陕西省蓝田县高中数学 第二章 函数 2.5 简单的幂函数（1）教学实录 北师大版必修1

陕西省蓝田县高中数学第二章函数2.5简单的幂函数（1）教学实录北师大版必修1课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教材分析本章节为《陕西省蓝田县高中数学》必修一第二章《函数》的2.5节内容，主题为“简单的幂函数”。教材从幂函数的概念入手，通过具体的例子引导学生认识幂函数的基本性质和图像特征，为后续学习更复杂的函数打下基础。本节课内容与课本紧密关联，注重培养学生对函数图像的理解和识别能力，符合教学实际。二、核心素养目标三、教学难点与重点1.教学重点

-理解幂函数的定义及其基本性质，如单调性、奇偶性等。

-掌握幂函数图像的绘制方法，包括确定图像的形状、关键点等。

-通过实例分析，能够识别和应用幂函数在实际问题中的模型。

2.教学难点

-理解幂函数的指数为负数或分数时的图像特征，如倒置的“V”形或“倒L”形。

-掌握幂函数图像的对称性，包括关于y轴的对称性和关于原点的对称性。

-在解决实际问题时，将实际问题转化为幂函数模型，并正确应用幂函数的性质进行求解。

-对于指数函数的极限性质的理解，特别是当指数趋于无穷大或无穷小时，函数值的变化趋势。例如，当x趋于正无穷时，指数函数f(x)=x^(-1/2)的值趋于0，而f(x)=x^(1/2)的值趋于正无穷。这些难点需要通过具体的实例和图形分析来帮助学生理解和掌握。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的《陕西省蓝田县高中数学》必修一教材。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的幂函数图像图表、实际应用案例视频等多媒体资源。

3.教学工具：准备计算器、绘图软件等，以便于学生进行函数图像的绘制和计算。

4.教室布置：布置教室环境，包括分组讨论区、实验操作台，确保学生能够进行小组合作学习和实验操作。五、教学流程1.导入新课（用时5分钟）

-教师通过提问：“同学们，我们已经学习了哪些类型的函数？它们有什么共同点和不同点？”来激发学生的思考。

-学生回答后，教师总结：“今天我们将学习一个新的函数类型——幂函数，它具有独特的性质和图像特征。”

-教师展示一些生活中的幂函数实例，如自由落体运动、电池电量衰减等，引导学生思考幂函数在现实中的应用。

2.新课讲授（用时15分钟）

-**讲解幂函数的定义和性质**：

-教师展示幂函数的定义，如f(x)=x^a（a为实数）。

-通过实例讲解幂函数的奇偶性和单调性，如f(x)=x^2和f(x)=x^3。

-**分析幂函数图像的特征**：

-教师展示幂函数的典型图像，并讲解如何通过指数的正负、大小来识别图像的形状。

-举例说明当a为正数、负数和分数时，图像的变化。

-**讨论幂函数在现实中的应用**：

-通过实际案例，如人口增长、放射性衰变等，让学生理解幂函数在解决问题中的作用。

3.实践活动（用时15分钟）

-**绘制幂函数图像**：

-学生根据教师提供的函数表达式，独立绘制函数图像。

-教师巡视指导，帮助学生纠正错误。

-**分析幂函数的性质**：

-学生分组讨论，分析所绘制的幂函数图像的性质，如单调性、奇偶性等。

-小组代表向全班汇报讨论结果。

-**解决实际问题**：

-教师给出实际问题，如电池电量随时间的变化，学生运用幂函数模型进行解答。

4.学生小组讨论（用时10分钟）

-**讨论幂函数图像的对称性**：

-举例：讨论f(x)=x^2和f(x)=x^3的图像是否关于y轴对称，为什么？

-**讨论幂函数在现实中的应用**：

-举例：讨论在人口增长模型中，如何利用幂函数来预测未来人口数量。

-**讨论幂函数的性质在解决问题中的应用**：

-举例：讨论在电池电量衰减问题中，如何通过幂函数来计算剩余电量。

5.总结回顾（用时5分钟）

-教师总结本节课的学习内容，强调幂函数的定义、性质和图像特征。

-通过提问：“今天我们学习了哪些幂函数的性质？它们在解决实际问题中有哪些应用？”来检查学生的学习效果。

-教师举例说明本节课的重难点，如幂函数图像的对称性和实际问题的建模，并鼓励学生在课后继续练习和思考。

总体用时：45分钟六、拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

-阅读材料一：《幂函数的极限分析》

-内容摘要：介绍幂函数在极限情况下的行为，如当x趋于正无穷或负无穷时，函数f(x)=x^a的极限计算方法。

-实用性：帮助学生理解幂函数在极限情况下的性质，为后续学习更复杂的函数极限打下基础。

-阅读材料二：《幂函数在经济学中的应用》

-内容摘要：探讨幂函数在经济学中的实际应用，如经济增长模型、市场占有率分析等。

-实用性：让学生认识到数学在经济学分析中的重要作用，增强学生对数学应用的理解。

-阅读材料三：《幂函数在物理学中的应用》

-内容摘要：介绍幂函数在物理学中的使用，如描述物体运动、能量转换等。

-实用性：通过实例让学生看到数学在物理学研究中的具体应用，激发学生对数学的兴趣。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究

-学生可以尝试自己绘制不同指数的幂函数图像，观察图像的变化规律。

-鼓励学生思考幂函数在解决实际问题中的应用，如设计一个模型来预测一个城市的人口增长。

-学生可以尝试将幂函数与其他类型的函数进行比较，分析它们的异同点。

3.知识点拓展

-研究幂函数的导数和积分，探讨幂函数的可导性和积分性质。

-探索幂函数在复数域中的表现，包括复指数函数和复对数函数。

-研究幂函数在几何学中的应用，如描述空间中的点、线、面等几何对象的距离和角度。

4.实践项目

-设计一个实验，通过实验数据来拟合一个幂函数模型，并分析模型的适用性。

-学生可以选择一个感兴趣的问题，如电池寿命、药物浓度随时间的变化等，利用幂函数来建模和预测。七、课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.回顾幂函数的定义：f(x)=x^a，其中a为实数。

2.强调幂函数的基本性质，包括单调性、奇偶性和图像特征。

3.讨论幂函数在现实生活中的应用，如人口增长、放射性衰变等。

4.总结幂函数图像的绘制方法，包括确定关键点和变化趋势。

5.强调幂函数在解决实际问题中的重要性，如通过幂函数模型预测未来值。

当堂检测：

一、选择题（每题2分，共10分）

1.函数f(x)=x^3在定义域内（）。

A.单调递增B.单调递减C.有极值点D.既有极大值点又有极小值点

2.函数f(x)=x^(-2)的图像是（）。

A.双曲线B.抛物线C.直线D.椭圆

3.下列函数中，是偶函数的是（）。

A.f(x)=x^2+1B.f(x)=x^3C.f(x)=x^(-1)D.f(x)=|x|

4.函数f(x)=x^2在x=0处的导数是（）。

A.0B.1C.-1D.不存在

5.下列函数中，当x趋于正无穷时，函数值趋于0的是（）。

A.f(x)=x^2B.f(x)=x^(-1)C.f(x)=x^1D.f(x)=x^3

二、填空题（每题2分，共10分）

1.函数f(x)=x^3的单调递增区间是_________。

2.函数f(x)=x^(-2)的图像是_________。

3.函数f(x)=x^2的极值点是_________。

4.函数f(x)=x^(-1)的导数是_________。

5.当x趋于正无穷时，函数f(x)=x^(-1)的极限值是_________。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.分析函数f(x)=x^2在区间[-2,2]上的性质，包括单调性、极值点和奇偶性。

2.绘制函数f(x)=x^(-2)的图像，并指出图像的关键特征。

3.给定实际问题：某城市人口每年以1.5%的速率增长，求10年后该城市的人口数量。

4.利用幂函数模型，分析电池电量随时间的变化，并预测电池剩余电量。八、反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.多媒体辅助教学：在课堂上，我尝试使用多媒体技术来展示幂函数的图像和变化趋势，这样能够直观地帮助学生理解抽象的数学概念。我还计划在今后的教学中，引入更多互动式的多媒体资源，如动画演示，以增强学生的学习兴趣。

2.实践案例教学：我注意到通过实际案例来讲解幂函数的应用能够让学生更好地理解数学与生活的联系。因此，我计划在未来的教学中，增加更多贴近学生生活的案例，比如环保、经济等领域的应用，以提高学生的实际应用能力。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对抽象概念的接受程度：在讲解幂函数的性质时，我发现部分学生对单调性、奇偶性等概念理解困难。这可能是因为这些概念较为抽象，难以通过直观的方式理解。

2.学生参与度不足：在实践活动和小组讨论环节，我发现部分学生参与度不高，这可能是因为他们对课堂活动的兴趣不足或缺乏合作学习的经验。

3.教学评价方式单一：目前我的教学评价主要依赖于课堂表现和作业完成情况，这种评价方式可能无法全面反映学生的学习效果。

反思改进措施（三）改进措施

1.优化教学方法：为了帮助学生更好地理解抽象概念，我计划采用更多实例讲解和图形辅助的方法，同时，引入思维导图等工具，帮助学生梳理知识体系。

2.提高学生参与度：我计划通过设计更具吸引力的课堂活动，如角色扮演、竞赛等，来提高学生的参与度。此外，我会鼓励学生主动提问和回答问题，以促进他们的积极参与。

3.丰富教学评价方式：我将尝试引入多元化的教学评价方式，如课堂观察、学生自评、同伴互评等，以更全面地评估学生的学习效果。同时，我还会关注学生的情感态度和学习策略，以促进学生全面发展。课后拓展1.拓展内容

-阅读材料一：《幂函数在生物学中的应用》

-内容摘要：介绍幂函数在生物学领域的应用，如种群增长模型、物种间的相互作用等。

-实用性：通过阅读材料，学生可以了解到幂函数在生物学研究中的实际应用，增强对数学在自然科学中的重要性的认识。

-阅读材料二：《幂函数在物理学中的特殊角色》

-内容摘要：探讨幂函数在物理学中的特殊角色，如描述物体的运动、能量转换等。

-实用性：通过这一材料，学生可以深入理解幂函数在物理学中的具体应用，以及它们如何帮助我们理解自然界的规律。

-视频资源：《幂函数在生活中的应用》

-视频内容：通过实际案例展示幂函数在生活中的应用，如建筑设计、金融计算等。

-实用性：视频资源能够帮助学生直观地看到数学与生活的紧密联系，激发他们对数学学习的兴趣。

2.拓展要求

-学生可以根据自己的兴趣选择阅读材料或观看视频资源。

-鼓励学生在阅读或观看后，记录下自己的心得体会，并尝试将所学知识应用到实际生活中。

-学生可以组成学习小组，讨论所阅读材料或观看视频中的案例，并分享各自的理解和见解。

-教师可以提供以下指导：

-对于阅读材料，教师可以提出一些思考题，帮助学生深入理解材料内容。

-对于视频资源，教师可以组织讨论会，让学生分享视频中的关键信息和个人观点。

-教师可以解答学生在拓展过程中遇到的问题，提供必要的帮助和指导。

-学生完成拓展学习后，可以提交一份简短的报告，总结自己的学习收获和对幂函数应用的理解。板书设计1.幂函数的定义

①幂函数的概念：f(x)=x^a，a为实数

②定义域：所有实数或指定区间

③指数a的取值范围：a≠0

2.幂函数的性质

①单调性：根据指数a的正负确定单调递增或递减

②奇偶性：当a为偶数时，f(x)=