平均变化率教案

平均变化率教案一、教学目标1.知识与技能目标理解平均变化率的概念，能计算函数在某区间上的平均变化率。通过实际问题的分析，体会平均变化率的实际意义，会用平均变化率来刻画实际问题中变量的变化快慢。2.过程与方法目标通过对实例的分析，经历从具体情境中抽象出平均变化率概念的过程，培养学生的抽象概括能力。通过对函数平均变化率的计算，让学生体会从数值角度刻画函数变化的方法，提高学生的数学运算能力。通过小组合作探究，培养学生的合作交流能力和自主探究能力，让学生学会在合作中学习，在学习中合作。3.情感态度与价值观目标通过实际问题的引入，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。在探究平均变化率概念的过程中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，让学生体验成功的喜悦。

二、教学重难点1.教学重点平均变化率的概念和计算方法。用平均变化率来刻画实际问题中变量的变化快慢。2.教学难点对平均变化率概念的理解，尤其是对"平均"和"变化率"的理解。如何引导学生从实际问题中抽象出平均变化率的概念，并能用它来解决实际问题。

三、教学方法1.讲授法：通过清晰、准确的语言，向学生讲解平均变化率的概念、计算方法和实际意义，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生进行小组讨论，让学生在交流中相互启发，深化对平均变化率概念的理解，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.探究法：引导学生自主探究实际问题中的变化规律，通过对具体例子的分析和计算，抽象出平均变化率的概念，培养学生的自主探究能力和创新精神。

四、教学过程

（一）情境导入（5分钟）1.展示问题问题1：在股票交易中，经常会听到"股价上涨或下跌了几个百分点"这样的说法。比如，某股票在一段时间内从每股10元涨到了每股12元，你能计算出它的涨幅是多少吗？问题2：一辆汽车在行驶过程中，速度会不断变化。如果它在2小时内从静止加速到了60km/h，你能描述它的速度变化情况吗？2.引导思考提出问题：对于上述两个问题，我们如何定量地描述它们的变化情况呢？有没有一种数学方法可以准确地表示这种变化的快慢呢？让学生思考并尝试回答，激发学生的学习兴趣和求知欲，为引入平均变化率的概念做铺垫。

（二）知识讲解（15分钟）1.平均变化率的概念以问题1为例，分析股票价格的变化情况。设股票价格\(y\)与时间\(x\)的函数关系为\(y=f(x)\)，开始时\(x_1=0\)，\(y_1=10\)；一段时间后\(x_2=1\)（假设时间单位为小时），\(y_2=12\)。那么股票价格在这段时间内的变化量\(\Deltay=y_2y_1=1210=2\)。时间的变化量\(\Deltax=x_2x_1=10=1\)。则股票价格在这段时间内的平均变化率为\(\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{2}{1}=2\)，它表示股票价格平均每小时上涨2元。一般地，对于函数\(y=f(x)\)，设自变量\(x\)从\(x_1\)变化到\(x_2\)，相应的函数值从\(y_1=f(x_1)\)变化到\(y_2=f(x_2)\)，则称\(\Deltax=x_2x_1\)为自变量的改变量，\(\Deltay=y_2y_1=f(x_2)f(x_1)\)为函数值的改变量，函数\(y=f(x)\)从\(x_1\)到\(x_2\)的平均变化率为\(\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{f(x_2)f(x_1)}{x_2x_1}\)。2.强调要点向学生强调：\(\Deltax\)和\(\Deltay\)是有顺序的，\(\Deltax=x_2x_1\)，\(\Deltay=f(x_2)f(x_1)\)，且\(\Deltax\)可以是正数，也可以是负数，但不能为\(0\)。平均变化率反映了函数在某一区间上变化的快慢，它是一个比值，其值的大小与所选的区间有关。

（三）实例分析（20分钟）1.例1已知函数\(f(x)=2x+1\)，求\(x\)从\(1\)变化到\(3\)时，函数\(f(x)\)的平均变化率。分析：首先明确\(x_1=1\)，\(x_2=3\)。计算\(f(x_1)=2\times1+1=3\)，\(f(x_2)=2\times3+1=7\)。则\(\Deltax=x_2x_1=31=2\)，\(\Deltay=f(x_2)f(x_1)=73=4\)。所以平均变化率\(\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{4}{2}=2\)。解答过程：解：\(f(x_1)=2\times1+1=3\)，\(f(x_2)=2\times3+1=7\)。\(\Deltax=31=2\)，\(\Deltay=73=4\)。平均变化率\(\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{4}{2}=2\)。总结：让学生回顾计算平均变化率的步骤：先求\(\Deltax\)，再求\(\Deltay\)，最后计算\(\frac{\Deltay}{\Deltax}\)。强调在计算过程中要准确代入函数值进行计算。2.例2某婴儿从出生到第12个月的体重变化情况如下表所示：

|月龄\(x\)（月）|0|2|4|6|8|10|12||::|::|::|::|::|::|::|::||体重\(y\)（kg）|3.5|5.0|6.0|7.0|7.5|8.0|8.5|

求该婴儿从出生到第12个月体重的平均变化率。分析：这里\(x_1=0\)，\(x_2=12\)。\(y_1=3.5\)，\(y_2=8.5\)。计算\(\Deltax=120=12\)，\(\Deltay=8.53.5=5\)。则平均变化率\(\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{5}{12}\)。解答过程：解：由表格可知\(x_1=0\)，\(x_2=12\)，\(y_1=3.5\)，\(y_2=8.5\)。\(\Deltax=120=12\)，\(\Deltay=8.53.5=5\)。平均变化率\(\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{5}{12}\)（kg/月）。总结：引导学生观察表格数据，理解如何从实际数据中获取\(x_1\)，\(x_2\)，\(y_1\)，\(y_2\)的值。强调平均变化率的实际意义，这里\(\frac{5}{12}\)kg/月表示该婴儿平均每月体重增加\(\frac{5}{12}\)kg。3.小组讨论提出问题：在例2中，如果我们想知道婴儿在2个月到6个月期间体重的平均变化率，应该如何计算？组织学生进行小组讨论，每个小组派代表发言，分享小组讨论的结果。教师对各小组的发言进行点评和总结，进一步强化学生对平均变化率计算方法的掌握。

（四）巩固练习（15分钟）1.已知函数\(f(x)=x^2\)，求\(x\)从\(2\)变化到\(4\)时，函数\(f(x)\)的平均变化率。2.一个物体做直线运动，其位移\(s\)（单位：m）与时间\(t\)（单位：s）的关系为\(s=3t^2+1\)。求\(t\)从\(2\)s变化到\(4\)s时，物体位移的平均变化率。3.某企业生产某种产品的月产量\(y\)（单位：万件）与月份\(x\)的关系如下表所示：

|月份\(x\)|1|2|3|4||::|::|::|::|::||月产量\(y\)|2|3|5|6|

求该企业1月份到4月份月产量的平均变化率。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容平均变化率的概念：对于函数\(y=f(x)\)，从\(x_1\)到\(x_2\)的平均变化率为\(\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{f(x_2)f(x_1)}{x_2x_1}\)。计算平均变化率的步骤：先确定\(x_1\)，\(x_2\)的值，再计算\(f(x_1)\)，\(f(x_2)\)，进而求出\(\Deltax\)，\(\Deltay\)，最后计算\(\frac{\Deltay}{\Deltax}\)。平均变化率的实际意义：它反映了函数在某一区间上变化的快慢，可用于刻画实际问题中变量的变化情况。2.让学生分享本节课的收获和体会请几位学生站起来发言，谈谈自己在本节课中对平均变化率概念的理解、计算方法的掌握以及通过实例分析所获得的对实际问题的认识等方面的收获。教师对学生的发言进行补充和完善，鼓励学生积极思考，勇于表达自己的观点。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业已知函数\(f(x)=3x2\)，求\(x\)从\(1\)变化到\(3\)时，函数\(f(x)\)的平均变化率。某运动员在400m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间\(t\)（单位：s）与他跑步的速度\(v\)（单位：m/s）的关系为\(t=\frac{400}{v}\)。当他的速度从\(5m/s\)提高到\(8m/s\)时，求他跑一圈所用时间的平均变化率，并解释其实际意义。2.拓展作业查阅资料，了解平均变化率在其他领域（如物理学、经济学等）的应用，并举例说明。思考：平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？

五、教学反思通过本节课的教学，学生对平均变化率的概念有了初步的理解，掌握了计算平均变化率的方法，并能运用它来解决一些简单的实际问题。在教学过程中，通过创设问题情境，引导学生自主探究和小组合作交流，激发了学生的学习兴趣和积极性，培养了学生的抽象概括能力、数学运