平面向量基本定理教学设计

平面向量基本定理教学设计一、教学目标1.知识与技能目标理解平面向量基本定理，明确其内容和作用。掌握平面内任何向量都可以用两个不共线向量表示的方法，会在给定的基底条件下进行向量的分解。2.过程与方法目标通过对平面向量基本定理的探究过程，培养学生观察、分析、归纳、类比等逻辑思维能力，体会从特殊到一般的认知规律。经历向量分解的操作过程，提高学生的动手实践能力和数学运算能力，增强学生的直观想象素养。3.情感态度与价值观目标通过对定理的探究和应用，让学生感受数学的严谨性和科学性，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。体会数学知识之间的内在联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学应用意识和审美意识。

二、教学重难点1.教学重点平面向量基本定理的理解与证明。运用平面向量基本定理进行向量的分解。2.教学难点对平面向量基本定理中基底概念的理解，以及定理的应用条件。平面向量基本定理的发现和推导过程。

三、教学方法1.讲授法：讲解平面向量基本定理的概念、证明思路等基础知识，确保学生能够准确理解。2.探究法：通过引导学生探究向量的分解问题，让学生自主发现平面向量基本定理，培养学生的探究能力和创新思维。3.练习法：安排适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用平面向量基本定理进行向量分解和运算的能力。

四、教学过程

（一）课程导入1.复习回顾提问：什么是向量？向量有哪些表示方法？学生回答后，教师总结强调：向量是既有大小又有方向的量，可用有向线段表示，向量的大小称为向量的模。进一步提问：向量的加法和减法运算遵循什么法则？学生回答平行四边形法则和三角形法则后，教师通过图形再次演示这两个法则，加深学生的记忆。2.情境引入展示一个悬挂着的物体，受到重力和绳子拉力的作用处于平衡状态。提出问题：重力和拉力的关系如何？如果用向量来表示重力和拉力，它们之间有怎样的数学联系？引导学生思考：能否将重力分解为两个力，使得其中一个力与拉力平衡，另一个力沿某个方向？这就涉及到向量的分解问题，从而引出本节课的主题--平面向量基本定理。

（二）探索新知1.向量的分解给出问题：已知向量\(\vec{a}\)，能否用两个已知的不共线向量\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)来表示\(\vec{a}\)？让学生在纸上尝试画出向量\(\vec{a}\)以及不共线向量\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)，思考如何通过对\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)进行线性运算得到\(\vec{a}\)。教师巡视学生的操作情况，适时给予指导和启发。请几位学生上台展示他们的做法，并讲解思路。对于学生的展示，教师进行点评和总结，肯定正确的方法，纠正错误的做法，引导学生逐步发现向量分解的方法。2.平面向量基本定理的探究经过学生的实践操作和讨论，教师进一步提出问题：对于平面内任意一个向量\(\vec{a}\)，是否都存在唯一一对实数\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)，使得\(\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}\)成立？其中\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是平面内两个不共线的向量。让学生分组讨论这个问题，鼓励学生从不同角度思考，尝试用多种方法进行验证。各小组派代表发言，分享小组讨论的结果和思路。教师结合学生的讨论情况，进行总结和归纳：首先，从直观上看，由于平面内两个不共线的向量可以确定一个平面，那么平面内的任何向量都可以通过这两个向量的线性组合来表示。然后，通过向量的运算来严格证明。设\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是平面内两个不共线的向量，对于平面内任意向量\(\vec{a}\)，过向量\(\vec{a}\)的起点\(O\)作直线\(l\)平行于\(\vec{e_1}\)，过向量\(\vec{a}\)的终点\(A\)作直线\(m\)平行于\(\vec{e_2}\)，直线\(l\)与\(\vec{e_2}\)所在直线相交于点\(M\)，直线\(m\)与\(\vec{e_1}\)所在直线相交于点\(N\)。因为\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)不共线，所以存在唯一的实数\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)，使得\(\overrightarrow{OM}=\lambda_1\vec{e_2}\)，\(\overrightarrow{ON}=\lambda_2\vec{e_1}\)。由向量加法的平行四边形法则可知\(\vec{a}=\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\lambda_1\vec{e_2}+\lambda_2\vec{e_1}\)。最后，证明实数\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)的唯一性。假设存在另一对实数\(\mu_1\)，\(\mu_2\)，使得\(\vec{a}=\mu_1\vec{e_1}+\mu_2\vec{e_2}\)，则\(\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}=\mu_1\vec{e_1}+\mu_2\vec{e_2}\)，即\((\lambda_1\mu_1)\vec{e_1}+(\lambda_2\mu_2)\vec{e_2}=\vec{0}\)。因为\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)不共线，所以\(\lambda_1\mu_1=0\)且\(\lambda_2\mu_2=0\)，即\(\lambda_1=\mu_1\)，\(\lambda_2=\mu_2\)，所以实数\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)是唯一的。这样就得到了平面向量基本定理：如果\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量\(\vec{a}\)，有且只有一对实数\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)，使\(\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}\)。教师强调：定理中的\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。一组基底中两个向量必须是不共线的。平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，它表明平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的。

（三）例题讲解例1：已知向量\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是平面内的一组基底，\(\vec{a}=3\vec{e_1}2\vec{e_2}\)，\(\vec{b}=2\vec{e_1}+\vec{e_2}\)，\(\vec{c}=7\vec{e_1}4\vec{e_2}\)，试用\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)表示\(\vec{c}\)。分析：设\(\vec{c}=x\vec{a}+y\vec{b}\)，然后将\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)代入，根据向量相等的条件求出\(x\)，\(y\)的值。解：设\(\vec{c}=x\vec{a}+y\vec{b}\)，则\(\vec{c}=x(3\vec{e_1}2\vec{e_2})+y(2\vec{e_1}+\vec{e_2})=(3x2y)\vec{e_1}+(2x+y)\vec{e_2}\)。又\(\vec{c}=7\vec{e_1}4\vec{e_2}\)，所以\(\begin{cases}3x2y=7\\2x+y=4\end{cases}\)。解方程组：由\(2x+y=4\)可得\(y=2x4\)，将其代入\(3x2y=7\)中，得到\(3x2(2x4)=7\)，即\(3x4x+8=7\)，解得\(x=1\)。把\(x=1\)代入\(y=2x4\)，得\(y=2\times14=2\)。所以\(\vec{c}=\vec{a}2\vec{b}\)。教师总结：本题关键是根据平面向量基本定理设出表达式，然后通过向量相等建立方程组求解。

例2：如图，\(\triangleABC\)中，\(D\)是\(BC\)的中点，\(E\)是\(AD\)的中点，设\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{AC}=\vec{b}\)，试用\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)表示\(\overrightarrow{DE}\)。分析：利用三角形法则和向量的线性运算，逐步将\(\overrightarrow{DE}\)用\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)表示出来。解：因为\(D\)是\(BC\)的中点，所以\(\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\)。又因为\(E\)是\(AD\)的中点，所以\(\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b})=\frac{1}{4}\vec{a}\frac{1}{4}\vec{b}\)。教师点评：本题通过向量的中点关系和线性运算，将目标向量逐步转化为已知向量的表达式，体现了平面向量基本定理在解决几何问题中的应用。

（四）课堂练习1.已知向量\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是平面内的一组基底，\(\vec{a}=2\vec{e_1}+3\vec{e_2}\)，\(\vec{b}=\vec{e_1}+2\vec{e_2}\)，则\(2\vec{a}3\vec{b}=\)______。2.若\(\overrightarrow{OA}=\vec{e_1}\)，\(\overrightarrow{OB}=\vec{e_2}\)，\(\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}\)，则\(\overrightarrow{OP}=\)______（用\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)表示）。3.如图，在平行四边形\(ABCD\)中，\(E\)，\(F\)分别是\(BC\)，\(DC\)的中点，设\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{AD}=\vec{b}\)，试用\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)表示\(\overrightarrow{AE}\)和\(\overrightarrow{AF}\)。

学生完成练习后，教师进行巡视，及时发现学生存在的问题并给予指导。然后请几位学生上台展示答案，教师进行点评和讲解，强调解题的思路和方法，巩固所学知识。

（五）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容，提问：什么是平面向量基本定理？定理中的基底有什么特点？如何运用平面向量基本定理进行向量的分解？2.学生回答后，教师进行总结：平面向量基本定理：如果\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量\(\vec{a}\)，有且只有一对实数\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)，使\(\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}\)。基底的特点：两个向量不共线。向量分解的方法：设\(\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}\)，然后根据已知条件通过向量运算求出\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)的值。3.强调平面向量基本定理的重要性：它是平面向量的核心定理，为向量的运算和应用提供了重要的理论基础，在解决几何问题、物理问题等方面有着广泛的应用。

（六）布置作业1.书面作业：教材课后习题第[X]题、第[X]题、第[X]题。2.拓展作业：已知\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是平面内两个不共线的向量，\(\vec{a}=m\vec{e_1}+n\vec{e_2}\)，\(\vec{b}=p\vec{e_1}+q\vec{e_2}\)，且\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线，求证：\(mqnp=0\)。

五、教学反思在本节课的教学过程中，通过复习回顾向量的相关知识，引入实际情境问题，激发了学生的学习兴趣和探究欲望。在探索平面向量基本定理的过程中，让学生经历了自主探究、小组讨论、实