人教A版2019高一数学必修二第二学期624向量的数量积

人教A版高一数学必修二第二学期6.2.4向量的数量积第六章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积核心素养目标1.数学抽象：引导学生从物理、几何等实际背景中，抽象出平面向量的概念，以及向量加法、减法、数乘运算和数量积运算的定义，理解向量运算与实数运算的区别与联系，形成用向量语言和方法表述和解决现实问题的能力。2.直观想象：借助图形直观，帮助学生理解平面向量运算的几何意义，通过向量的几何表示和运算的可视化，使学生能够直观地感知向量运算的过程和结果，培养学生的空间观念和几何直观能力，进而利用向量运算解决几何问题。3.逻辑推理：

通过对平面向量运算规则和性质的探究与推导，培养学生的逻辑思维能力，使学生能够依据已有的定义、定理和运算法则，进行合理的推理和论证，得出新的结论，并能有条理地表达自己的推理过程。4.数学运算：让学生熟练掌握平面向量的各种运算方法和技巧，能够准确、快速地进行向量的加、减、数乘、数量积等运算，并能运用向量运算解决与向量模长、夹角、垂直、平行等相关的数学问题，提高学生的运算能力和数学应用能力。教学目标教学重点：：1.掌握向量加、减、数乘、数量积运算的概念、法则及

运算律。

2.熟练进行向量的坐标运算。

3.运用向量运算解决几何、物理等实际问题。教学难点：1.理解并应用向量运算的几何意义。

2.掌握向量数量积的概念与运算性质。

3.实现向量运算与其他知识的综合运用。情境导入平面向量数量积的物理背景

在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力

的作用下产生位移

，那么力

所做的功其中

是物体在位移方向上分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正投影的数量.【1】功W是一个数量，既涉及长度又涉及角度，且只与这两个量有关；【2】当0≤θ＜90°时，W＞0，力F做负功；当θ=90°时，力的方向和位移的方向互相垂直，W=0，力F不做功；当90°＜θ≤180°时，W＜0，力F做负功.知识讲解平面向量的夹角：已知两个非零向量

和

，在平面上取一点O，作

,则叫做向量

与

的夹角。知识讲解平面向量数量积的定义:已知两个非零向量

和

，它们的夹角为

,我们把数量叫做

与

的数量积(或内积),记作.规定：零向量与任意向量的数量积为0．知识讲解平面向量数量积的定义【规定】零向量与任一向量的数量积为0（1）在书写数量积时，

之间用实心圆点“·”连接，不能写成“×”,更不能不写.（2）向量的线性运算的结果是向量，但两个向量的数量积却是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度以及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定.（3）设两个非零向量之间的夹角为θ，则当θ=0°时，；当θ为锐角时，；当θ为直角时，；当θ为钝角时，;当θ=180°时，知识讲解①两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，其结果是数量(而不是向量)，可以为正，可以为负，也可以为零.②前面学习的向量的加法、减法和数乘，其结果全都是向量，要注意这两种不同运算的区别.③我们规定了

与任意向量的数量积为0，但由

，不能推出一定是零向量，这是因为两个向量垂直时，其夹角为90°,此时，故也有

④要注意=0，但

.注意：知识讲解(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量(2)两个向量的数量积称为内积，写成..√注意：知识讲解

如图①，设

和是两个非零向量

我们考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作

所在直线的垂线，垂足分别为A1、B1，得到

，我们称上述变换为向量

向向量

投影，

叫做向量在向量

上的投影向量.图①如图②，我们可以在平面内任取一点O，作

.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量

在向量

上的投影向量.图②设与

同方向的单位向量为

与

的夹角为θ，则OM1=11知识讲解★当θ为锐角时，投影的数量为正值；★当θ为钝角时，投影的数量为负值；★当θ为直角时，投影的数量为0；知识讲解直观理解正正0负负知识讲解平面向量数量积的性质设与都是非零向量，θ为向量与的夹角，是与方向相同的单位向量，则有如下性质：既可以证明向量垂直，也可以由垂直进行相关计算可以用来求向量的模，实现实数运算往向量运算的转化可以通过向量来证明不等式问题或者求最值问题14知识讲解向量数量积的运算律向量数量积的三大运算律和实数的交换律相同和实数的结合律相同和实数的分配律相同15知识讲解已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，试求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(2a－b)·(a＋3b)．总结：求向量的数量积时，需明确两个关键点：模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．知识讲解知识讲解求向量的模已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝。知识讲解已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝_____.知识讲解求两向量的夹角(1)已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为_____;(2)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为______．20知识讲解利用向量垂直求参数已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，则当k为何值时，向量3a＋2b与ka－b互相垂直？总结：常用向量数量积的性质a⊥b

a.b=0解决向量垂直问题，应熟练掌握．知识讲解

知识讲解向量的数量积知识讲解对任意

，恒有，对任意向量

，是否也有下面类似的结论？

知识讲解知识讲解知识讲解1．给出下列判断：①若

，则a=b=0;②已知a,b,c是三个非零向量，若a+