平面向量的坐标运算教案

平面向量的坐标运算教案一、教学目标1.知识与技能目标理解平面向量的坐标表示，掌握向量的坐标运算规则，包括向量加法、减法、数乘的坐标运算。能够运用向量的坐标运算解决一些简单的几何问题，如判断向量平行等。2.过程与方法目标通过建立直角坐标系，将向量与坐标对应起来，培养学生的数形结合思想。在推导向量坐标运算公式的过程中，让学生体会向量运算的严谨性，提高逻辑推理能力。3.情感态度与价值观目标让学生感受数学知识之间的内在联系，激发学生学习数学的兴趣。通过向量坐标运算的学习，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

二、教学重难点1.教学重点平面向量坐标运算的定义和运算法则。向量平行的坐标表示及其应用。2.教学难点对向量坐标运算定义的理解，尤其是向量坐标与点的坐标的区别与联系。运用向量坐标运算解决复杂的几何问题时，如何将几何条件准确地转化为向量坐标关系。

三、教学方法1.讲授法：讲解向量坐标运算的基本概念、公式和法则，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生讨论向量坐标运算在实际问题中的应用，激发学生的思维，培养学生的合作交流能力。3.练习法：通过适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用向量坐标运算解决问题的能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.复习回顾提问：什么是向量？向量有哪些表示方法？学生回答后，教师总结：向量是既有大小又有方向的量，可用有向线段表示，也可用字母表示。2.情境引入展示一幅城市地图，其中有两个地点A和B，给出它们在地图上的坐标。提问：如何从向量的角度来描述从A到B的位移？能否用坐标来表示这个向量呢？引出课题：平面向量的坐标运算。

（二）讲授新课（25分钟）1.平面向量的坐标表示建立直角坐标系：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。对于平面内的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj。我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。强调：向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。举例说明：在直角坐标系中，画出向量a=(2,3)，并解释其坐标的含义。2.向量的坐标运算向量加法的坐标运算已知a=(x₁,y₁)，b=(x₂,y₂)，求a+b的坐标。因为a=x₁i+y₁j，b=x₂i+y₂j，所以a+b=(x₁+x₂)i+(y₁+y₂)j。得出结论：a+b=(x₁+x₂,y₁+y₂)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和。例如：已知a=(1,2)，b=(3,4)，则a+b=(1+3,2+4)=(4,6)。向量减法的坐标运算同理，ab=(x₁x₂,y₁y₂)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差。例如：已知a=(5,6)，b=(2,3)，则ab=(52,63)=(3,3)。数乘向量的坐标运算已知a=(x,y)，λ为实数，求λa的坐标。因为λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj，所以λa=(λx,λy)。例如：已知a=(2,3)，λ=2，则2a=(2×2,2×3)=(4,6)。3.向量平行的坐标表示设a=(x₁,y₁)，b=(x₂,y₂)（b≠0），若a∥b，则存在实数λ，使得a=λb。即(x₁,y₁)=λ(x₂,y₂)=(λx₂,λy₂)，所以可得x₁y₂x₂y₁=0。得出向量平行的坐标表示：若a∥b（b≠0），则x₁y₂x₂y₁=0。强调：此公式是判断两个非零向量平行的重要依据，使用时要注意向量的坐标顺序。例如：已知a=(1,2)，b=(2,4)，判断a与b是否平行。计算1×42×2=0，所以a∥b。

（三）例题讲解（20分钟）例1：已知A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，求向量AB、BC、AC的坐标，并判断这三个向量是否共线。1.分析：根据向量坐标运算公式，先求出各向量的坐标。再利用向量平行的坐标表示判断是否共线。2.解答：AB=(31,42)=(2,2)。BC=(53,04)=(2,4)。AC=(51,02)=(4,2)。因为2×(2)2×4=48=12≠0，2×(2)4×(4)=4+16=12≠0，所以AB与BC、AC不共线，BC与AC也不共线。3.总结：通过本题，让学生巩固向量坐标运算公式和向量平行的坐标表示的应用，注意计算的准确性和判断方法的正确使用。

例2：已知向量a=(1,2)，b=(x,1)，当x为何值时，a+2b与2ab平行？1.分析：先求出a+2b与2ab的坐标。再根据向量平行的坐标表示列出方程求解。2.解答：a+2b=(1+2x,2+2×1)=(1+2x,4)。2ab=(2×1x,2×21)=(2x,3)。因为a+2b与2ab平行，所以(1+2x)×34×(2x)=0。展开得3+6x8+4x=0，即10x5=0，解得x=1/2。3.总结：本题考查了向量坐标运算与向量平行的综合应用，关键是正确求出向量坐标并利用平行条件列方程求解。

（四）课堂练习（15分钟）1.已知向量a=(3,1)，b=(1,2)，则3a+2b的坐标是（）A.(7,1)B.(7,1)C.(7,7)D.(7,1)2.若向量a=(1,2)，b=(2,3)，且a+λb与c=(4,7)平行，则λ=。3.已知A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，求证：AB⊥AC。4.已知向量a=(2,1)，b=(3,4)，求向量a+3b与2ab的夹角。

学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。完成后，请学生回答答案，教师进行点评和总结。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容：平面向量的坐标表示。向量的坐标运算（加法、减法、数乘）。向量平行的坐标表示。2.强调重点：向量坐标运算的规则和应用。向量平行的坐标表示的使用条件。3.让学生谈谈本节课的收获和体会，教师进行补充和完善。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材P108练习第3、4、5题。2.拓展作业：已知向量a=(1,2)，b=(3,1)，c=(5,4)，能否将c用a，b表示出来？若能，求出表示系数。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对平面向量的坐标运算有了初步的理解和掌握。在教学过程中，采用了多种教学方法相结合，如讲授法、讨论法和练习法，有助于学生更好地理解和吸收知识。但在教学中也发现了一些问题，部分学生对向量坐标与点的