高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 导数 3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义教学实录 新人教B版选修1-1

高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义教学实录新人教B版选修1-1主备人备课成员课程基本信息1.课程名称：高中数学

2.教学年级和班级：高一年级

3.授课时间：2022年9月14日星期三下午第二节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.培养学生运用导数解决实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。

2.帮助学生理解导数的概念，感受数学与物理、几何的紧密联系。

3.培养学生的逻辑推理和数学抽象思维，提高数学建模能力。

4.增强学生的数学应用意识，提高对数学学科的兴趣和自信心。重点难点及解决办法重点：

1.瞬时速度与导数的联系，理解导数的几何意义。

2.应用导数解决实际问题，如计算曲线在某一点的切线斜率。

难点：

1.理解导数的几何意义，将几何直观与数学概念结合。

2.将实际问题转化为导数问题，构建数学模型。

解决办法：

1.通过实例演示和图形辅助，帮助学生理解导数的几何意义。

2.通过分组讨论和问题引导，引导学生将实际问题转化为导数问题。

3.利用实际问题练习，帮助学生熟练应用导数解决具体问题。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段1.教学方法：

-讲授法：系统讲解导数的定义和几何意义，确保基础知识掌握。

-案例分析法：通过实际案例，引导学生理解和应用导数解决问题。

-小组讨论法：鼓励学生分组讨论，培养合作学习能力和问题解决能力。

2.教学手段：

-多媒体演示：利用动画和图形展示导数的概念，增强直观性。

-实际应用软件：运用数学软件进行动态演示，帮助学生直观感受导数变化。

-板书与实物模型：结合板书和实物模型，强化学生对导数概念的深入理解。教学流程1.导入新课（用时5分钟）

-提问：回顾初中阶段学习的平均速度，引出瞬时速度的概念。

-展示：展示一辆汽车行驶的轨迹图，提问学生如何计算汽车在某一时刻的速度。

-引入：介绍导数的概念，说明导数是研究瞬时变化率的重要工具。

2.新课讲授（用时15分钟）

-讲解导数的定义：通过极限的思想，讲解导数的定义，结合实例说明。

-解释导数的几何意义：通过图形展示，讲解导数在几何上的应用，如切线斜率。

-应用导数解决实际问题：举例说明如何利用导数计算曲线在某一点的切线斜率。

3.实践活动（用时10分钟）

-活动一：学生独立完成练习题，计算给定函数在某一点的导数。

-活动二：小组合作，分析实际问题，如物体运动轨迹的瞬时速度问题。

-活动三：展示学生解答过程，教师点评并总结解题方法。

4.学生小组讨论（用时10分钟）

-讨论一：如何将实际问题转化为导数问题？

-举例：讨论如何计算抛物线y=x^2在x=2处的切线斜率。

-讨论二：导数的几何意义在实际问题中的应用有哪些？

-举例：讨论如何利用导数判断函数的增减性。

-讨论三：如何理解导数的物理意义？

-举例：讨论如何利用导数计算物体运动过程中的瞬时加速度。

5.总结回顾（用时5分钟）

-回顾本节课所学内容，强调导数的定义、几何意义和应用。

-总结重点：导数的概念、几何意义以及如何应用导数解决实际问题。

-强调难点：理解导数的几何意义和将实际问题转化为导数问题。

-布置作业：完成课后练习题，巩固所学知识。

教学流程总结：

本节课通过导入新课、新课讲授、实践活动、小组讨论和总结回顾等环节，帮助学生理解和掌握导数的概念、几何意义和应用。通过实例分析和实践活动，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力和问题解决能力。在教学过程中，注重启发式教学，鼓励学生积极参与讨论，培养学生的合作学习能力和创新思维。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解导数的概念

-学生能够准确理解导数的定义，认识到导数是研究函数在某一点处变化率的一种数学工具。

-学生能够通过实例，如函数的切线斜率，直观地感受到导数的几何意义。

2.掌握导数的计算方法

-学生能够熟练运用导数的定义和求导法则，计算简单函数的导数。

-学生能够识别和应用基本的求导公式，如幂函数、指数函数和对数函数的导数。

3.应用导数解决实际问题

-学生能够将实际问题转化为数学问题，利用导数解决实际问题，如计算曲线在某一点的切线斜率。

-学生能够应用导数分析函数的性质，如单调性、极值点和拐点。

4.提高数学思维能力

-学生在理解和应用导数的过程中，培养了逻辑推理和数学抽象思维能力。

-学生学会了从几何和物理角度理解数学概念，提高了数学建模能力。

5.增强数学应用意识

-学生通过学习导数，认识到数学在各个领域的应用价值，增强了数学应用意识。

-学生能够将数学知识应用于实际生活，如分析经济数据、优化生产过程等。

6.提升合作学习能力和沟通技巧

-在小组讨论环节，学生学会了如何表达自己的观点，倾听他人的意见，提高了沟通技巧。

-学生通过合作解决问题，培养了团队协作精神，提升了合作学习能力。

7.增强学习动力和自信心

-通过学习导数及其应用，学生感受到数学的魅力，增强了学习数学的兴趣和动力。

-学生在解决实际问题的过程中取得成功，提高了自信心，为后续学习奠定了基础。

-理解并掌握了导数的概念、计算方法和应用；

-提高了数学思维能力和数学应用意识；

-增强了合作学习能力和沟通技巧；

-增强了学习动力和自信心。

这些学习效果将有助于学生在未来的学习中更好地应对数学挑战，为培养综合素质打下坚实的基础。教学反思今天这节课，我主要讲解了导数的概念、几何意义和应用。在回顾教学过程时，我觉得有几个方面值得反思。

首先，我觉得在导入新课的时候，我选择了汽车行驶轨迹图作为引入，这个方法挺有效的。学生们对汽车行驶的情景比较熟悉，通过这个实例，他们能够更容易地理解瞬时速度的概念，进而过渡到导数的定义。但是，我也注意到有些学生对于导数的定义还是有些模糊，这说明我在讲解导数定义的时候可能需要更加细致和耐心。

其次，我在讲解导数的几何意义时，使用了多媒体演示和实物模型相结合的方法。我发现，这种方法对于理解导数的几何意义很有帮助，学生们能够通过直观的图形和模型，更清晰地看到导数在几何上的应用。不过，我也发现有些学生对于如何将几何直观与数学概念结合还有一定的困难，这可能是因为他们对数学概念的理解还不够深入。因此，我需要在今后的教学中，更加注重数学概念与实际应用的结合，帮助学生建立起这种联系。

在实践活动环节，我设计了几个实际问题让学生去解决。这个环节的设计初衷是让学生将所学知识应用到实际中去，提高他们的数学应用能力。但是，在实践活动中，我发现有些学生对于如何将实际问题转化为导数问题感到困惑。这说明我在讲解这一部分内容时，可能没有做到让学生充分理解导数的应用背景。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生思考问题的本质，帮助他们建立起数学模型。

在小组讨论环节，我鼓励学生们互相交流，共同解决问题。这个环节的设计是为了培养学生的合作学习能力和沟通技巧。我发现，学生们在讨论中能够积极地表达自己的观点，倾听他人的意见，这让我感到很欣慰。但是，也有一些学生在讨论中显得比较被动，这可能是因为他们对问题的理解不够深入，或者是不够自信。因此，我需要在今后的教学中，更加关注每个学生的学习状态，适时给予他们指导和鼓励。

总的来说，这节课的教学效果还是不错的。学生们对导数的概念和应用有了更深入的理解，他们的数学思维能力也得到了锻炼。但是，我也意识到在教学过程中还存在一些不足，比如在讲解难点时不够细致，对于学生的个别差异关注不够等。在今后的教学中，我将继续努力改进教学方法，提高教学质量，让每个学生都能够学有所得。内容逻辑关系①导数的概念

-本文重点知识点：导数的定义、极限思想

-关键词：变化率、极限、微分

-重点句子：导数是函数在某一点处的变化率，可以通过极限的方法来定义。

②导数的几何意义

-本文重点知识点：切线斜率、导数的几何解释

-关键词：切线、斜率、导数

-重点句子：导数在几何上表示曲线在某一点的切线斜率。

③导数的应用

-本文重点知识点：函数的单调性、极值、最值

-关键词：单调性、极值点、最值

-重点句子：通过导数可以判断函数的单调性，并找到函数的极值点和最值点。典型例题讲解例题1：已知函数f(x)=x^3-3x，求f(x)在x=2时的导数。

解答：

首先，根据导数的定义，我们需要计算f(x)在x=2处的导数：

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

将f(x)=x^3-3x代入，得到：

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-3(x+h)-(x^3-3x)}{h}\]

\[=\lim_{h\to0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-3x-3h-x^3+3x}{h}\]

\[=\lim_{h\to0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3-3h}{h}\]

\[=\lim_{h\to0}(3x^2+3xh+h^2-3)\]

当h趋近于0时，h的项都趋近于0，所以：

\[f'(2)=3\cdot2^2-3=12-3=9\]

例题2：求函数f(x)=e^x在x=0时的导数。

解答：

同样地，根据导数的定义：

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

对于e^x，导数就是它自己，所以：

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\]

\[=\lim_{h\to0}\frac{e^x\cdote^h-e^x}{h}\]

\[=e^x\cdot\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}\]

由极限的基本性质知：

\[\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1\]

因此：

\[f'(0)=e^0\cdot1=1\]

例题3：已知函数f(x)=2x^2-4x+1，求f(x)的导数。

解答：

使用导数的定义：

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

代入f(x)的表达式：

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(2(x+h)^2-4(x+h)+1)-(2x^2-4x+1)}{h}\]

\[=\lim_{h\to0}\frac{2(x^2+2xh+h^2)-4x-4h+1-2x^2+4x-1}{h}\]

\[=\lim_{h\to0}\frac{2x^2+4xh+2h^2-4x-4h+1-2x^2+4x-1}{h}\]

\[=\lim_{h\to0}\frac{4xh+2h^2-4h}{h}\]

\[=\lim_{h\to0}(4x+2h-4)\]

当h趋近于0时，h的项都趋近于0，所以：

\[f'(x)=4x-4\]

例题4：求函数f(x)=sin(x)在x=π/2时的导数。

解答：

使用导数的定义：

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

代入f(x)的表达式：

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}\]

利用和差化积公式：

\[sin(x+h)-sin(x)=2cos\left(\frac{x+h+x}{2}\right)sin\left(\frac{x+h-x}{2}\right)\]

\[=2cos\left(\frac{2x+h}{2}\right)sin\left(\frac{h}{2}\right)\]

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{2cos\left(\frac{2x+h}{2}\right)sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h}\]

\[=\lim_{h\to0}\left[2cos\left(\frac{2x+h}{2}\right)\cdot\frac{sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}\right]\]

由于\(\lim_{h\to0}\frac{sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}=1\)，我们得到：

\[f'(x)=2cos(x)\]

所以：

\[f'(\frac{\pi}{2})=2cos(\frac{\pi}{2})=0\]

例题5：求函数f(x)=ln(x)的导数。

解答：

使用导数的定义：

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

代入f(x)的表达式：

\[f'(x)