(−，3)，(，3)，（-5，3）．【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于