小学六年级数学工程问题应用题典型题

小学六年级数学工程问题应用题典型题一、工程问题的基本概念工程问题是小学数学应用题中的重要类型，它主要研究工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系。通常把工作总量看作单位"1"，工作效率就是单位时间内完成的工作量。

二、基本数量关系1.工作总量=工作效率×工作时间2.工作效率=工作总量÷工作时间3.工作时间=工作总量÷工作效率

三、典型例题分析

（一）简单的工程问题1.例题1：一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。两队合做，几天可以完成这项工程？-分析：-把这项工程的工作总量看作单位"1"。-甲队单独做需要10天完成，根据工作效率=工作总量÷工作时间，可得甲队的工作效率为\(1\div10=\frac{1}{10}\)。-乙队单独做需要15天完成，乙队的工作效率为\(1\div15=\frac{1}{15}\)。-两队合作的工作效率就是甲队工作效率与乙队工作效率之和，即\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\)。-解答：-先求两队合作的工作效率：\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\)-再根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得两队合作完成这项工程需要的时间为：\(1\div\frac{1}{6}=6\)（天）-总结：-解决这类简单工程问题的关键是明确工作总量、工作效率和工作时间之间的关系，先分别求出各队的工作效率，再求出合作的工作效率，最后根据公式计算工作时间。

2.例题2：一件工作，甲单独做8小时完成，乙单独做12小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙做，还需要几小时完成？-分析：-把这件工作的工作总量看作单位"1"。-甲单独做8小时完成，甲的工作效率为\(1\div8=\frac{1}{8}\)。-乙单独做12小时完成，乙的工作效率为\(1\div12=\frac{1}{12}\)。-甲先做2小时，根据工作总量=工作效率×工作时间，甲做了\(\frac{1}{8}\times2=\frac{1}{4}\)。-那么余下的工作总量为\(1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)。-解答：-先求余下的工作总量：\(1-\frac{1}{8}\times2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)-再求乙完成余下工作需要的时间：\(\frac{3}{4}\div\frac{1}{12}=\frac{3}{4}\times12=9\)（小时）-总结：-本题先求出甲完成的工作量，进而得到余下的工作量，然后根据乙的工作效率求出乙完成余下工作所需的时间。要注意分析题目中的工作顺序和各部分工作量之间的关系。

（二）工作效率变化的工程问题1.例题3：一项工程，甲、乙两队合做12天完成。现在甲队先做8天，乙队接着做14天正好完成。如果由甲队单独做这项工程，需要多少天完成？-分析：-把这项工程的工作总量看作单位"1"。-甲、乙两队合做12天完成，两队合作的工作效率为\(1\div12=\frac{1}{12}\)。-甲队先做8天，乙队接着做14天，可以看作甲、乙两队合做8天，乙队再单独做\(14-8=6\)天。-甲、乙两队合做8天的工作量为\(\frac{1}{12}\times8=\frac{2}{3}\)。-那么乙队6天完成的工作量为\(1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\)。-由此可求出乙队的工作效率为\(\frac{1}{3}\div6=\frac{1}{18}\)。-进而求出甲队的工作效率为\(\frac{1}{12}-\frac{1}{18}\)。-解答：-先求乙队的工作效率：\((1-\frac{1}{12}\times8)\div(14-8)=(1-\frac{2}{3})\div6=\frac{1}{3}\div6=\frac{1}{18}\)-再求甲队的工作效率：\(\frac{1}{12}-\frac{1}{18}=\frac{3}{36}-\frac{2}{36}=\frac{1}{36}\)-最后求甲队单独完成这项工程需要的时间：\(1\div\frac{1}{36}=36\)（天）-总结：-此类问题通过对工作过程的合理转化，将复杂的工作情况转化为熟悉的合作与单独工作相结合的形式，从而求出各队的工作效率，进而解决问题。关键在于找到工作效率之间的关系，巧妙地进行工作量的拆分和计算。

2.例题4：一批零件，师傅单独加工需要12小时完成，徒弟单独加工需要18小时完成。师傅先加工2小时后，剩下的由师徒两人合作完成，还需要几小时？-分析：-把这批零件的工作总量看作单位"1"。-师傅单独加工需要12小时完成，师傅的工作效率为\(1\div12=\frac{1}{12}\)。-徒弟单独加工需要18小时完成，徒弟的工作效率为\(1\div18=\frac{1}{18}\)。-师傅先加工2小时，师傅加工的工作量为\(\frac{1}{12}\times2=\frac{1}{6}\)。-那么剩下的工作量为\(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)。-师徒两人合作的工作效率为\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}\)。-解答：-先求剩下的工作量：\(1-\frac{1}{12}\times2=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)-再求师徒两人合作的工作效率：\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}=\frac{5}{36}\)-最后求师徒两人合作完成剩下工作需要的时间：\(\frac{5}{6}\div\frac{5}{36}=\frac{5}{6}\times\frac{36}{5}=6\)（小时）-总结：-本题先明确师傅单独加工的工作量，进而得出剩余工作量，再求出师徒合作的工作效率，最后利用工作时间公式求解。重点在于准确把握工作效率和工作量的变化情况，逐步计算所需时间。

（三）多人合作的工程问题1.例题5：一项工程，甲、乙、丙三人合做需要10天完成。如果甲、乙合做需要12天完成，乙、丙合做需要15天完成。那么甲、丙合做需要多少天完成？-分析：-把这项工程的工作总量看作单位"1"。-甲、乙、丙三人合做的工作效率为\(1\div10=\frac{1}{10}\)。-甲、乙合做的工作效率为\(1\div12=\frac{1}{12}\)。-乙、丙合做的工作效率为\(1\div15=\frac{1}{15}\)。-用甲、乙、丙三人合做的工作效率减去乙、丙合做的工作效率，可得到甲的工作效率为\(\frac{1}{10}-\frac{1}{15}\)。-用甲、乙、丙三人合做的工作效率减去甲、乙合做的工作效率，可得到丙的工作效率为\(\frac{1}{10}-\frac{1}{12}\)。-然后求出甲、丙合做的工作效率，进而求出甲、丙合做需要的时间。-解答：-先求甲的工作效率：\(\frac{1}{10}-\frac{1}{15}=\frac{3}{30}-\frac{2}{30}=\frac{1}{30}\)-再求丙的工作效率：\(\frac{1}{10}-\frac{1}{12}=\frac{6}{60}-\frac{5}{60}=\frac{1}{60}\)-接着求甲、丙合做的工作效率：\(\frac{1}{30}+\frac{1}{60}=\frac{2}{60}+\frac{1}{60}=\frac{3}{60}=\frac{1}{20}\)-最后求甲、丙合做需要的时间：\(1\div\frac{1}{20}=20\)（天）-总结：-对于多人合作的工程问题，通过已知条件求出各组合的工作效率，再通过组合工作效率之间的运算求出特定两人合作的工作效率，从而解决问题。关键是要清晰地分析各组合工作效率之间的关系，逐步推导所需的工作效率。

2.例题6：一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。甲、乙各做了多少天？-分析：-把这件工作的工作总量看作单位"1"。-甲单独做要20天完成，甲的工作效率为\(1\div20=\frac{1}{20}\)。-乙单独做要12天完成，乙的工作效率为\(1\div12=\frac{1}{12}\)。-设甲做了\(x\)天，则乙做了\((14-x)\)天。-根据甲的工作量加上乙的工作量等于工作总量"1"，可列出方程。-解答：设甲做了\(x\)天，则乙做了\((14-x)\)天。\(\frac{1}{20}x+\frac{1}{12}(14-x)=1\)\(\frac{1}{20}x+\frac{14}{12}-\frac{1}{12}x=1\)\(\frac{1}{20}x-\frac{1}{12}x=1-\frac{14}{12}\)\(\frac{3}{60}x-\frac{5}{60}x=\frac{12}{12}-\frac{14}{12}\)\(-\frac{2}{60}x=-\frac{2}{12}\)\(x=5\)则乙做的天数为：\(14-5=9\)（天）-总结：-本题通过设未知数，利用工作量的关系建立方程求解。对于此类有时间限制且两人分别工作的工程问题，设未知数并根据工作量之和为1来列方程是常用的解题方法。要注意找到合适的等量关系，准确列出方程并求解。

（四）周期工程问题1.例题7：一项工程，甲单独做需要12小时完成，乙单独做需要18小时完成。如果按照甲先乙后每人每次1小时轮流工作，完成这项工程需要多少小时？-分析：-把这项工程的工作总量看作单位"1"。-甲单独做需要12小时完成，甲的工作效率为\(1\div12=\frac{1}{12}\)。-乙单独做需要18小时完成，乙的工作效率为\(1\div18=\frac{1}{18}\)。-甲、乙各做1小时看作一个循环周期，一个周期完成的工作量为\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}\)。-计算需要几个完整周期以及剩余工作量，再确定完成剩余工作量所需时间。-解答：-先求一个周期完成的工作量：\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}=\frac{5}{36}\)-再求需要几个周期：\(1\div\frac{5}{36}=1\times\frac{36}{5}=7\frac{1}{5}\)-即经过7个完整周期后，还剩下的工作量为：\(1-\frac{5}{36}\times7=1-\frac{35}{36}=\frac{1}{36}\)-此时轮到甲做，甲完成\(\frac{1}{36}\)工作量需要的时间为：\(\frac{1}{36}\div\frac{1}{12}=\frac{1}{36}\times12=\frac{1}{3}\)（小时）-所以完成这项工程总共需要的时间为：\(7\times2+\frac{1}{3}=14+\frac{1}{3}=14\frac{1}{3}\)（小时）-总结：-周期工程问题关键是找出循环周期以及每个周期完成的工作量，通过计算周期数和剩余工作量来确定完成工程所需的总时间。要注意分析每个周期内不同人员的工作情况以及剩余工作量的分配。

2.例题8：一项工程，甲、乙、丙三人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时，乙、丙合做2小时，可以完成这项工程的\(\frac{2}{3}\)；如果甲、乙合做3小时，丙做6小时，也可以完成这项工程的\(\frac{2}{3}\)。这项工程如果由甲、丙合做，需要几小时完成？-分析：-把这项工程的工作总量看作单位"1"。-甲、乙、丙三人合做6小时可以完成，三人合作的工作效率为\(1\div6=\frac{1}{6}\)。-甲工作6小时，乙、丙合做2小时，可以完成这项工程的\(\frac{2}{3}\)，可看作甲、乙、丙合做2小时，甲再单独做\(6-2=4\)小时完成\(\frac{2}{3}\)。-那么甲4小时完成的工作量为\(\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\times2\)。-由此可求出甲的工作效率。-甲、乙合做3小时，丙做6小时，也可以完成这项工程的\(\frac{2}{3}\)，可看作甲、乙、丙合做3小时，丙再单独做\(6-3=3\)小时完成\(\frac{2}{3}\)。-那么丙3小时完成的工作量为\(\frac{2}{3}-\fra